Dispense del corso di Elementi di Fisica della Materia - Skuola.net

4.6. ONDE NEI CONDUTTORI 79
che risolta rispetto a z0, dà
z0 =
eτE0
meω(i + ωτ) .
Ricordando che la velocità è data dalla z ′ = −iωz(t) = −iωz0 exp(−iωτ),
avremo
z ′ eτE0
(t) = −i
me(i + ωτ) e−iωt .
Tale velocità non sarà altro che la componente su z della velocità di deriva
dell’elettrone. Passando alla densità di corrente potremo quindi scrivere
Jz = −neez ′ = J0z exp(−iωτ) dato che anche essa oscillerà con frequenza ω,
essendo legata a z ′ da una relazione lineare. Avremo quindi
J0z = nee 2 τ
me
1
1 − iωτ =
σ0
1 − iωτ ,
dove la σ0 = nee 2 τ/me è la conducibilità statica ricavata dal modello di
Drude. Confrontando l’ultima relazione con la J = σ E, avremo alla fine
σ(ω) =
σ0
1 − iωτ .
Ne risulta che la conducibilità è una quantità complessa dipendente da ω,
proprio come la suscettività di un gas monoatomico per campi variabili nel
tempo nel caso dei dielettrici.
La conducibilità nei metalli è quindi una funzione complessa della pulsazione
dell’onda incidente ω. Agli scopi pratici si presentano due situazioni
limite, ωτ ≪ 1 (limite di basse frequenze) e ωτ ≫ 1 (limite di alte frequenze).
Nei casi intermedi ωτ 1 va usata la formula generale appena ricavata.
4.6.4 Basse frequenze
In tali condizioni si ha ωτ ≪ 1. Come discusso precedentemente, valori tipici
di τ per i metalli sono dell’ordine di 10 −14 s, cosa che porta quindi alla parte
dello spettro delle onde con frequenze inferiori a 10 13 Hz, ossia nell’infrarosso.
In tali condizioni nella conducibilità il termine iωτ si trascura rispetto a 1
(ricordiamo che i ha modulo 1) e avremo
σ = σ0 = nee2τ ,
che è il valore statico del modello di Drude. In tale caso l’indice di rifrazione
equivale a quello già determinato precedentemente
n(ω) = 1 + i σ0
ɛ0ω .
me