Dispense del corso di Elementi di Fisica della Materia - Skuola.net

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12 CAPITOLO 1. RICHIAMI Alcune considerazioni sugli operatori differenziali introdotti sinora: • sono lineari, ossia per essi vale la proprietà: div (a A + b B) = a div A + b div B, valida anche nel caso del rotore. Tale proprietà deriva dalla linearità dell’operatore derivata ed è fondamentale nello studio dei campi, in quanto tiene perfettamente conto, attraverso le equazioni di Maxwell, del principio di sovrapposizione : “Il campo totale emesso da più sorgenti in un punto equivale alla somma dei campi generati dalle singole sorgenti considerate separatamente”. • identità utili per il seguito: rot gradf = ∇ × ∇ f = 0, div rot A = ∇ · ∇ × A = 0 (il prodotto misto con due vettori uguali è sempre nullo), rot rot A = grad div A − ∇ 2 A, ∇ × ∇ × A = ∇ ∇ · A − ∇ 2 A. Tali identità sono valide sotto determinate condizioni: i campi devono essere derivabili sino al secondo ordine ed avere derivata prima continua, condizione che noi assumeremo soddisfatta quasi ovunque, ossia a meno di un insieme di punti a misura nulla (secondo Lebesgue). Ad esempio l’espressione del potenziale elettrico generato da una carica puntiforme q posta nell’origine di un riferimento cartesiano è V (x, y, z) = q 4πɛ0 1 x 2 + y 2 + z 2 , dalla quale si evince un campo elettrico E definito in tutti i punti dello spazio, tranne nell’origine, ossia nel punto in cui è posta la stessa carica. Flusso e circuitazione. Definiamo ora due importanti concetti su cui si basa l’elettromagnetismo classico. • Flusso. Consideriamo una zona in cui sia definito un campo vettoriale A e una superficie S all’interno di tale zona. Su tale superficie denotiamo una faccia “positiva”. Su tale faccia consideriamo un elemento
1.1. MATEMATICA VETTORIALE 13 di superficie infinitesima con area dS, e sia d S il vettore ortogonale a tale superficie. Il flusso del campo A attraverso la superficie sarà dΦ( A) = A · d S = A · ˆn dS = A dS cos ϑ, dove ovviamente il vettore A va considerato in corrispondenza del punto in cui si trova l’elemento dS. Il flusso totale attraverso S si ottiene integrando su tutta la superficie ΦS( A) = A · d S. • Circuitazione. Consideriamo una zona in cui sia definito un campo vettoriale A e un circuito, ovvero una linea chiusa C all’interno di tale zona. Su tale circuito denotiamo un verso “positivo”. Consideriamo un tratto del circuito infinitesimo con lunghezza dl, e sia d l il vettore tangente al circuito nel tratto considerato, di lunghezza dl e verso coincidente con quello fissato come positivo. Il contributo alla circuitazione del campo A in tale tratto risulta dC( A) = A · d l = A · ˆt dl = A dl cos ϑ, dove ovviamente il versore ˆt indica la direzione tangente al circuito nel punto corrispondente al tratto dl. La circuitazione lungo C si ottiene integrando su tutto il cammino CS( A) = A · dl, dove il simbolo sta a indicare l’integrale di linea su un circuito chiuso. 1.1.1 Esercizio campione Si consideri il campo scalare f(x, y, z) nei seguenti casi: ⎧ Si richiede di: ⎪⎨ f(x, y, z) = ⎪⎩ S C x 2 y + xyz + xy + y 2 sin(xy) + cos(yz) √ 1 x2 +y2 +z2 .
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