Corso di Laurea in Architettura LM4 Sede di Agrigento Esercitazioni ...

E’ particolarmente semplice scrivere il prodotto ed il quoziente di due numeri
complessi z = ρ(cos θ + i sin θ) e z ′ = ρ ′ (cos θ ′ + i sin θ ′ ). Usando le formule di
addizione per il seno ed il coseno con semplici passaggi si ottiene
z · z ′ = ρρ ′
cos(θ + θ ′ ) + i sin(θ + θ ′
) .
Mentre se z ′ = 0 si trova
z ρ
=
z ′ ρ ′
cos(θ − θ ′ ) + i sin(θ − θ ′
) .
Potenza. Dalla formula del prodotto si deduce facilmente la forma trigonometrica
della potenza z n con n ∈ N:
z n = ρ n (cos θ + i sin θ) n = ρ n (cos nθ + i sin nθ)
Radici di un numero complesso. Un numero complesso z = r(cos α + i sin α) è
la radice n-sima di un numero complesso ω se risulta
Poichè
si deve avere ⎧ ⎨
⎩
z n = ω.
z n = r n (cos nα + i sin nα) e
ω = ρ (cos θ + i sin θ),
r n = ρ,
nα = θ + 2kπ, con k = 0, 1, · · · , n − 1;
da cui si ricavano le formule per il calcolo delle n radici n-sime di un numero
complesso ω assegnato:
⎧
⎪⎨
r = n√ ρ,
⎪⎩
α = θ
n
2π
+ k , con k = 0, 1, · · · , n − 1.
n
Osserviamo che le radici n-sime si trovano tutte sulla circonferenza di raggio n√ ρ e
risultano sfasate di 2π
n
iscritto nella circonferenza di raggio n√ ρ).
(si trovano così nei vertici di un poligono regolare di n lati
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