Dispense del corso di Elementi di Fisica della Materia - Skuola.net

94 CAPITOLO 5. OTTICA ONDULATORIA
a considerare la risultante nel punto P, che per il principio di sovrapposizione
sarà dato da
E(P ) =
N
j=1
Ej = E0
N
j=1
e i(krj−ωt) = E0e −iωt
N
e ikrj .
Nell’approssimazione di punto lontano possiamo scrivere per le prime due
sorgenti r2 − r1 = δ con δ = d sin θ, dove θ è l’angolo formato dalla retta
congiungente il punto P con il punto medio del segmento S1-S2 e l’asse di
tale segmento nel piano dove si trova anche P. Ma tale ragionamento si può
ripetere anche per due sorgenti successive j e j + 1, ossia rj+1 − rj = δ, dato
che l’angolo θ in approssimazione di punto lontano si mantiene lo stesso. Per
induzione potremo quindi scrivere
rj = r1 + (j − 1)δ.
Potremo quindi riscrivere il campo totale come
E(P ) = E0e −iωt
N
j=1
e ik[r1+(j−1)δ] = E0e i(ikr1−ωt)
Ridefiniamo l’indice della sommatoria ad ultimo membro
N
e ik(j−1)δ =
j=1
N−1
j=0
e ikjδ .
j=1
N
e ik(j−1)δ .
Tale sommatoria è nota nell’analisi, in quanto si tratta di una somma parziale
di una serie geometrica. Essa vale, essendo z un qualunque numero complesso
N
z j =
j=0
1 − zN+1
,
1 − z
come si può facilmente verificare riscrivendola nella forma
(1+z+z 2 +. . .+z N )(1−z) = 1−z+z−z 2 +z 2 . . .−z N +z N −z N+1 = 1−z N+1 .
Nel nostro caso si ha z = exp(ikδ) e la somma si arresta a N − 1. Quindi
N−1
j=0
e ikjδ =
1 − eiNkδ
.
1 − eikδ j=1