Dispense del corso di Elementi di Fisica della Materia - Skuola.net

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16 CAPITOLO 1. RICHIAMI Esso si propaga, come predisse Maxwell, sotto forma di onde. Egli predisse anche la loro velocità c = 1/ √ ɛ0µ0, esattamente quella della luce, che è essa stessa un’onda elettromagnetica. In seguito alla previsione di Maxwell nel 1885 il fisico tedesco Hertz rilevò sperimentalmente le onde, e in suo onore venne denominata l’unità di misura della frequenza, l’hertz appunto. • Le equazioni delle onde sono equazioni differenziali del secondo ordine nello spazio-tempo (si pensi alle equazioni di d’Alembert che se ne possono derivare, come vedremo nel seguito del corso). La loro soluzione richiede quindi due condizioni iniziali: le condizioni al contorno, ossia i valori dei campi alla “periferia” della regione di spazio considerata e quelle iniziali, ossia a t = 0. • Una volta risolte le equazioni è nota l’espressione del campo elettromagnetico nello spazio e nel tempo. Da essa possiamo analizzare il moto di una carica tramite la legge di Lorentz: F = q( E + v × B), dove q è il valore della carica, sufficientemente piccola in modo da non alterare la configurazione del campo, e v la sua velocità. Date la posizione e la velocità iniziali della carica, il suo moto risulta quindi completamente determinato in virtù delle leggi di Newton. • Le equazioni di Maxwell sono 8 (la prima e la seconda sono scalari, ma la terza e quarta sono vettoriali con vettori a tre componenti) in sei incognite, ossia le componenti del campo elettrico E e di induzione magnetica B. Questo implica che le equazioni non sono indipendenti tra di loro, ma che possono essere ricavate alcune da altre. Ad esempio, la seconda può essere ricavata dalla terza (provate a farlo), mentre dalla prima e dalla quarta si ricava la legge di conservazione della carica, esposta nel punto seguente. • Nelle equazioni di Maxwell è inglobata l’equazione della continuità: div J + ∂ρ ∂t = 0, che esprime in forma microscopica la basilare legge di conservazione della carica. È possibile passare alla forma globale, di significato più immediato, integrando tale legge su un volume V racchiuso dalla
1.2. EQUAZIONI DI MAXWELL NEL VUOTO 17 superficie S facendo ricorso al teorema della divergenza e ricordando che la corrente è uguale a i = S J · d S. Il risultato finale diventa i + ∂Q ∂t = 0, e di facile interpretazione: se attraverso una superficie S passa una corrente i, di conseguenza si ha una variazione della carica Q nel volume V delimitato da S. • Le equazioni sono asimmetriche nei confronti dei campi E e B. Difatti, nella seconda manca l’equivalente della carica elettrica nella prima come sorgente del campo. Di contro, nella terza non esiste una “corrente magnetica” che ricopra un ruolo equivalente alla corrente elettrica nella quarta. Questo implica l’assenza del cosiddetto monopolo magnetico, ossia della carica magnetica isolata, ed esistono solo dipoli magnetici 4 . È noto che spezzando ad esempio una calamita (un caso di dipolo magnetico) in due parti, i due pezzi diventano a loro volta altre due calamite. 1.2.1 Esercizi campione Proponiamo alcuni semplici esercizi concernenti le equazioni di Maxwell nel vuoto. La loro soluzione aiuterà l’assimilazione dei concetti di base che verranno usati nel corso. • 1. Una carica q si trova nell’origine di un sistema di riferimento cartesiano ortogonale. Si calcoli il flusso del campo elettrico E da essa generato attraverso una superficie sferica di centro l’origine e raggio R, e si verifichi la validità del teorema di Gauss. • 2. Ricavare l’equazione di continuità della carica dalle equazioni di Maxwell (suggerimento: usare le equazioni in cui compaiono le sorgenti dei campi). • 3. Una lastra piana infinitamente estesa e di spessore trascurabile possiede una densità di carica uniforme σ. Calcolare il campo elettrico generato dalla lastra (suggerimento: in base a considerazioni di simmetria si dimostri che il campo è ortogonale alla lastra, indi si applichi il teorema di Gauss). 4 Nei limiti della tecnologia attuale, non si è ancora potuta constatare sperimentalmente l’esistenza di tale particella.
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