Dispense del corso di Elementi di Fisica della Materia - Skuola.net

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80 CAPITOLO 4. ONDE ELETTROMAGNETICHE Consideriamo la frazione sotto il segno di radice quadrata. Valgono evidentemente i seguenti passaggi σ0 ɛ0ω = nee2τ meɛ0ω nee ≫ ωτ≪1⇒1/ω≫τ 2τ 2 meɛ0 17 laddove la cifra 17 vale nel caso del rame ma l’ordine di grandezza si mantiene lo stesso per tutti gli altri conduttori. Ne consegue che nell’espressione dell’indice di rifrazione possiamo trascurare il termine 1 nella radice quadrata: n(ω) = 1 + i σ0 ɛ0ω i σ0 ɛ0ω = √ i σ0 ɛ0ω . Tramite la relazione di Eulero è semplice calcolare la radice quadrata di i: √ i = π π i i e 2 = (e 2 ) 1 π i 2 = e 4 = 1 √ + i 2 1 √ . 2 Inseriamo tale risultato nell’espressione di n(ω): σ0 σ0 n(ω) = + i 2ɛ0ω 2ɛ0ω da cui otteniamo immediatamente parte reale ed immaginaria dell’indice: σ0 nR(ω) = ℜ[n(ω)] = 2ɛ0ω e nI(ω) = ℑ[n(ω)] = σ0 2ɛ0ω = nR(ω). Avremo di conseguenza dispersione con velocità dipendente dalla frequenza ω v(ω) = c 2ɛ0ω = c , nR(ω) ed assorbimento con lunghezza di assorbimento data da lass(ω) = 1 β = c 2ωnI(ω) = σ0 ɛ0 2σ0 c √ ω . Tale assorbimento è dovuto alla cessione di energia dall’onda agli elettroni, energia che poi viene persa negli urti con il reticolo (effetto Joule). Di conseguenza il conduttore si riscalderà in seguito ad irraggiamento. Per una
4.6. ONDE NEI CONDUTTORI 81 ɛ0 stima dei valori numerici, si ha che il fattore c 2σ0 vale circa 0.1 nel rame (e mantiene lo stesso ordine di grandezza negli altri conduttori). Avremo quindi lass(ω) 0.1/ √ ω m √ s. Per un’onda di pulsazione ω = 10 10 rad/s (microonde) si ricava lass 10 −6 m: una lunghezza dell’ordine dei micron, ossia l’onda viene immediatamente assorbita sullo strato superficiale del metallo, senza raggiungere il suo interno (effetto pelle). Un conduttore quindi non è trasparente a un’onda a basse frequenze. 4.6.5 Alte frequenze In questo limite si ha ωτ ≫ 1. Dalla relazione della conducibilità σ(ω) = σ0 1 − iωτ . si ricava σ(ω) = i σ0 ωτ , per cui l’indice di rifrazione diventa Definiamo la quantità n(ω) = 1 + i σ ɛ0ω = σ0 ɛ0τ = nee2τ ɛ0τme = nee 2 1 − σ0 ɛ0ω 2 τ . ɛ0me = ω 2 P come frequenza di plasma. Per il rame si ha ωP 2.62 · 1015 rad/s. Essa rappresenta una frequenza legata a un moto oscillatorio collettivo degli elettroni nel metallo. Per una sua piena comprensione è però richiesta la teoria quantistica. In termini della frequenza di plasma l’indice di rifrazione va riscritto come n(ω) = 1 − ω2 P . ω2 Avremo quindi due casi, a seconda dei valori di ω e ωP . • Caso ω < ωP . Si avrà quindi ωP /ω > 1 e di conseguenza l’indice di rifrazione diventa immaginario puro: l’onda viene completamente assorbita dal metallo, senza dispersione. Si ha nI(ω) = 2 ωP − 1. ω2
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