Dispense del corso di Elementi di Fisica della Materia - Skuola.net

3.4. RELAZIONI COSTITUTIVE DELLA MAGNETIZZAZIONE 37
vettore magnetizzazione. Ciascun volumetto avrà superficie dΣ e ovviamente
spessore dz, in modo che il suo volume sia dτ = dΣdz. Per definizione del
vettore magnetizzazione, avremo dm = Mdτ = MdΣdz ˆ k. Per il principio di
equivalenza di Ampere, il momento dm del volumetto può essere visto come
quello generato da una spira di superficie dΣ e percorsa da una corrente dim
in modo che dm = dimdΣ ˆ k per cui ne ricaviamo l’uguaglianza
dim = Mdz,
ricordando che tale equivalenza è esatta ai fini delle conseguenze fisiche.
Sostituendo nella fetta dz tutti i volumetti con i nastri (spire allungate) e
considerando che, essendo M lo stesso per tutti i volumetti, anche le correnti
dim su ogni nastro sono uguali, in modo che su due nastri contigui esse
si elidono, lasciando quindi solo le correnti nei nastri in prossimità della
superficie laterale. Sommando le correnti di tutte le fette abbiamo per il
cilindro intero
im = Mdz = Mh,
essendo h l’altezza del cilindro. Riscriviamo questo risultato definendo una
densità lineare di corrente amperiana
Jlm = im
h
= dim
dz
= M
dove abbiamo usato i sottoscritti l per ricordare che si tratta di una densità
lineare di corrente e m per rimarcare la sua origine microscopica. Tenuto
conto che im nel cilindro è diretta lungo la direzione tangente alla superficie
in senso antiorario, possiamo scrivere la definizione in termini vettoriali
Jlm = M × ˆn (3.1)
dove ˆn è il versore normale alla superficie e diretto verso l’esterno, nel punto
in cui si desidera calcolare la densità lineare di corrente. Si noti che questa
densità si misura in Ampere su metro, essendo lineare. Vale la relazione
integrale
M · dl = im,
C
dove C è un percorso chiuso che concatena la corrente im.
Magnetizzazione non uniforme. Consideriamo ora un materiale in
cui la magnetizzazione M non sia uniforme. All’interno di esso consideriamo
due cubetti attigui secondo la direzione y, chiamiamoli 1 e 2 1 . In ciascuno
1 Tale scelta è la più immediata da visualizzare in un sistema di riferimento cartesiano
destrogiro, come è nello standard.