Dispense del corso di Elementi di Fisica della Materia - Skuola.net

12 CAPITOLO 1. RICHIAMI
Alcune considerazioni sugli operatori differenziali introdotti sinora:
• sono lineari, ossia per essi vale la proprietà:
div (a A + b B) = a div A + b div B,
valida anche nel caso del rotore. Tale proprietà deriva dalla linearità
dell’operatore derivata ed è fondamentale nello studio dei campi, in
quanto tiene perfettamente conto, attraverso le equazioni di Maxwell,
del principio di sovrapposizione : “Il campo totale emesso da più sorgenti
in un punto equivale alla somma dei campi generati dalle singole
sorgenti considerate separatamente”.
• identità utili per il seguito:
rot
gradf = ∇ × ∇ f = 0,
div rot A = ∇ · ∇ × A = 0
(il prodotto misto con due vettori uguali è sempre nullo),
rot rot A =
grad div A − ∇ 2 A,
∇ × ∇ × A = ∇ ∇ · A − ∇ 2 A.
Tali identità sono valide sotto determinate condizioni: i campi devono
essere derivabili sino al secondo ordine ed avere derivata prima continua,
condizione che noi assumeremo soddisfatta quasi ovunque, ossia a
meno di un insieme di punti a misura nulla (secondo Lebesgue). Ad
esempio l’espressione del potenziale elettrico generato da una carica
puntiforme q posta nell’origine di un riferimento cartesiano è
V (x, y, z) = q
4πɛ0
1
x 2 + y 2 + z 2 ,
dalla quale si evince un campo elettrico E definito in tutti i punti dello
spazio, tranne nell’origine, ossia nel punto in cui è posta la stessa carica.
Flusso e circuitazione. Definiamo ora due importanti concetti su cui
si basa l’elettromagnetismo classico.
• Flusso. Consideriamo una zona in cui sia definito un campo vettoriale
A e una superficie S all’interno di tale zona. Su tale superficie denotiamo
una faccia “positiva”. Su tale faccia consideriamo un elemento