Dispense del corso di Elementi di Fisica della Materia - Skuola.net

4.4. LE EQUAZIONI DI MAXWELL IN PRESENZA DI MEZZI MATERIALI61
1. Questa nel caso dei mezzi dielettrici diventa
div D = ρ,
si dimostra che tale relazione rimane valida anche se D e ρ dipendono
dal tempo sotto ampi limiti.
2. Tale equazione, insieme alla successiva
3. non contengono le sorgenti, essendo espressione unicamente di proprietà
dei campi microscopici B e E. Esse quindi sono valide anche nei mezzi
materiali senza alcuna modifica.
4. Questa è la più complessa. Assumendo valida la dipendenza dal tempo
delle quantità in essa contenute, possiamo tenere conto dei mezzi
magnetici e delle relative correnti amperiane definendo il vettore H.
Avremo quindi
rot H = ∂
J + ɛ0
E
∂t .
Tale equazione non è però corretta in quanto, calcolando la divergenza
di ambo i membri, si trova
0 = div rot H = div ∂
J + ɛ0
∂t div E.
La divergenza di J è pari per l’equazione di continuità a ∂ρL/∂t, ossia
la corrente di conduzione è dovuta al moto di cariche libere, la seconda
invece per la prima equazione di Maxwell è pari alla somma della
densità di carica libere e di polarizzazione a meno della costante ɛ0.
Avremo quindi
div ∂
J + ɛ0
∂t div E = − ∂ρL
∂t
+ ∂ρL
∂t
+ ∂ρP
∂t
= ∂ρP
∂t
= 0.
Il problema evidentemente si supera se al posto di E includiamo un
vettore la cui divergenza, anche nei mezzi materiali, è pari alla sola
densità di cariche libere. Questo vettore esiste ed è proprio D. In
definitiva, la quarta equazione di Maxwell si riscrive
rot H = J + ∂ D
∂t .