Last ned hele bladet - Caspar Forlag AS

normalen i S og sirkelen. Avstanden FS er mellomproporsjonalen
mellom AS og SB og vi får
derfor
FS 2 = AS · SB
FS 2 = s · 3s = 3s 2
I den rettvinklede trekanten KSF kjenner vi nå
to sider, og vi kan beregne den tredje KF.
KF 2 = KS 2 + SF 2
KF 2 = (3s) 2 + 3s 2 = 1 2 · s 2
Vi ser altså at også punktet F oppfyller betingelsen
at det ligger dobbelt så langt fra K som fra
S. Punktet som ligger symmetrisk med F om S
vil selvsagt også tilfredstille denne betingelsen.
Til nå har vi påvist at seks punkt på sirkelen
tilfredsstiller kravet om å ligge dobbelt så langt
fra K som fra S. Dette gjør at vi har ganske stor
tiltro på at vår hypotese om at sirkelen er det
geometriske stedet for de punkter som ligger
dobbelt så langt fra K som fra S. Helt sikre kan
vi ikke være før det er ført et fullstendig bevis
for at dette stemmer.
For elever i videregående skole vil det være en
enkel oppgave i analytisk plangeometri å gjennomføre
et fullstendig bevis. Vi skal se på dette
litt senere. Først skal vi undersøke problemet
ved å bruke GeoGebra.
27
GeoGebra
Ved å bruke GeoGebra er det mulig å få styrket
troen ytterligere på at vår hypotese er riktig. Her
skisserer vi en mulig fremgangsmåte.
Vi starter med å tegne en rett linje hvor vi
avsetter de to punktene som representerer
kinoen (K) og skolen (S) (Se figur 5). Deretter
velger vi et punkt (A) til venstre for K hvor vi
oppreiser en normal på linja. Videre oppreiser
vi normaler i K og S. På normalen i A avsetter
vi punktet C og konstruerer midtpunktet B
mellom A og C. Vi konstruerer videre paralleller
til KS i punktene B og C. Skjæringspunktet
mellom parallellen i C og normalen i K kalles E,
og skjæringspunktet mellom parallellen i B og
normalen i S kalles D. Ved å slå en sirkel om K
med radius KE og en sirkel om S med radius SD,
er vi garantert at den første radien er det dobbelte
av den siste. Skjæringspunktene mellom de
to sirklene oppfyller dermed kravet om å ligge
dobbelt så langt fra K som fra S, og de vil derfor
ligge på det geometriske stedet.
Nå velger vi funksjonen Lokus med P og Q
som lokuspunkt og C som det variable punkt,
og får dermed konstruert det geometriske sted
som ser ut som en sirkel. Dette støtter også opp
om vår hypotese. I GeoGebra kan vi også gå et
skritt videre ved å konstruere en sirkel og prøve
å få den til å overlappe det geometriske stedet.
Dette er igjen en indikasjon på at det geometriske
sted er en sirkel.
Undersøk nå også hva det geometriske stedet
er for de punkter som ligger like langt fra to
gitte punkt (se figur 2), og videre det geometriske
stedet for de punkter som ligger tre ganger
så langt fra ett som fra et annet gitt punkt. De
geometriske stedene du finner ved å variere
størrelsesforholdet mellom avstandene fra de
to gitte punkt er det som kalles Apollonius’ sirkeler.
Gjør et søk på internett og forsøk å finne
ut mer om Apollonius’ sirkler.
Figur 5: Dobbelt så langt fra K som fra S
(fortsettes side 47)
3/2009 tangenten