Dispense del corso di Elementi di Fisica della Materia - Skuola.net

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36 CAPITOLO 3. MEZZI MAGNETICI 3.3 Il vettore magnetizzazione Consideriamo all’interno di un mezzo materiale un volumetto dτ, sufficientemente piccolo in modo da associare ad esso una funzione delle coordinate spaziali, ma allo stesso tempo sufficientemente grande in modo che abbia un numero elevato di atomi al suo interno e poter quindi definire la media delle grandezze fisiche definite per gli elementi al suo interno (atomi o molecole per esempio). Se l’elemento i-esimo possiede un momento magnetico mi, definiamo il momento magnetico medio del volumetto la quantità 〈m〉 = 1 dN N mi, essendo dN il numero di elementi all’interno del volumetto. Definito n = dN/dτ il numero di elementi per unità di volume, il vettore i=1 M = dN 〈m〉 = n〈m〉 dτ viene definito magnetizzazione del volumetto considerato. Esso equivale quindi alla magnetizzazione totale del volumetto per unità di volume. Esso non è altro che la somma dei momenti magnetici all’interno del volumetto m divisa per il suo volume dτ, analogamente alla definizione del vettore di polarizzazione elettrica per i dielettrici ( P = n〈p〉). Siccome il momento magnetico si misura in Ampere per metro quadro, ne segue che la magnetizzazione, ottenuta dividendo un momento magnetico per un volume, si misura in Ampere su metro. 3.4 Relazioni costitutive della magnetizzazione Definito il vettore magnetizzazione ed assodato che il campo magnetico presente all’interno dei materiali è generato da correnti microscopiche, dobbiamo ora determinare il legame tra magnetizzazione e tali correnti. Come nel caso dei dielettrici, consideriamo dapprima il caso di magnetizzazione uniforme per poi passare a quello più generale di magnetizzazione non uniforme. Magnetizzazione uniforme. Si consideri un cilindro di materiale con una magnetizzazione uniforme M diretta lungo il suo asse, poniamo coincidente con z positivo. Suddividiamolo in fettine di spessore infinitesimo dz ortogonali al suo asse, e in tale fetta consideriamo tanti volumetti a forma di prisma, di dimensioni infinitesime, in modo analogo per la definizione del
3.4. RELAZIONI COSTITUTIVE DELLA MAGNETIZZAZIONE 37 vettore magnetizzazione. Ciascun volumetto avrà superficie dΣ e ovviamente spessore dz, in modo che il suo volume sia dτ = dΣdz. Per definizione del vettore magnetizzazione, avremo dm = Mdτ = MdΣdz ˆ k. Per il principio di equivalenza di Ampere, il momento dm del volumetto può essere visto come quello generato da una spira di superficie dΣ e percorsa da una corrente dim in modo che dm = dimdΣ ˆ k per cui ne ricaviamo l’uguaglianza dim = Mdz, ricordando che tale equivalenza è esatta ai fini delle conseguenze fisiche. Sostituendo nella fetta dz tutti i volumetti con i nastri (spire allungate) e considerando che, essendo M lo stesso per tutti i volumetti, anche le correnti dim su ogni nastro sono uguali, in modo che su due nastri contigui esse si elidono, lasciando quindi solo le correnti nei nastri in prossimità della superficie laterale. Sommando le correnti di tutte le fette abbiamo per il cilindro intero im = Mdz = Mh, essendo h l’altezza del cilindro. Riscriviamo questo risultato definendo una densità lineare di corrente amperiana Jlm = im h = dim dz = M dove abbiamo usato i sottoscritti l per ricordare che si tratta di una densità lineare di corrente e m per rimarcare la sua origine microscopica. Tenuto conto che im nel cilindro è diretta lungo la direzione tangente alla superficie in senso antiorario, possiamo scrivere la definizione in termini vettoriali Jlm = M × ˆn (3.1) dove ˆn è il versore normale alla superficie e diretto verso l’esterno, nel punto in cui si desidera calcolare la densità lineare di corrente. Si noti che questa densità si misura in Ampere su metro, essendo lineare. Vale la relazione integrale M · dl = im, C dove C è un percorso chiuso che concatena la corrente im. Magnetizzazione non uniforme. Consideriamo ora un materiale in cui la magnetizzazione M non sia uniforme. All’interno di esso consideriamo due cubetti attigui secondo la direzione y, chiamiamoli 1 e 2 1 . In ciascuno 1 Tale scelta è la più immediata da visualizzare in un sistema di riferimento cartesiano destrogiro, come è nello standard.
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