Dispense del corso di Elementi di Fisica della Materia - Skuola.net

38 CAPITOLO 3. MEZZI MAGNETICI
di essi avremo per il principio di equivalenza di Ampere di1 = Mz1dz e
di2 = Mz2dz. La corrente netta sulla faccia comune ai cubetti disposta nel
piano yz, è diretta lungo x e vale:
dix(1,2) = −di1 + di2 = (Mz2 − Mz1)dz,
avendo constatato che la corrente dovuta al cubetto 1 ha verso opposto a
quella del cubetto 2. Considerando 2 Mz ≡ Mz(y) come funzione di y, e,
essendo i cubetti 1 e 2 situati a coordinate y e y + dy, dato che essi sono di
dimensioni infinitesime, avremo Mz1 = Mz(y) e Mz2 = Mz(y + dy). Per il
teorema del differenziale Mz2 − Mz1 = [∂Mz(x)/∂y]dy e quindi
dix(1,2) = ∂Mz(y)
dydz.
∂y
Un altro contributo alla corrente lungo x deriva da due cubetti contigui
secondo l’asse z e considerando stavolta la componente My in funzione di z.
Detti 3 e 4 tali cubetti, con il 3 più in basso, si ricava per la corrente sulla
faccia contigua xy:
dix(3,4) = dim3 − dim4 = −(My4 − My3)dy,
e, ripetendo il teorema del differenziale sulla funzione My(z), si ottiene
dix(3,4) = − ∂My(z)
dydz.
∂z
La corrente netta lungo la direzione x è allora
∂Mz
dix = dix(1,2) + dix(3,4) =
∂y
∂My
− dydz,
∂z
dove per semplicità abbiamo omesso la dipendenza dalle coordinate delle
componenti del vettore magnetizzazione. La corrispettiva densità si ottiene
dividendola per la superficie dydz ad essa ortogonale:
Jmy = dix
dydz
= ∂Mz
∂y
− ∂Mz
∂y = |rot M|x,
in quanto questa non è altro che l’espressione della componente x del rotore
della magnetizzazione. E‘ facile ripetere lo stesso discorso per le altre due
componenti, ricaviamo quindi la relazione finale
Jm = rot M. (3.2)
2 Per la precisione, Mz sarà in genere una funzione di tutte e tre le coordinate x, y e z,
ma qui ci interessa in modo particolare la dipendenza da y.