VAIR¯AKU ARGUMENTU FUNKCIJU DIFERENCI¯ALR¯EK¸ INI

2.6. Teilora formula divu argumentu funkcijai 37
Tātad
Uzdevumi
z(x; y) = z(1; 1) + dz(1; 1) + 1
2 d2 z(1; 1) + R2. (2.5)
1. Atrod pirmās un otrās kārtas parciālos atvasinājumus:
3z 2 z ′ x − 2z − 2xz ′ x = 0, z ′ x =
6zz ′ 2 2 ′′
x + 3z z
2z
3z 2 − 2x ,
x2 − 4z ′ x − 2xz ′′
x2 = 0, z′′ x2 = 4z′ x − 6zz ′ x
3z2 − 2x ,
1
2x − 3z2, 3z 2 z ′ y − 2xz ′ y + 1 = 0, z ′ y =
6zz ′ 2 2 ′′
y + 3z z
y2 − 2xz ′′
y2 = 0, z′′ y2 = 6zz′ y
2x − 3z2, 6zz ′ xz ′ y + 3z 2 z ′′
xy − 2z ′ y − 2xz ′′
xy = 0, z ′′
xy = 6zz′ xz ′ y − 2z ′ y
2x − 3z 2 .
2. Atrod parciālo atvasinājumu vērtības punktā (1; 1):
z ′ x(1; 1) = 2, z ′ y(1; 1) = −1,
z ′′
x2(1; 1) = −16, z′′ xy(1; 1) = 10, z ′′
y2(1; 1) = −6.
3. Atrod pirmās un otrās kārtas diferenciāl¸u vērtības punktā (1; 1):
dz(1; 1) = 2∆x − 1 · ∆y,
d 2 z(1; 1) = −16∆x 2 + 20∆x∆y − 6∆y 2 .
4. Ievietojot atrastās diferenciāl¸u vērtības formulā (2.5), iegūst:
z(x; y) = 1 + (2∆x − ∆y) − (8∆x 2 − 10∆x∆y + 3∆y 2 ) + R2.
1. Uzrakstīt Teilora formulu funkcijai f(x; y) = x 3 − 2y 3 + 3xy punkta
(2; 1) apkārtnē.
2. Uzrakstīt funkcijas f(x; y) = y x Teilora formulu, kas satur x un y
pakāpes līdz otrajai ieskaitot, punkta (2; 1) apkārtnē.
2
2