Dispense del corso di Elementi di Fisica della Materia - Skuola.net

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48 CAPITOLO 3. MEZZI MAGNETICI 3.8.2 Paramagnetismo Abbiamo notato nella sezione precedente che, per tutti i materiali, ogni atomo darà un contributo al diamagnetismo. Ad ogni modo, esiste una classe di sostanze in cui atomi o molecole presentano un momento di dipolo magnetico intrinseco (sostanze polari), poniamo m0, in genere uguale in modulo per tutti gli atomi o molecole. In tal caso sarà quest’ultimo a dominare le proprietà magnetiche e il materiale sarà paramagnetico. A livello microscopico, i vari dipoli magnetici elementari (permanenti) in assenza di un campo esterno saranno orientati in modo completamente casuale per effetto dell’agitazione termica. Di conseguenza il momento magnetico complessivo del materiale sarà nullo. Invece, in presenza di un campo di induzione B tali momenti subiranno un momento meccanico τ = m0 × B che tenderà a farli allineare in direzione del campo: difatti in tale configurazione l’energia magnetica dei dipoli Um = −m0 · B risulta minima. La termodinamica mostra che uno stato con energia Um a temperatura assoluta T ha una probabilità data dalla legge di Boltzmann p = e−βUm Z , dove β = 1/KT con K = 1.381 · 10−23 J/K costante di Boltzmann e Z è la funzione di partizione, ossia la somma Z = i exp(−βUmi) su tutti gli stati i accessibili al sistema (il dipolo in questo caso), ognuno dei quali con energia Umi. Considerando quindi tutti i possibili stati in cui può trovarsi un singolo momento magnetico ed estendendo il calcolo a un insieme di na dipoli per unità di volume, la magnetizzazione risulta essere M = nam0L(a) = MsatL(a), dove la magnetizzazione di saturazione Msat = nam0 rappresenta il valore della magnetizzazione acquistato dal materiale in condizioni di saturazione, ossia con tutti i dipoli allineati in direzione del campo esterno, mentre L(a) denota la funzione di Langevin, definita come laddove l’argomento risulta L(a) = cotgh a − 1 a = ea + e−a ea − e a = m0B KT . 1 − −a a , La funzione di Langevin (mostrata in figura 3.1) ha un’interpretazione fisica.
3.8. MECCANISMI MICROSCOPICI 49 L(a) 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 1 2 3 4 5 a Figura 3.1: L’andamento della funzione di Langevin L(a) in termini della quantità a = m0B/KT . La linea rossa rappresenta il limite per a → 0 L(a) a/3. Scrivendola come un rapporto L(a) = M Msat indica la frazione di momenti magnetici del materiale allineati al campo etserno. Di solito i campi B nel materiale non sono troppo intensi, ossia si è nella situazione a ≪ 1 a tempreatura ambiente. In tal caso possiamo usare lo sviluppo in serie di L(a) per a → 0 e si ha L(a) a a3 − + . . . 3 45 Fermandoci al primo termine dello sviluppo troviamo in termini della magnetizzazione M = nam 2 0B 3KT , laddove, essendo il materiale paramagnetico, possiamo scrivere B = µH = µ0κmH µ0H essendo κm 1. Avremo in definitiva M = naµ0m 2 0H 3KT = χmH,
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