Dispense del corso di Elementi di Fisica della Materia - Skuola.net

2.4. EQUAZIONI GENERALI DELL’ELETTROSTATICA 25
La carica totale sulla faccia in comune tra i cubetti risulta
δqx = dqP,1 + dqP,2 = −(Px2 − Px1)dydz = −[P (x + dx) − P (x)]dydz.
Essendo la differenza nella coordinata x tra il centro del cubetto 1 x e quello
del cubetto 2 x + dx molto piccola, potremo usare il teorema del differenziale
nella differenza P (x + dx) − P (x). Avremo
−[P (x + dx) − P (x)]dydz = − ∂Px
dxdydz = −∂Px
∂x ∂x dτ
Allo stesso modo si considerano i contributi derivanti da cubetti contigui
sugli assi y e z per arrivare, tramite somma, alla
ρp = δqx
+ δqy + δqz ∂Px ∂Py ∂Pz
= − + + = −div
dxdydz
∂x ∂y ∂z
P .
Concludiamo quindi che in un dielettrico con polarizzazione non uniforme,
oltre alla densità superificiale di carica compare una di volume al suo interno.
La neutralità generale del dielettrico deve continuare però ad essere valida,
quindi:
σP dS + ρP dτ = 0,
S
con integrali estesi alla superficie S e al volume V del dielettrico.
Osservazione. Nel caso di polarizzazione uniforme, il vettore P è costante,
ha quindi divergenza nulla e densità di volume di carica di polarizzazione
ρP = 0. Non è vera invece l’implicazione contraria: ci sono casi in cui ρP = 0,
anche con P non costante (basta che abbia divergenza nulla, appunto). Concludiamo
che generalmente il contributo più importante alla polarizzazione
di un dielettrico proviene dalle cariche superficiali.
2.4 Equazioni generali dell’elettrostatica
Possiamo ora affrontare il problema di come modificare le equazioni di Maxwell
dell’elettrostatica in presenza di dielettrici per campi stazionari. All’interno
di un dielettrico il campo totale è la somma di quello esterno e dei campi
generati dalle cariche interne (atomi, elettroni). Si verifica che tali campi dovuti
a cariche interne mantengono sempre le caratteristiche coulombiane
a livello microscopico, e rimangono quindi conservativi. Esso rimane quindi
irrotazionale, a circuitazione nulla ed esprimibile come gradiente di un
potenziale (in condizioni statiche, beninteso): rot E = 0 e E = − ∇V . La
presenza di dielettrici non modifica quindi la terza equazione di Maxwell.
τ