Dispense del corso di Elementi di Fisica della Materia - Skuola.net

14 CAPITOLO 1. RICHIAMI
• determinare il campo vettoriale A = ∇f;
• verificare che il rotore B = ∇ × A del campo A sia identicamente nullo
e dare le motivazioni;
• calcolare la divergenza di A;
• determinare il flusso di A attraverso la superficie S data dal quadrato
delimitato dai vertici Q1 = (1, 0, 0), Q2 = (0, 0, 0), Q3 = (0, 1, 0) e
Q4 = (1, 1, 0).
1.2 Equazioni di Maxwell nel vuoto
La summa dell’elettromagnetismo (classico) sono le equazioni di Maxwell,
formulate dal fisico scozzese James Clerk Maxwell nel 1873. Come vedremo,
alcune di esse erano già note, ma è stato merito di Maxwell l’aver proposto
una forma unificata. Da tali equazioni è difatti possibile desumere tutte le
leggi inerenti i fenomeni elettromagnetici. Partiremo proprio da esse per affrontare
l’elettromagnetismo nella materia. Di conseguenza, è utile ricordarle
nella seguente tabella, sia in forma integrale che differenziale.
equazione differenziale integrale
1 div E = ρ
ɛ0
S E · d S = Q
ɛ0
2 div
B = 0
S B · d S = 0
3 rot E = − ∂ B
∂t
4 rot B = µ0 J + µ0ɛ0 ∂ E
∂t
C E · dl = − ∂φS( B)
∂t
C B · dl = µ0i + µ0 ∂φS( E)
∂t
La forma integrale e differenziale sono completamente equivalenti tra loro:
l’uso di una particolare forma dipende quindi solo da scelta di opportunità.
Le relazioni differenziali sono del tipo punto a punto, e sono quindi utili
quando è neccesario studiare proprietà locali. Viceversa, quelle integrali
esprimono proprietà globali, e sono più utili in condizioni di simmetria o uniformità
dei campi, nel qual caso il calcolo degli integrali diventa più semplice.
Per passare da una forma all’altra basta usare i teoremi di Gauss e di Stokes3 Il teorema di Gauss, o della divergenza, conduce alla seguente relazione
φS(
A) = A · d
S = div AdV,
S
3 Come tutti i teoremi matematici, esistono precisi limiti di applicabilità delle relazioni.
Tutti i campi da noi considerati nel corso li soddisfanno, e non ci preoccuperemo oltre.
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