VAIR¯AKU ARGUMENTU FUNKCIJU DIFERENCI¯ALR¯EK¸ INI

1.2. Vairāku argumentu funkcijas robeˇza un nepārtrauktība 11
Apskata funkciju f(P ), kura definēta punkta P0 kaut kādā apkārtnē,
ieskaitot arī paˇsu punktu P0.
Funkciju f(P ) sauc par nepārtrauktu punktā P0, ja
lim f(P ) = f(P0).
P →P0
Funkciju sauc par nepārtrauktu punkta P0 apkārtnē, ja tā ir nepārtraukta
katrā ˇsīs apkārtnes punktā.
1.3. piemērs. Izskaitl¸ot robeˇzas:
1. lim
x→0
y→0
x 2 + y 2
x 2 + y 2 + 1 − 1 .
Ja x → 0 un y → 0, tad dal¸as skaitītājs un saucējs vienlaicīgi
tiecas uz nulli, tāpēc iegūst nenoteiktību “ 0
0 ”. Doto robeˇzu var
izskaitl¸ot ar diviem paņēmieniem.
1. paņēmiens.
Ņemot vērā, ka jāizskaitl¸o robeˇza, kad P (x; y) → P0(0; 0) jeb
ρ(P ; P0) = x 2 + y 2 → 0, doto robeˇzu pārraksta kā viena argumenta
ρ funkcijas robeˇzu un izskaitl¸o to:
lim
x→0
y→0
x 2 + y 2
x 2 + y 2 + 1 − 1 = lim
ρ→0
2. paņēmiens.
ρ
= lim
ρ→0
2
ρ2 + 1 + 1
ρ2 ρ 2
ρ 2 + 1 − 1 =
Pārveido izteiksmi un izskaitl¸o robeˇzu:
lim
x→0
y→0
sin(xy)
2. lim
x→0 x .
y→3
= lim ρ2 + 1 + 1 = 2.
ρ→0
x2 + y2 (x
= lim
x2 + y2 + 1 − 1 x→0
y→0
2 + y2 ) x2 + y2 + 1 + 1
x2 + y2 = lim
x→0
y→0
Lai atrastu doto robeˇzu, novērˇs nenoteiktību “ 0
0 ”.
=
x2 + y2 + 1 + 1 = 2.