Fisica I anno: Appunti - STOQ

28 CHAPTER 4. L’OSCILLATORE ARMONICOUna equazione di tal fatta consiste in una somma di diversi termini ciascun termine essendouna derivata della variabile dipendente rispetto alla variabile indipendente, moltiplicata peruna costante.L’oscillatore armonico è il sistema meccanico più semplice costituito da una molla a cui èsospeso un corpo.Se allunghiamo la molla, questa si riporta nella posizione di equilibrio gravitazionale emuovendosi dalla posizione iniziale a quella finale spostandosi di un valore x vuol dire cheesiste una forza che tira indietro quando la molla è tesa che è esattamente proporzionaleall’entità dell’allungamento.Cioè la forza è proporzionale alla costante di allungamento della molla per lo spostamentoall’indietro.Poichè la forza come abbiamo visto in precedenza è data dal prodotto della massa perl’accelerazione o la derivata seconda dello spostamento nel tempo avremo allora una equazionedifferenziale alla derivata seconda.Supponiamo che il moto sia periodico e sia descrivibile con una funzione in cui x è ugualeal coseno. In tal caso la derivata prima è data dalla funzione seno e la derivata seconda è lafunzione coseno.Ora se consideriamo la condizione iniziale al tempo zero avremo che x = 1 e velocità inizialenulla.Sapendo quindi che x = cost possiamo calcolare un valore esatto per il tempo a cui dovrebbepassare per x = 0. La risposta è:t = π 2(4.1)Guardiamo cosa accade se tiriamo la molla per una lunghezza doppia della precedente,avremo una forza doppia ed una accelerazione doppia, il tempo per ritornare all’origine èperò lo stesso tempo indipendentemente dallo spostamento iniziale.In altre parole il moto ha lo stesso andamento nel tempo indipendentemente da quanto forteè l’allungamento.Alla fine troviamo che la soluzione dell’equazione differenziale dipende dal coseno di unacostante per il tempo.Vediamo ora qual’è il significato di questa costante.Sapendo che la funzione coseno ripete se stessa quando l’angolo a cui si riferisce è 2π, avremoche la funzione ripeterà il moto, cioè compirà un ciclo completo quando l’angolo cambia di