Dispense del corso di Elementi di Fisica della Materia - Skuola.net

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26 CAPITOLO 2. DIELETTRICI Per quanto riguarda la prima equazione, div E = ρ , che lega il campo elettrico alle sue sorgenti, ossia la densità di volume di carica, nel caso di dielettrici dovremo evidentemente aggiungere il contributo originante dalle cariche di polarizzazione div E = ɛ0 ρ + ρP . Ricordando che ρP = −div P , e moltiplicando ambo i membri dell’equazione per ɛ0, avremo ɛ0div E = ρ − div P . Riscriviamo la relazione nel seguente modo ɛ0 div(ɛ0 E + P ) = ρ. Definiamo ora il vettore induzione dielettrica D = ɛ0 E + P . Ne consegue che esso ha le stesse dimensioni del vettore polarizzazione P e si misurerà in C/m 2 . In termini dell’induzione dielettrica la prima equazione di Maxwell si scrive div D = ρ. La corrispettiva equazione integrale si ottiene con il teorema della divergenza: D · d S = Q, S ossia il flusso del vettore induzione dielettrica attraverso una superficie chiusa è uguale alla carica libera interna alla superficie. Il risultato è notevole, poichè sancisce l’indipendenza del vettore D dalle cariche di polarizzazione e quindi dalla presenza di dielettrici. Il problema dell’elettrostatica in presenza di dielettrici passa attraverso la determinazione del vettore D: una volta noto, con l’ausilio della relazione D = ɛ0 E + P e di un’altra relazione ausiliaria (ci sono infatti due relazioni per tre incognite, ossia i campi stessi), si determinano anche i campi E e P . Esempio per capire il ruolo di D. Calcoliamo il flusso di E attraverso una superficie chiusa contenente cariche libere (in questo caso una sola e
2.4. EQUAZIONI GENERALI DELL’ELETTROSTATICA 27 puntiforme) e in parte un dielettrico. Avremo per il teorema di Gauss per il campo elettrico: E · d S = 1 q0 + σpdS + ρP dτ. S ɛ0 Per le relazioni tra il vettore P e le densità di cariche di polarizzazione avremo σpdS = P · d S Σ1 e ρP dτ = − div τ τ P dτ == − P · d Σ1+Σ2 S, l’ultimo passaggio in virtù del teorema della divergenza. Si noti che qui Σ1 è la superficie del dielettrico interna alla superficie di integrazione S, mentre Σ2 è la superficie del dielettrico comune a quella di integrazione S. Avremo P · d S = P · d S, Σ2 (sul resto della superficie fuori dal dielettrico P è nullo) e in definitiva D · d S = q0, S avendo definito D = ɛ0 E + P . In assenza di cariche libere (come nell’interno di un dielettrico) il vettore D è solenoidale. Esso non è però conservativo. Infatti il rotore di questo vettore equivale al rotore della polarizzazione che è generalmente non nullo. 2.4.1 Mezzi lineari Σ1 Σ1 rot D = ɛ0rot E + rot P = rot P Tornando al problema generale dell’elettrostatica in presenza di dielettrici, avevamo notato come servisse una relazione ausiliara tra i vettori D, E e P . Questa relazione, che dipende dal materiale del dielettrico, viene definita equazione di stato del dielettrico. Nel caso particolare di dielettrici lineari vale la relazione di proporzionalità tra il campo elettrico e la polarizzazione P = ɛ0χ E. Ne ricaviamo D = ɛ0 E + P = ɛ0 E + ɛ0χ E = ɛ0(1 + χ) E = ɛ0κ E = ɛ E S τ
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