Dispense del corso di Elementi di Fisica della Materia - Skuola.net

10 CAPITOLO 1. RICHIAMI
• Prodotto vettoriale:
C = A × B
che, applicato ai vettori A e B restituisce il vettore C. In termini di
componenti risulta
Cx = AyBz − AzBy,
Cy = AzBx − AxBz,
Cx = AxBy − AyBx,
che possono essere meglio ricordate facendo uso del determinante simbolico
î
C =
Ax
ˆj
Ay
kˆ
Az
,
Bx By Bz
sviluppato in termini dei minori della prima riga contentente i versori 1 .
In termini di moduli si ha
C = AB sin ϑ,
essendo ϑ l’angolo formato dai due vettori. Il prodotto vettoriale è
nullo quando i vettori A e B sono parallelio antiparalleli, ossia quando
essi formano un angolo ϑ = 0 o ϑ = π, rispettivamente. Il prodotto
vettoriale è anticommutativo:
• Prodotto misto:
A × B = − B × A.
a = A × B · C
che, applicato ai vettori A, B e C restituisce lo scalare a. In particolare,
se due vettori qualunque sono paralleli, il loro prodotto misto è
sempre nullo. Geometricamente il loro prodotto misto, in valore assoluto,
equivale al volume del prisma individuato da essi e non dipende
dall’ordine con cui si considerano i tre vettori.
In particolare, per i versori coordinati cartesiani si hanno i seguenti risultati
î · î = 1 î · ˆj = 0 î × ˆj = ˆ k
ˆj · ˆj = 1 ˆj · ˆ k = 0 ˆj × ˆ k = î
ˆk · ˆ k = 1 ˆ k · î = 0 ˆ k × î = ˆj
î × ˆj · ˆ k = 1
1 Si rinvia a un testo di algebra lineare per i concetti testè definiti.