VAIR¯AKU ARGUMENTU FUNKCIJU DIFERENCI¯ALR¯EK¸ INI

3.1. Divu argumentu funkcijas pētīˇsana uz ekstrēmu 41
iegūst funkcijas stacionāros punktus: (0; 0), (0; ±1), ± 1
2 ; 0 , ± 1
2 ; ±1 .
Atrod funkcijas otrās kārtas parciālos atvasinājumus:
z ′′
x 2 = 24x2 − 2, z ′′
xy = 0, z ′′
y 2 = 12y2 − 4.
Tā kā ∆ = (−2)(−4) − 0 = 8 > 0, tad punkts (0; 0) ir dotās
(0;0)
funkcijas ekstrēma punkts. Ņemot vērā, ka
A = z ′′
= −2 < 0,
(0;0)
secina, ka funkcijai z punktā (0; 0) ir maksimums:
max z(x; y) = z(0; 0) = 0.
Tā kā
x 2
∆ = (−2)8 = −16 < 0, ∆ (0;±1)
(± 1
2 ;0)
= 4(−4) = −16 < 0,
tad funkcijai z punktos (0; ±1) un (± 1
2 ; 0) ekstrēmu nav.
Tā kā
∆
(± 1
2 ;±1)
= 4 · 8 = 32 > 0 un A = z′′ x2 (± 1
2
tad funkcijai z punktos ± 1
2 ; ±1 ir minimums:
min z(x; y) = z
1
; 1 = z
2
− 1
; −1
2
= z
;±1) > 0,
1
; −1 =
2
= z − 1
; 1
2
3.2. piemērs. Noteikt funkcijas z = x 6 + y 6 ekstrēmus.
= − 9
8 .
Lai noteiktu funkcijas stacionāros punktus, atrod funkcijas parciālos
atvasinājumus: z ′ x = 6x 5 , z ′ y = 6y 5 .
Atrisinot vienādojumu sistēmu
6x 5 = 0,
6y 5 = 0,
secina, ka funkcijai ir tikai viens stacionārais punkts (0; 0).
Atrod funkcijas otrās kārtas parciālos atvasinājumus:
z ′′
x 2 = 30x4 , z ′′
xy = 0, z ′′
y 2 = 30y4 .