VAIR¯AKU ARGUMENTU FUNKCIJU DIFERENCI¯ALR¯EK¸ INI

2.3. Saliktas funkcijas diferencēˇsana 25
1. paņēmiens.
Izmanto formulu
du
dt
∂u dx ∂u dy
= · + ·
∂x dt ∂y dt
+ ∂u
∂z
dz
· . (2.3)
dt
Atrodot attiecīgos atvasinājumus un ievietojot tos formulā (2.3), iegūst:
du
dt = 2xy3 z · 1 + 3x 2 y 2 z · 2t + x 2 y 3 cos t = t 7 (8 sin t + t cos t).
2. paņēmiens.
ˇSo un līdzīgus piemērus var atrisināt, izmantojot pirmās kārtas diferenciāl¸a
formas invarianci. Tam nolūkam:
1. atrod dotās funkcijas pilno diferenciāli pēc starpargumentiem x, y, z:
du = ∂u
∂x
∂u ∂u
dx + dy +
∂y ∂z dz = 2xy3zdx + 3x 2 y 2 zdy + x 2 y 3 dz;
2. atrod funkciju x, y, z diferenciāl¸us pēc neatkarīgā mainīgā t:
dx = dt, dy = 2tdt, dz = cos tdt;
3. ievieto ˇsos diferenciāl¸us du izteiksmē:
jeb
du = 2xy 3 z · 1 + 3x 2 y 2 z · 2t + x 2 y 3 cos tdt
du = t 7 (8 sin t + t cos t)dt;
4. izdalot ar dt vienādības abas puses, iegūst:
3. paņēmiens.
du
dt = t7 (8 sin t + t cos t).
Mainīgo x, y un z vietā funkcijas u izteiksmē ievieto dotās izteiksmes
un atvasina funkciju u kā viena argumenta t funkciju:
u = t 8 sin t,
du
dt = 8t7 sin t + t 8 cos t = t 7 (8 sin t + t cos t).