Dispense del corso di Elementi di Fisica della Materia - Skuola.net

74 CAPITOLO 4. ONDE ELETTROMAGNETICHE
sono gli urti con altri elettroni o con gli ioni del reticolo cristallino. In assenza
di campo elettrico (o magnetico) esterno, la velocità media dell’elettrone
dopo un gran numero di urti sarà nulla in quanto completamente casuali e
scorrelati: l’ipotesi di base è l’assenza di effetti di memoria, ossia l’elettrone
“dimentica” la dinamica precedente dopo un urto. In tal modo non ci saranno
correnti di conduzione nel metallo. Definito il cammino libero medio l come
il percorso medio compiuto dall’elettrone tra un urto e il successivo, e il
corrispettivo tempo libero medio τ, vale ovviamente la relazione l = vτ, dove
v 10 6 m/s è la velocità media degli elettroni nel solido. Tale velocità
viene fornita dalla teoria quantistica (viene detta di Fermi), in quanto quella
classica è incapace di fornire una stima corretta di essa. Valori tipici per i
metalli sono l 10 −8 m e τ 10 −14 s.
Quando viene applicato un campo elettrico statico E, gli elettroni tra un
urto e il successivo risentono della sua influenza e piegano le traiettorie in
direzione di esso. Nel risulta che acquistano una velocità di deriva proporzionale
al campo vd = −(eτ/me) E. Non si confonda la velocità di deriva
(dell’ordine di cm al secondo) con quella media dell’elettrone. La prima è
legata al moto effettivo acquistato in virtù del campo, la seconda è legata al
moto casuale tra un urto e il successivo. Dimostriamo che in un conduttore
la velocità di deriva è proporzionale al campo elettrico E. A tal scopo, con-
sideriamo un urto di un elettrone, poniamo l’i-esimo, e definiamo v p
i e vd i le
velocità che l’elettrone possiede prima e dopo l’urto, rispettivamente. In as-
senza di campo elettrico la velocità prima dell’urto i+1-iesimo è ovviamente
uguale a quella dopo l’urto i-esimo: v p
i+1 = vd i . In presenza del campo invece
il moto tra i due urti diventa uniformemente accelerato con accelerazione
a = F /me = −e E/me. La relazione tra le due velocità considerate prima
diventa pertanto
v p
i+1 = vd i − eτ
in quanto il tempo tra due urti successivi per definizione è proprio τ. La
velocità di deriva sarà quella media acquistata dopo un gran numero di urti.
Avremo quindi, per un numero N grande di urti (in modo tale che l’intervallo
di tempo in cui essi si verificano sia molto maggiore di τ)
vd = 1
N
N
i=1
v p 1
i+1 =
N
N
i=1
me
v d i − 1
N
E,
N
i=1
eτ
me
E = − eτ
laddove il termine N
i=1 vd i è nullo siccome la velocità subito dopo gli urti
è completamente casuale (l’elettrone si è scordato della dinamica precedente),
mentre la media delle velocità prima degli urti è non nulla poichè le
traiettorie saranno state influenzate dal campo elettrico.
me
E,