VAIR¯AKU ARGUMENTU FUNKCIJU DIFERENCI¯ALR¯EK¸ INI

2.5. Augstāko kārtu atvasinājumi un diferenciāl¸i 33
Atrod funkcijas pirmās un otrās kārtas parciālos atvasinājumus:
z ′ x = y 4 arctg x 1
e
z ′ y = 4y 3 e arctg x ;
z ′′
xx = y 4 arctg x 1
(e
z ′′
xy = 4y 3 arctg x 1
e
1 + x2; z ′′
yy = 12y 2 e arctg x .
(1 + x2 )
1 + x2; 2 + earctg x
−2x
(1 + x2 ) 2) = y4e arctg x 1 − 2x
(1 + x 2 ) 2;
Atrod otrās kārtas parciālo atvasinājumu vērtības dotajā punktā M(0; 1):
z ′′
xx(M) = 1; z ′′
xy(M) = 4; z ′′
yy(M) = 12.
Ievietojot ˇsīs vērtības funkcijas otrās kārtas diferenciāl¸a formulā, iegūst:
d 2 z M = dx 2 + 8dxdy + 12dy 2 .
Lai atrastu dotās funkcijas treˇsās kārtas diferenciāli, atrod ˇsīs funkcijas
treˇsās kārtas parciālos atvasinājumus:
z ′′′
xxx = y 4 arctg x 1
(e
= y 4 arctg x 1
e
z ′′′
yyy = 24ye arctg x ;
z ′′′
xyy = 12y 2 arctg x 1
e
1 + x2 + earctg x−2(1 + x2 ) 2 − (1 − 2x)2(1 + x2 )2x
(1 + x2 ) 4
) =
1 + x2(1 + 6x2 − 8x − 2
(1 + x2 ) 2 ) = y 4 e arctg xx4 + 8x2 − 8x − 1
(1 + x2 ) 3 ;
1 + x2; z ′′′
xxy = 4y 3 arctg x 1 − 2x
e
(1 + x2 ) 2.
Ņemot vērā divu argumentu funkcijas treˇsās kārtas diferenciāl¸a formulu
d 3 z = z ′′′
xxxdx 3 + 3z ′′′
xxydx 2 dy + 3z ′′′
xyydxdy 2 + z ′′′
yyydy 3 ,
atrod dotās funkcijas z = y 4 e arctg x treˇsās kārtas diferenciāli:
d 3 arctg x
z = ye
y 3x4 + 8x 2 − 8x − 1
(1 + x 2 ) 3 dx 3 + 12y
2 1 − 2x
(1 + x2 ) 2dx2dy+ 1
+ 36y
1 + x2dxdy2 + 24dy 3
.