Dispense del corso di Elementi di Fisica della Materia - Skuola.net

76 CAPITOLO 4. ONDE ELETTROMAGNETICHE
1.
2.
3.
4.
div E = 0,
div B = 0,
rot E = − ∂ B
∂t ,
rot B = µ0σ0 ∂
E + µ0ɛ0
E
∂t .
Calcoliamo ora il rotore di ambo i mebri della terza equazione. Avremo
rot rot E = − ∂
∂t rot B,
ed inseriamo la quarta equazione a secondo membro dopo aver adoperato la
solita identità vettoriale al primo membro:
grad div E − ∇ 2 E
∂
= −µ0σ0
E
∂t
− µ0ɛ0
∂2E ,
∂t2 ricordiamo dalla prima equazione div E = 0 per avere alla fine
∇ 2 E − µ0ɛ0
∂2E ∂
= µ0σ0
∂t2 E
∂t .
In questa equazione il primo membro è chiaramente il termine di D’Alembert
che conduce alla propagazione di un’onda con velocità uguale a quella della
luce, ma a differenza del vuoto, a secondo membro è presente un termine di
tipo viscoso (legato alla drivata prima nel tempo del campo elettrico), che
esprime la perdita di energia dell’onda per muovere gli elettroni nel metallo.
Per cercare soluzioni ondulatorie per l’equazione delle onde nei metalli,
proviamo a verificare che la nostra onda standard, ossia piana armonica propagantesi
nella direzione positiva delle x e polarizzata linearmente lungo la
direzione z
Ez(x, t) = E0e i(kx−ωt)
soddisfi tale equazione. Avremo
∇ 2 Ez(x, t) = E0
∂ 2
∂x 2 ei(kx−ωt) = −k 2 E0e i(kx−ωt) = −k 2 Ez(x, t),