Dispense del corso di Elementi di Fisica della Materia - Skuola.net
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26 CAPITOLO 2. DIELETTRICI<br />
Per quanto riguarda la prima equazione,<br />
<strong>di</strong>v E = ρ<br />
,<br />
che lega il campo elettrico alle sue sorgenti, ossia la densità <strong>di</strong> volume <strong>di</strong><br />
carica, nel caso <strong>di</strong> <strong>di</strong>elettrici dovremo evidentemente aggiungere il contributo<br />
originante dalle cariche <strong>di</strong> polarizzazione<br />
<strong>di</strong>v E =<br />
ɛ0<br />
ρ + ρP<br />
.<br />
Ricordando che ρP = −<strong>di</strong>v P , e moltiplicando ambo i membri <strong>del</strong>l’equazione<br />
per ɛ0, avremo<br />
ɛ0<strong>di</strong>v E = ρ − <strong>di</strong>v P .<br />
Riscriviamo la relazione nel seguente modo<br />
ɛ0<br />
<strong>di</strong>v(ɛ0 E + P ) = ρ.<br />
Definiamo ora il vettore induzione <strong>di</strong>elettrica D = ɛ0 E + P . Ne consegue<br />
che esso ha le stesse <strong>di</strong>mensioni <strong>del</strong> vettore polarizzazione P e si misurerà in<br />
C/m 2 . In termini <strong>del</strong>l’induzione <strong>di</strong>elettrica la prima equazione <strong>di</strong> Maxwell si<br />
scrive<br />
<strong>di</strong>v D = ρ.<br />
La corrispettiva equazione integrale si ottiene con il teorema <strong>del</strong>la <strong>di</strong>vergenza:<br />
<br />
D · d S = Q,<br />
S<br />
ossia il flusso <strong>del</strong> vettore induzione <strong>di</strong>elettrica attraverso una superficie chiusa<br />
è uguale alla carica libera interna alla superficie. Il risultato è notevole,<br />
poichè sancisce l’in<strong>di</strong>pendenza <strong>del</strong> vettore D dalle cariche <strong>di</strong> polarizzazione<br />
e quin<strong>di</strong> dalla presenza <strong>di</strong> <strong>di</strong>elettrici. Il problema <strong>del</strong>l’elettrostatica in presenza<br />
<strong>di</strong> <strong>di</strong>elettrici passa attraverso la determinazione <strong>del</strong> vettore D: una<br />
volta noto, con l’ausilio <strong>del</strong>la relazione D = ɛ0 E + P e <strong>di</strong> un’altra relazione<br />
ausiliaria (ci sono infatti due relazioni per tre incognite, ossia i campi stessi),<br />
si determinano anche i campi E e P .<br />
Esempio per capire il ruolo <strong>di</strong> D. Calcoliamo il flusso <strong>di</strong> E attraverso<br />
una superficie chiusa contenente cariche libere (in questo caso una sola e