Dispense del corso di Elementi di Fisica della Materia - Skuola.net

56 CAPITOLO 4. ONDE ELETTROMAGNETICHE
Tra le varie funzioni soluzioni dell’equazione di D’Alembert particolare
importanza sono quelle armoniche:
f(x − vt) = sin[k(x − vt)] f(x − vt) = cos[k(x − vt)],
laddove abbiamo introdotto la grandezza k, il numero di onda, per rendere
adimensionale l’argomento delle funzioni seno e coseno. In particolare,
esse sono soluzioni completamente equivalenti per l’equazione delle onde: se
il seno è soluzione, lo sarà anche il coseno dato che differisce dal seno a meno
di un fattore di fase costante non influente nell’equazione delle onde (in cui
sono presenti solo derivate).
Per le onde armoniche definiamo:
• la lunghezza di onda e il numero di onda;
• la pulsazione e la frequenza;
• le corrispettive unità di misura;
• la fase: argomento della funzione seno o coseno;
• λν = v;
• ω = kv;
• k = 2π/λ.
Importanza delle funzioni armoniche in virtù dell’analisi di Fourier: ogni
funzione periodica si può sviluppare in una serie di funzioni armoniche.
4.1.2 Notazione simbolica
Numeri complessi. Sono nella forma z = a + bi con a parte reale e b
coefficiente dell’immaginario. L’unità immaginaria è definita in modo tale
che √ −1 = i. Anche i numeri complessi costituiscono un campo: in essi sono
definite delle operazioni di addizione e moltiplicazione godenti delle stesse
proprietà delle corrispettive in campo reale. Tuttavia il campo complesso
non è ordinato: non è possibile definire in esso una relazione di ordine
completa come quella reale.
Modulo. Dato il numero complesso z = a + ib, il suo modulo sarà:
|z| = √ a 2 + b 2 . In particolare, si dice coniugato di z il numero complesso
¯z = a − ib. Vale l’uguaglianza |z| 2 = z¯z.
Notazione simbolica Siccome l’operatore è lineare, se ξ1 e ξ2 sono
soluzioni dell’equazione delle onde anche ξ = aξ1 + bξ2 lo sarà, pure nel caso