VAIR¯AKU ARGUMENTU FUNKCIJU DIFERENCI¯ALR¯EK¸ INI

2.4. Atvasinājums norādītajā virzienā. Gradients 29
iegūst:
∂z
∂l (P0) = 12x 3 + y
P0
cos 135 ◦ + x + 3y 2
P0
sin 135 ◦ =
= (12 + 2) cos(90 ◦ + 45 ◦ ) + 13 sin(90 ◦ + 45 ◦ ) =
= 14(− sin 45 ◦ ) + 13 cos 45 ◦ √ √ √
2 2 2
= −14 + 13 = −
2 2 2 .
Par punktā P0 diferencējamas funkcijas z = f(x; y) gradientu sauc vek-
∂z ∂z
toru ∂x (P0); ∂y (P0)
, kurˇs norāda virzienu, kurā funkcijai z = f(x; y)
ir vislielākais izmaiņas ātrums punktā P0, pie tam ˇsī vektora modulis ir
vienāds ar ātruma skaitlisko vērtību.
Gradienta vektoru var aprēk¸ināt pēc formulas
−−−−−−→
grad z(P0) = ∂z
∂x (P0)i + ∂z
∂y (P0)j.
2.14. piemērs. Atrast un attēlot ˇgeometriski funkcijas z = x 2 y gradientu
punktā P (1; 1).
Izskaitl¸o dotās funkcijas parciālos atvasinājumus punktā P :
∂z ∂z
= 2xy,
∂z
∂x ∂x
= 2;
P ∂y = x2
∂z
,
∂y = 1.
P
Atrod gradientu −−−→
grad z(P ) = 2i+j un attēlo to ˇgeometriski (2.2. zīm.).
2.2. zīm.
Līdzīgi izskaitl¸o atvasinājumu norādītajā virzienā un gradientu triju
argumentu funkcijai u = u(x; y; z).