VAIR¯AKU ARGUMENTU FUNKCIJU DIFERENCI¯ALR¯EK¸ INI

IV nodal¸a
NOSACĪTIE EKSTRĒMI
Apskata funkciju f(x; y) un vienādojumu ϕ(x; y) = 0. Pieņemsim, ka
vienādojums ϕ(x; y) = 0 plaknē nosaka kaut kādu līniju, bet telpā - cilindrisku
virsmu. Funkcija f(x; y) telpā nosaka kaut kādu virsmu z = f(x; y),
kas ˇsk¸el¸as ar cilindrisku virsmu z = f(x; y) pa līniju telpā. Uz ˇsīs telpiskās
līnijas var būt minimuma vai maksimuma punkti, kurus sauc par nosacītā
ekstrēma punktiem.
Apskata punktu (x0; y0), kas apmierina vienādojumu ϕ(x; y) = 0 un
kura apkārtnē ir definēta funkcija f(x; y), pie tam ˇsī funkcija ir nepārtraukta
punktā (x0; y0).
Punktu (x0; y0) sauc par funkcijas f(x; y) nosacītā maksimuma (vai
nosacītā minimuma) punktu, ja visiem (x; y), kas apmierina vienādojumu
ϕ(x; y) = 0, pieder punkta (x0; y0) apkārtnei un nesakrīt ar punktu
(x0; y0), izpildās nevienādība f(x; y) < f(x0; y0) (vai nevienādība
f(x; y) > f(x0; y0)).
Vienādojumu ϕ(x; y) = 0 sauc par saites vienādojumu. Lai atrastu
funkcijas nosacītos ekstrēmus, lieto Lagranˇza metodi. Saskaņā ar ˇso
metodi sastāda funkciju F (x; y) = f(x; y) + λϕ(x; y), kuru sauc par Lagranˇza
funkciju. Atrod ˇsīs funkcijas parciālos atvasinājumus un sastāda
sistēmu ⎧ ⎨
⎩
F ′ x(x; y) = 0,
F ′ y(x; y) = 0,
ϕ(x; y) = 0.
Atrisinot ˇso sistēmu, atrod λ un tam atbilstoˇso funkcijas F (x; y) stacionāro
punktu (x0; y0), kurˇs apmierina doto saites vienādojumu.
Lai noteiktu punkta (x0; y0) raksturu, atrod funkcijas F (x; y) otrās
kārtas diferenciāli d2F (x; y) = F ′′
xxdx2 + 2F ′′
xydxdy + F ′′
yydy2 un aprēk¸ina
45