Corso di Laurea in Architettura LM4 Sede di Agrigento Esercitazioni ...

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Metodo di integrazione per parti f(x)g ′ (x)dx = f(x)g(x) − f ′ (x)g(x)dx. Esercizio 104 Calcolare per parti i seguenti integrali indefiniti i) iii) v) vii) x cos x dx; ii) xe x dx; iv) ln x dx; vi) x 2 ln x dx; viii) x sin x dx; x 2 e x dx si integra due volte per parti; x ln x dx; x 5 ln x dx. Soluzioni: i) x sin x+cos x+c; ii) −x cos x+sin x+c; iii)xe x −e x +c; iv) x 2 e x − 2xe x +2e x +c; v) x ln x−x+c; vi) x 2 /2 ln x−1/4x 2 +c; vii) x / 3 ln x−1/9x 3 +c; viii) 1/6x 6 ln x − 1/36x 6 + c. Esercizio 105 Calcolare per parti i seguenti integrali indefiniti i) iii) (x + 3)e x dx; ii) sin 2 x dx; iv) 48 xe −x dx; cos 2 x dx;
Consideriamo ora integrali del tipo 1 ax 2 + bx + c dx con discriminante del trinomio che compare al denominatore della funzione integranda positivo. Esercizio 106 Calcolare il seguente integrale: 1 x 2 − 7x + 10 dx . [ Soluzione: Essendo il discriminante di x 2 − 7x + 10 diverso da zero ed essendo 2 e 5 gli zeri del trinomio possiamo scrivere l’integrando come somma di due frazioni con denominatore lineare 1 x 2 − 7x + 10 A B = + x − 5 x − 2 Ax − 2A + Bx − 5B = x2 . − 7x + 10 Affinché questa equazione valga si deve avere (A + B)x − 2A − 5B = 1 e quindi A + B = 0 −2A − 5B = 1. Da cui A = 1/3 e B = −1/3. Pertanto 1 x2 1/3 1/3 dx = − − 7x + 10 x − 5 x − 2 dove ln |x − 5| − ln |x − 2| = ln x−5 . ] x−2 Esercizio 107 Provare la seguente eguaglianza: 1 x2 1 dx = − 4 4 ln x − 2 x + 2 + c 49 dx = 1 (ln |x − 5| − ln |x − 2|) + c, 3
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