VAIR¯AKU ARGUMENTU FUNKCIJU DIFERENCI¯ALR¯EK¸ INI

2.1. Parciālie atvasinājumi un pilnais diferenciālis 19
2.5. piemērs. Noˇsk¸elta konusa pamatu rādiusi R = 40 cm un r = 15 cm,
bet augstums H = 50 cm. Kā izmainās konusa tilpums, ja R, r un H
palielina attiecīgi par 2 mm, 3 mm un 1 mm?
Noˇsk¸eltā konusa tilpums V = πH
2 2
3 R + r + Rr ir triju argumentu
R, r un H funkcija. Lai atrastu konusa tilpuma izmaiņu, aprēk¸ina
funkcijas V pieaugumu ∆V punktā (R; r; H), kur R = 40, r = 15 un
H = 50 (argumentu pieaugumi ∆R = 0, 2, ∆r = 0, 3 un ∆H = 0, 1).
H + ∆H
∆V = π
3
(R + ∆R) 2 + (r + ∆r) 2
+ (R + ∆R) (r + ∆r) −
− πH
3
R 2 + r 2 + Rr .
Funkcijas pieauguma skaitlisko vērtību varētu iegūt, ievietojot ∆V
izteiksmē argumentu un to pieaugumu skaitliskās vērtības, taču izdevīgāk
aprēk¸ināt ∆V aptuveno vērtību, izmantojot diferenciāli.
Tā kā dV = ∂V ∂V ∂V
∂R∆R + ∂r ∆r + ∂H ∆H un ∆V ≈ dV (argumentu pieaugumi
∆R, ∆r, ∆H ir pietiekami mazi), tad, atrodot parciālos atvasinājumus
iegūst
dV = πH
3
(2R + r) ∆R + πH
3
∂V πH
= (2R + r) ,
∂R 3
∂V πH
= (2r + R) ,
∂r 3
∂V π 2 2
= R + r + Rr ,
∂H 3
π 2 2
(2r + R) ∆r + R + r + Rr ∆H.
3
Ievietojot argumentu un to pieaugumu skaitliskās vērtības, izskaitl¸o
dV .
∆V ≈ dV = 50π
3
50π
(80 + 15) 0, 2 + (30 + 40) 0, 3+
3
+ π
3 (402 + 15 2 + 40 · 15)0, 1 = 747, 5π.
Tātad noˇsk¸eltā konusa tilpums aptuveni palielinās par 747, 5π cm 3 .