Dispense del corso di Elementi di Fisica della Materia - Skuola.net

4.6. ONDE NEI CONDUTTORI 77
∂
∂t Ez(x,
∂
t) = E0
∂t ei(kx−ωt) = iωE0e i(kx−ωt) = iωEz(x, t),
∂2 ∂t2 Ez(x,
∂
t) = E0
2
∂t2 ei(kx−ωt) = −ω 2 E0e i(kx−ωt) = −ω 2 Ez(x, t),
inserendo tali relazioni nell’equazione delle onde avremo (ricordando che c2 =
1/(ɛ0µ0)
−k 2 Ez(x, t) + ω2
c 2 Ez(x, t) = −iωµ0σ0Ez(x, t).
In tale equazione il fatto che Ez(x, t) compaia ad ambo i membri senza altre
funzioni dello spazio e del tempo conferma che tale funzione sia soluzione
di questa equazione, con una relazione tra k ed ω che si ottiene dividendo
ambo i membri dell’ultima equazione per Ez(x, t):
−k 2 + ω2
= −iωµ0σ0.
c2 Scriviamo ora nel secondo membro µ0 = µ0ɛ0/ɛ0 = 1/(c 2 ɛ0) ed avremo
k 2 = ω2 ω
+ i
c2 c2 σ0 =
ɛ0
ω2
c2
1 + i σ0
ɛ0ω
Ora in un’onda piana armonica si ha ω = kv, e l’indice di rifrazione è dato
per definizione dal rapporto n = c/v. Inserendo tali definizioni nell’ultima
relazione avremo
n(ω) = c ck
=
v ω =
1 + i σ0
ɛ0ω .
Quindi, esattamente come nel caso dei dielettrici, l’indice di rifrazione è complesso
e dipendente dalla pulsazione ω: l’onda presenterà fenomeni di dispersione
ed assorbimento anche nei conduttori. Qui la quantità iσ0/ɛ0ω
ha lo stesso ruolo della suscettività complessa χ(ω) nei dielettrici. Ancora,
come nei dielettrici, la formula dell’indice di rifrazione n è parzialmente
corretta: la conducibilità σ0 è valida per campi statici o lentamente variabili
nel tempo (fino agli infrarossi), ma non per quelli ad alte frequenze (dalla luce
visibile in su), occorre quindi trovare una formula per la conducibilità per
questi casi (molto utili in pratica), esattamente come nei dielettrici gassosi si
è passati da una polarizzabilità elettronica statica a quella valida anche per
campi variabili nel tempo.
4.6.3 Teoria microscopica
A questo punto si rende necessaria la descrizione a livello microscopico del
moto dell’elettrone all’interno di un conduttore. Studiamo il moto lungo una
.