VAIR¯AKU ARGUMENTU FUNKCIJU DIFERENCI¯ALR¯EK¸ INI

2.4. Atvasinājums norādītajā virzienā. Gradients 27
Uzdevumi
1. Dotajām saliktajām funkcijām atrast norādītos atvasinājumus:
1. z = arcctg y
x , y = √ 1 − x,
2. z = x 3 e y , x = uv, y = u 2 − v 2 ,
3. z = x y , y = ln x,
4. u = e z−2y , z = sin x, y = x 2 ,
5. z = ln t, t = sin x + cos y,
6. z = e xy ln(x + y), x = 2t 2 , y = 1 − 2t 2 ,
7. z = cos(2t − 4x 2 − y), x = 1
, y =
t
√ t
ln t ,
8. u = x 2 + y 2 + z 2 , x = √ t, y = e 2t , z = t 2 ,
9. z = x 2 y − xy 2 , x = ρ cos ϕ, y = ρ sin ϕ,
x + 1
10. z = arctg , y = e
y
(1+x)2
,
11. z = f(u), u = xy + y
x ,
12. u = y 2 + √ xz + 1
t
, x = t + v, y = , z = tv,
cos z v
∂z dz
un
∂x dx ;
∂z ∂z
un
∂u ∂v ;
∂z dz
un
∂x dx ;
du
dx ;
∂z ∂z
un
∂x ∂y ;
dz
dt
dz
dt ;
du
dt ;
∂z ∂z
un
∂ρ ∂ϕ ;
dz
dx ;
∂z
∂x ;
∂u ∂u
,
∂t ∂v .
2. Pārbaudīt, vai dotās funkcijas apmierina atbilstoˇsos vienādojumus:
1. z = arctg x
, x = u + v, y = u − v,
y
∂z ∂z
+
∂u ∂v
3. z = xy + xe y
x, x ∂z ∂z
+ y
∂x ∂y
= u − v
u 2 + v 2;
= xy + z.
2.4. Atvasinājums norādītajā virzienā. Gradients
Pieņemsim, ka dota funkcija z = f(x; y), kas ir definēta punkta P0(x0; y0)
apkārtnē, un dots stars l ar sākumu punktā P0. Punkts P (x; y) ir patval¸īgi