Dispense del corso di Elementi di Fisica della Materia - Skuola.net

4.6. ONDE NEI CONDUTTORI 75
In virtù di una velocità di deriva nascerà nel metallo una corrente con
densità J = −neevd = nee 2 τ/me E, che possiamo riscrivere nella forma J =
σ0 E, dove σ0 = nee 2 τ/me viene definita conducibilità statica del metallo. ne
è il numero di elettroni per unità di volume, che per un metallo è dell’ordine
di 10 28 elettroni per metro cubo. Si ricava così per σ0, misurata in (Ohm
per metro) −1 una stima di 10 7 . In particolare la relazione J = σ0 E viene
definita legge di Ohm microscopica e sancisce in un conduttore la linearità
tra densità di corrente e campo applicato 4 , analoga a quella tra polarizzazione
e campo elettrico nei dielettrici lineari. La legge di Ohm microscopica è
la relazione costitutiva dei conduttori, ossia un’equazione di stato tra le
sue grandezze elettriche, laddove la costante σ0 dipende esclusivamente da
parametri strutturali del conduttore, ma non dai campi ad esso applicati.
Si dimostra che la legge di Ohm microscopica è valida anche nel caso
di campi variabili nel tempo. La condizione di base è che il campo E non
vari “troppo” tra un urto e il successivo. In termini matematici, questo
equivale alla condizione ωτ ≪ 1, dove ω è la pulsazione del campo elettrico
di un’onda incidente sul conduttore. Si ricava che la corrispondente frequenza
deve soddisfare la relazione ν ≪ 10 13 Hz, ossia fino all’infrarosso. Si dice che
ci si trova in condizioni di campi lentamente variabili nel tempo (rispetto ai
tempi caratteristici degli elettroni nel metallo, beninteso !), e tale condizione
verrà verificata nella trattazione microscopica delle onde nei conduttori.
4.6.2 Equazioni di Maxwell nei conduttori
A questo punto dobbiamo riscrivere le equazioni di Maxwell per un conduttore,
tenuto conto che in esso vale la relazione costitutiva tra densità di
corrente e campo elettrico appilcato J = σ0 E. A tal scopo notiamo che in un
conduttore, non potendo esserci cariche fisse (statiche), la densità di carica,
sia libere che di polarizzazione, sarà nulla: ρ = 0 5 . Inoltre consideriamo
tale conduttore come lineare dal punto di vista magnetico, ossia come un
paramagnete o un diamagnete. In tal caso µ µ0 e possiamo usare il campo
B nelle equazioni di Maxwell. Riassumendo, le equazioni di Maxwell in un
conduttore sono formalmente identiche a quelle nel vuoto, tranne che per la
presenza della corrente di conduzione J = σ0 E. Avremo quindi
4Difatti tale relazione porta, nel caso di un conduttore macroscopico omogeneo, alla
nota legge di Ohm usuale V = iR.
5Si noti che l’assenza di cariche statiche ρ = 0 non porta automaticamente a una densità
di corrente nulla in quanto in tali condizioni l’equazione di continuità div J + ∂ρ/∂t = 0
sancisce (ρ = 0 ⇒ ∂ρ/∂t = 0 ⇒ div J = 0) la solenoidalità di J.