Dispense del corso di Elementi di Fisica della Materia - Skuola.net

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42 CAPITOLO 3. MEZZI MAGNETICI 3.7 Energia del campo magnetico Nel vuoto, come per il campo elettrico, possiamo associare alla presenza di un campo di induzione magnetica una densità di energia magnetica um = 1 B 2µ0 2 che rappresenta il lavoro richiesto per la creazione del campo in quella zona dello spazio. Ci chiediamo ora come cambia tale energia nel caso in cui nella zona dove viene creato il campo siano presenti mezzi magnetici. Si potrebbe procedere come nel caso dielettrico, sostituendo µ0 con µ, ma preferiamo seguire un’impostazione più generale, valida anche per mezzi non lineari e per comprendere meglio la fisica del sistema. A tal scopo, consideriamo un solenoide ideale, di sezione Σ e lunghezza L avente N spire, il numero di spire per unità di lunghezza sarà dunque n = N/L, e al suo interno poniamo un materiale magnetico qualunque. Le spire del solenoide vengono poi chiuse su un circuito dove sono presenti una resistenza R e un generatore di fem E, tutti posti in serie. Sotto tali condizioni, al passaggio di una corrente i in tale circuito si creerà un campo di induzione magnetica uniforme all’interno del solenoide. Attiviamo il circuito, facendo passare la corrente dallo zero iniziale fino a un valore finale, poniamo i. In tale lasso di tempo il flusso del campo (che cambia cambiando la corrente) concatenato con le spire varia, nascerà quindi una fem indotta Ei = − d d d Φ(B) = − NΣB = −NΣ dt dt dt B, avendo opportunamente scelto il sistema di riferimento e ricordando che il flusso concatenato si ottiene moltiplicando il flusso di B per il numero di spire N. Si noti che la derivata rispetto al tempo è totale, in quanto in questo caso il flusso e il campo B dipendono solo dal tempo. L’equazione della maglia per il circuito risulta E − Ri + Ei = 0, ossia E = Ri + NΣ d dt B. Moltiplicando ambo i membri di tale relazione per l’elemento infinitesimo di carica trasferito dq = idt abbiamo un’uguaglianza tra lavoro fornito dal generatore di fem da un lato e quello speso nella resistenza per effetto Joule e nel solenoide per la creazione del campo magnetico dall’altro: Edq = Ri 2 dt + NΣidB.
3.8. MECCANISMI MICROSCOPICI 43 In particolare, l’ultimo termine rappresenta la variazione dell’energia magnetica dUm = NΣidB = HΣLdB, dato che in un solenoide il campo è dato dalla relazione H = ni. Notiamo che ΣL = V , volume del solenoide, che è lo stesso della zona dove è presente il campo uniforme H. Dividendo quindi ambo i membri della relazione precedente per tale volume avremo la densità di energia magnetica dum = dUm ΣL = HdB. Di conseguenza l’energia richiesta per portare il campo B da 0 al valore finale B sarà um = B 0 HdB. Per il calcolo dell’integrale serve la curva di magnetizzazione (ossia l’equazione di stato magnetica): una relazione tra i campi H e B. Nel caso di materiale lineare ed omogeneo, con permeabilità magnetica relativa κm, avremo B = µH e quindi um = B 0 HdB = 1 B BdB = µ 0 1 2µ B2 = 1 2 µH2 = 1 2 B · H. 3.8 Meccanismi microscopici Poniamo ora l’accento sulla relazione M = χm H. Vedremo come la fisica classica sia in grado di spiegare l’origine microscopica del diamagnetismo e del paramagnetismo, e di fornire la linearità tra magnetizzazione e campo magnetico. Tuttavia vedremo anche che numericamente i risultati della teoria classica non corrispondono a quelli sperimentali e che la teoria classica stessa è incapace di fornire una teoria del ferromagnetismo a livello miscroscopico. 3.8.1 Diamagnetismo - Teoria di Langevin Vediamo ora come possiamo ricondurre il diamagnetismo al moto orbitale degli elettroni negli atomi. A tal scopo, prima di effettuare il calcolo si rende necessario aprire una breve parentesi sulla relazione tra momento magnetico e momento orbitale di un elettrone.
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