Dispense del corso di Elementi di Fisica della Materia - Skuola.net

42 CAPITOLO 3. MEZZI MAGNETICI
3.7 Energia del campo magnetico
Nel vuoto, come per il campo elettrico, possiamo associare alla presenza di
un campo di induzione magnetica una densità di energia magnetica
um = 1
B
2µ0
2
che rappresenta il lavoro richiesto per la creazione del campo in quella zona
dello spazio. Ci chiediamo ora come cambia tale energia nel caso in cui nella
zona dove viene creato il campo siano presenti mezzi magnetici. Si potrebbe
procedere come nel caso dielettrico, sostituendo µ0 con µ, ma preferiamo
seguire un’impostazione più generale, valida anche per mezzi non lineari e
per comprendere meglio la fisica del sistema. A tal scopo, consideriamo un
solenoide ideale, di sezione Σ e lunghezza L avente N spire, il numero di spire
per unità di lunghezza sarà dunque n = N/L, e al suo interno poniamo un
materiale magnetico qualunque.
Le spire del solenoide vengono poi chiuse su un circuito dove sono presenti
una resistenza R e un generatore di fem E, tutti posti in serie. Sotto tali
condizioni, al passaggio di una corrente i in tale circuito si creerà un campo
di induzione magnetica uniforme all’interno del solenoide. Attiviamo il
circuito, facendo passare la corrente dallo zero iniziale fino a un valore finale,
poniamo i. In tale lasso di tempo il flusso del campo (che cambia cambiando
la corrente) concatenato con le spire varia, nascerà quindi una fem indotta
Ei = − d d
d
Φ(B) = − NΣB = −NΣ
dt dt dt B,
avendo opportunamente scelto il sistema di riferimento e ricordando che il
flusso concatenato si ottiene moltiplicando il flusso di B per il numero di spire
N. Si noti che la derivata rispetto al tempo è totale, in quanto in questo caso
il flusso e il campo B dipendono solo dal tempo. L’equazione della maglia
per il circuito risulta
E − Ri + Ei = 0,
ossia
E = Ri + NΣ d
dt B.
Moltiplicando ambo i membri di tale relazione per l’elemento infinitesimo
di carica trasferito dq = idt abbiamo un’uguaglianza tra lavoro fornito dal
generatore di fem da un lato e quello speso nella resistenza per effetto Joule
e nel solenoide per la creazione del campo magnetico dall’altro:
Edq = Ri 2 dt + NΣidB.