Dispense del corso di Elementi di Fisica della Materia - Skuola.net

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40 CAPITOLO 3. MEZZI MAGNETICI Problema della magnetostatica. In un problema di magnetostatica in presenza di mezzi materiali sono note la distribuzione delle correnti di conduzione e la disposizione dei mezzi magnetici. Siccome i campi incogniti sono tre ( H, B e M), mentre le equazioni sono due 3 , ossia le (3.4) e (3.5), serve un’ulteriore relazione per risolvere il problema, la cosiddetta equazione di stato del mezzo magnetico, ossia una relazione che lega i campi all’interno dei mezzi materiali, ad esempio M ≡ M( H). 3.5.1 Mezzi lineari In questi mezzi i campi sono paralleli tra di loro. Possiamo scrivere quindi M = χm H. Dalla definizione del campo magnetico si ha allora B = µ0( H + M) = µ0( H + χm H) = µ0(1 + χm) H = µ0κ H = µ H avendo definito la permeabilità magnetica assoluta del materiale µ = κmµ0. Essa si misura come µ0, ossia in H/m. Si noti che i campi sono tutti paralleli, ma non necessariamente concordi, siccome nei materiali diamagnetici il vettore M è opposto ai vettori B e H. Se il mezzo è anche omogeneo, ossia in esso le costanti magnetiche sono uniformi in tutto il materiale, allora vale la seguente catena di relazioni Jm = rot M = rot (χm H) = χmrot H = 0, in quanto nel mezzo lineare non vi sono correnti di conduzione. Di conseguenza in tali materiali sono presenti solo le correnti lineari sulla superficie. Si noti che spesso il vettore M è non nullo in tali materiali, ma risulta irrotazionale (allo stesso modo per cui P è solenoidale nei dielettrici lineari ed omogenei senza cariche libere). 3.6 Condizioni di raccordo dei campi Determiniamo ora le condizioni di raccordo dei campi magnetici H e B al passaggio attraverso la superficie di separazione tra due materiali. In analogia al discorso svolto nel caso elettrostatico, notiamo che a vettore solenoidale 3 L’equazione div B = 0 non lega il campo alle sorgenti e non è quindi di aiuto, dato che essa sancisce esclusivamente la solenoidalità del vettore induzione magnetica, allo stesso modo dell’equazione rot E = 0 nel caso dell’elettrostatica in mezzi materiali.
3.6. CONDIZIONI DI RACCORDO DEI CAMPI 41 ( D, B) corrisponde una componente normale continua, mentre a vettore irrotazionale ( E, H) corrisponde una componente tangenziale continua. Ad ogni modo, ricordiamo brevemente i due casi: • campo magnetico H: si considera una circuitazione molto schiacciata attraverso i due mezzi, e dall’irrotazionalità (circuitazione nulla) in assenza di correnti libere, si ricava, considerando il tratto di circuito ortogonale alla superficie di separazione come infinitesimo di ordine superiore, la continuità della componente tangenziale H1t = H2t, ossia H1 sin ϑ1 = H2 sin ϑ2, essendo ϑ l’angolo che il campo forma con la normale alla superficie nel punto di passaggio; • induzione magnetica B: si considera un cilindro molto schiacciato attraverso i due mezzi, e dalla solenoidalità si ricava, considerando la superficie laterale come infinitesimo di ordine superiore, la continuità della componente normale B1n = B2n. Nel caso di mezzi magnetici lineari, da B1n = B2n usando la B = µ0κH ricaviamo κ1mH1 cos ϑ1 = κ2mH2 cos ϑ2, che, unita alla legge per la componente tangenziale del campo, dà la legge di rifrazione delle linee di forza del campo magnetico H: tan ϑ1 = tan ϑ2 . κ1m Se ne ricava che, se κ2m > κ1m (ad esempio nel passaggio dal vuoto o dall’aria, mezzo 1, a un qualunque altro materiale, mezzo 2), si ha ϑ2 > ϑ1: le linee di forza si allontanano dalla normale. Schermi magnetici. Nel caso in cui il mezzo 1 sia “normale”, ossia con κm ∼ 1, e il 2 un ferromagnete 4 , essendo κ2m ∼ 10 3 κ1m si ha θ2 → π/2: nel ferromagnete le linee di forza del campo non penetrano, ma rimangono in prossimità della superficie. Questo è il principio di costruzione degli schermi magnetici (tipicamente nella configurazione ad anello). 4Sebbene nei ferromagneti i campi non siano lineari e di conseguenza non siano definite la permeabilità e suscettività magnetica, nella maggioranza dei casi i campi rimangono paralleli. Possiamo quindi lavorare in termini dei loro moduli, e definire la permeabilità magnetica relativa differenziale κm = 1 ∂B ∂H , µ0 che è quella a cui si fa riferimento nel presente paragrafo, principalmente in termini di ordini di grandezza. κ2m
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