VAIR¯AKU ARGUMENTU FUNKCIJU DIFERENCI¯ALR¯EK¸ INI

2.2. Pieskarplakne un normāle 23
Izmantojot funkcijas F parciālos atvasinājumus, pieskarplaknes vienādojumu
var uzrakstīt ˇsādi:
F ′ x(x0; y0; z0)(x−x0)+F ′ y(x0; y0; z0)(y −y0)+F ′ z(x0; y0; z0)(z −z0) = 0,
bet normāles vienādojumu -
x − x0
F ′ x(x0; y0; z0) =
y − y0
F ′ y(x0; y0; z0) =
z − z0
F ′ z(x0; y0; z0) .
2.8. piemērs. Uzrakstīt pieskarplaknes un normāles vienādojumu virsmai
(z 2 − x 2 )xyz − y 5 = 5 punktā M(1; 1; 2).
Virsmas vienādojumu pārraksta ˇsādi: xyz 3 −x 3 yz −y 5 −5 = 0. Atrod
funkcijas F (x; y; z) = xyz 3 − x 3 yz − y 5 − 5 parciālos atvasinājumus un
to vērtības dotajā punktā:
F ′ x(1; 1; 2) = (yz 3 − 3x 2
yz) = 2;
M(1;1;2)
F ′ y(1; 1; 2) = (xz 3 − x 3 z − 5y 4
) = 1;
M(1;1;2)
F ′ z(1; 1; 2) = (3xyz 2 − x 3
y) = 11.
M(1;1;2)
Ievietojot parciālo atvasinājumu vērtības un dotā punkta koordinātas
pieskarplaknes vienādojumā, iegūst virsmas (z 2 − x 2 )xyz − y 5 = 5
pieskarplaknes punktā M(1; 1; 2) vienādojumu:
jeb
2(x − 1) + (y − 1) + 11(z − 2) = 0
2x + y + 11z − 25 = 0.
Ievietojot parciālo atvasinājumu vērtības un dotā punkta koordinātas
normāles vienādojumā, iegūst virsmas (z 2 −x 2 )xyz −y 5 = 5 normāles,
kas iet caur punktu M(1; 1; 2), vienādojumu:
x − 1
2
= y − 1
1
= z − 2
11 .