Corso di Laurea in Architettura LM4 Sede di Agrigento Esercitazioni ...

questi risultati dobbiamo studiare il sistema lineare di due equazioni in tre incognite
formato dalle equazioni dei due piani:
ax + by + cz + d = 0
a ′ x + b ′ y + c ′ z + d ′ = 0
Se la matrice incompleta del sistema
a b c
ha caratteristica due, il sistema
a ′ b c ′
è compatibile ed ammette ∞ 1 soluzioni: i piani si intersecano in una retta. Se la
matrice ha caratteristica uno, i piani sono paralleli. In particolare coincidono se
anche la matrice completa ha caratteristica uno.
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Equazione di una retta. Sappiamo che due piani non paralleli individuano una
retta i cui punti, poichè appartengono a ciascuno dei due piani, hanno coordinate
che verificano le equazioni di entrambi i piani. Allora, se ax + by + cz + d = 0,
a ′ x + b ′ y + c ′ z + d ′ = 0 sono le equazioni dei due piani che contengono la retta, il
sistema ax + by + cz + d = 0
a ′ x + b ′ y + c ′ z + d ′ = 0
è una rappresentazione analitica della retta nel senso che tutti e soli i punti della retta
sono quelli le cui coordinate verificano il sistema (15). Le (15) si possono, pertanto,
interpretare come equazioni della retta e si chiamano equazioni cartesiane della retta:
per individuare le equazioni cartesiane di una retta basta conoscere le equazioni di
due piani che la contengono. E’ evidente che le (15) non sono uniche perchè piani che
passano per una retta ne esistono infiniti, un intero fascio di piani. Si rappresenta la
stessa retta sostituendo le equazioni (15) con una loro qualsiasi combinazione lineare.
Una retta r può essere individuata anche assegnando un suo punto P=(x0, y0, z0) ed
un vettore non nullo v(l, m, n) ad essa parallelo o anche mediante due punti P0 e P1,
caso che si riduce al precedente ponendo v = P0P1. Un punto dello spazio appartiene
alla retta r se e solo se i vettori P P0 e v sono paralleli. Nel caso in cui il vettore v
(o P0P1
) hanno tutte e tre le componenti non nulle, un punto P (x, y, z) dello
spazio appartiene alla retta r se e solo se:
x − x0
l
= y − y0
m
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= z − z0
n
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(16)