VAIR¯AKU ARGUMENTU FUNKCIJU DIFERENCI¯ALR¯EK¸ INI

2.1. Parciālie atvasinājumi un pilnais diferenciālis 17
Par funkcijas f(x; y) pilno pieaugumu punktā P0(x0; y0) sauc starpību
f(x0 + ∆x; y0 + ∆y) − f(x0; y0). ˇ So starpību apzīmē ar ∆f(x0; y0).
Tātad
∆f(x0; y0) = f(x0 + ∆x; y0 + ∆y) − f(x0; y0),
kur ∆x un ∆y ir argumentu pieaugumi.
Funkciju z = f(x; y) sauc par diferencējamu punktā P (x; y), ja tās
pilno pieaugumu ˇsajā punktā var izteikt kā divu saskaitāmo summu:
∆z = (A∆x + B∆y) + (α∆x + β∆y),
kur
∆x, ∆y ir attiecīgi argumentu x, y pieaugumi punktā P ,
A, B - izteiksmes, kas ir atkarīgas no x un y, bet nav atkarīgas no ∆x
un ∆y, pie tam A = ∂z ∂z
∂x , B = ∂y .
α, β - bezgalīgi mazas funkcijas, kad ∆x → 0 un ∆y → 0.
Pirmais saskaitāmais A∆x + B∆y ir lineārs attiecībā pret ∆x un ∆y un
tam ir noteicoˇsā loma funkcijas pieaugumā.
ˇSo funkcijas z = f(x; y) pilnā pieauguma galveno dal¸u sauc par funkcijas
pilno diferenciāli un apzīmē ar dz vai df(x; y).
Tādējādi dz = A∆x + B∆y. Ja izmanto A= ∂z
∂z un B= , tad divu
argumentu funkcijas pilnais diferenciālis ir vienāds ar tā saucamo parciālo
dy summu:
diferenciāl¸u ∂z ∂z
∂xdx un ∂y
dz = ∂z ∂z
dx + dy (∆x = dx, ∆y = dy).
∂x ∂y
Ņemot vērā to, ka funkcijas z = f(x; y) = f(P ) pilnais diferenciālis
punktā P (x0; y0) ir pilnā pieauguma galvenā dal¸a, var uzrakstīt aptuvenu
vienādību ∆f(P0) ≈ df(P0), t.i.,
f(x0 + ∆x; y0 + ∆y) ≈ f(x0; y0) + df(x0; y0).
Izmantojot ˇso formulu, var aprēk¸ināt aptuveni funkcijas vērtību punktā
P (x0 + ∆x; y0 + ∆y).
Tātad, lai noteiktu kāda lieluma C aptuveno vērtību, izmantojot funkcijas
diferenciāli, rīkojas ˇsādi:
1. lielumu C uzraksta kā atbilstoˇsas funkcijas z = f(x; y) vērtību punktā
(x0 + ∆x; y0 + ∆y), t.i., C = f(x0 + ∆x; y0 + ∆y);
2. x0 un y0 izvēlas tā, lai
∂x
∂y