VAIR¯AKU ARGUMENTU FUNKCIJU DIFERENCI¯ALR¯EK¸ INI

2.5. Augstāko kārtu atvasinājumi un diferenciāl¸i 31
jeb
z ′′
x2 = (z′ x) ′
x , z′′ xy = (z ′ x) ′
y , z′′ yx = z ′ ′
y , z′′
x y2 = z ′ ′
y y .
Līdzīgi definē un apzīmē treˇsās, ceturtās un vispārīgi n-tās kārtas parciālos
atvasinājumus.
2.15. piemērs. Atrast funkcijas z = arctg x
y otrās kārtas parciālos atvasinājumus.
∂z
∂x =
∂z
∂y =
∂2z =
∂x2 1 +
∂ 2 z
∂x∂y =
1
x
y
1
2 ·
x 1 + y
y
2 · 1
y =
y
x 2 + y 2,
− x
y2
= − x
x2 + y2, ′
= y (x 2 + y 2 ) −1 ′ 2xy
= − x (x2 + y2 ) 2,
x2 + y2 x
y
x2 + y2 ′
=
y
x2 + y2 − 2y2 (x2 + y2 ) 2 = x2 − y2 ′
− x
∂2z ∂y∂x =
∂2
z
= −
∂y2 x
x2 + y2 x2 + y2 ′
Ja jauktie atvasinājumi ∂2z tie ir vienādi ˇsajā punktā, t.i.,
y
x
=
∂x∂y un ∂2 z
= x2 − y 2
(x 2 + y 2 ) 2,
2xy
(x 2 + y 2 ) 2.
(x 2 + y 2 ) 2,
∂y∂x ir nepārtraukti punktā P0, tad
∂2z ∂x∂y (P0) = ∂2z ∂y∂x (P0).
Augstāko kārtu parciālos atvasinājumus triju, četru un vispārīgi n
argumentu funkcijām definē un aprēk¸ina līdzīgi.
∂ 2.16. piemērs. Atrast 3z ∂y2∂x , ja z = cos(xy).
Lai funkcijai z atrastu norādīto treˇsās kārtas parciālo atvasinājumu,
vispirms doto funkciju atvasina divas reizes pēc y un pēc tam funkciju