Dispense del corso di Elementi di Fisica della Materia - Skuola.net

86 CAPITOLO 5. OTTICA ONDULATORIA
Consideriamo tale onda incidente piana armonica, di vettore d’onda ki e di
pulsazione ω:
ξi = ξ0ie i( ki·r−ωt) ,
di conseguenza la direzione di propagazione dell’onda incidente è individuata
dal vettore ki. Da essa avranno origine l’onda riflessa
ξr = ξ0re i( kr·r−ωt) ,
nel mezzo 1 e quella trasmessa (rifratta)
ξt = ξ0te i( kt·r−ωt) ,
nel mezzo 2. Naturalmente, tutte le tre onde hanno medesima pulsazione
ω. Ora, su ogni punto della superficie di separazione le fasi delle tre onde
devono essere uguali, siccome si tratta dello stesso fenomeno fisico. Da tale
ugualgianza ricaviamo le seguenti relazioni:
ki · r = kr · r = kt · r.
Orientiamo ora in modo opportuno il sistema di riferimento in modo che il
vettore di onda incidente si trovi nel piano yz. Tale scelta del riferimento
non altera i risultati dell’uguaglianza delle fasi delle tre onde, in quanto essa
è indipendente da tale scelta. Inoltre, il vettore r ha componente z = 0 in
quanto per ipotesi giace sul piano di separazione tra i due mezzi materiali.
Avremo quindi
r = xî + yˆj, ki = kiy ˆj + kiz ˆ k,
kr = krx î + kry ˆj + krz ˆ k, kt = ktx î + kty ˆj + ktz ˆ k,
in quanto nulla possiamo dire a priori sulle direzioni delle onde riflessa e rifratta,
che hanno quindi di conseguenza tutte e tre le componenti. Eseguendo
i prodotti scalari derivati dall’uguaglianza delle tre fasi, e tenuto conto della
scelta del sistema di riferimento, avremo
kiyy = krxx + kryy = ktxx + ktyy.
Queste uguaglianze devono essere valide per ogni scelta di x e y,dato che il
fenomeno fisico non dipende dal particolare punto di incidenza. Dal principio
di identità dei polinomi ricaviamo quindi
e
krx = ktx = 0
kiy = kry = kty.