Dispense del corso di Elementi di Fisica della Materia - Skuola.net

102 CAPITOLO 6. STRUTTURA DELLA MATERIA
di frequenza ν:
ɛν = 2π
c KT ν2 .
Questa espressione è nota come legge di Rayleigh-Jeans. Essa conduce però
subito a un problema, decisamente spinoso. Difatti, se uno volesse determinare
l’energia totale nella cavità per unità di tempo su tutte le frequenze, gli
basta calcolare l’integrale
∞
E = ɛνdν = ∞,
0
espressione che è evidentemente assurda, in quanto l’energia in una cavità
non può essere infinita. Questo paradosso è noto come catastrofe ultravioletta.
Difatti, a temperatua ambiente, la divergenza tra la densità di energia
prevista da Rayleigh-Jeans e quella sperimentale comincia a manifestarsi proprio
alle frequenze della radiazione ultravioletta: mentre quella classica sale
monotonamente (come ν 2 ), la sperimentale ha un massimo e si annulla esponenzialmente
ad alte frequenze, come deve essere per avere l’integrale finito
su tutte le frequenze. Il problema fu affrontato, ed inutilmente, con tutti
gli strumenti a disposizione della fisica classica del tempo. Occorreva quindi
una nuova rivoluzione concettuale per uscire dall’impasse. E la svolta arrivò
il 14 Dicembre del 1900, ad opera di Max Planck.
6.1.2 Ipotesi di Planck
Planck ipotizzò che l’energia scambiata dalla radiazione con le pareti della
cavità non potesse variare con continuità, ma solo per multipli interi di una
quantià fondamentale di energia. Tale unità di base di energia fu denominata
quanto di energia e la sua stessa energia è proporzionale alla frequenza della
radiazione. Quindi tali energie sono del tipo
E = nhν, n ∈ {0, 1, 2, . . . , ∞},
dove h = 6.62 · 10 −34 J/s è la famosa costante di Planck. L’ipotesi di Planck
costituì un vero e proprio terremoto concettuale per la fisica di quel tempo,
e molti si rifiutarono anche di prenderla in considerazione. La convinzione
di quel tempo era la variazione graduale e continua delle grandezze fisiche
(il famoso motto “Natura non facit saltus”), e di conseguenza ogni ipotesi di
quantizzazione veniva considerata quasi a livello di bestemmia. Riformulando
la teoria della radiazione in cavità con l’ipotesi di Planck, si attiva alla densità
di energia
ɛν = 2πh
c 2
ν 3
e hν
KT − 1 ,