Last ned hele bladet - Caspar Forlag AS

.
Vi oppnår ønsket resultat ved å oppheve absoluttverditegnet
og dessuten er påpasselige med
å skrive likningene for linjene slik at avstandene
får riktig fortegn.
Linja gjennom P og Q har likning y = 0. Linja
gjennom P og R har likning
. Linja
gjennom Q og R har likning .
Vi bruker nå formelen ovenfor for å beregne
summen av avstandene fra S(x, y) til hver av de
tre linjene. Denne blir:
som er høyden i trekanten.
Avslutningsvis vil vi se på en enkel geometrisk
måte å argumentere for Vivianis setning
for punkter i trekantens indre (figur 2).
Vårt mål er å vise at a + b + c = H der H
er høyden i trekanten (figur 3). Vi trekker en
parallell til sidekanten CB gjennom S. Denne
skjærer AC i punktet D og AB i I. Trekanten
DGS speiles nå om denne parallellen og G sitt
speilbilde G’ vil da havne på en parallell til AB
Figur 3
gjennom D. Dette er lett å se ved å betrakte
vinklene i trekanten under speilingsprosessen.
Trekanten er en såkalt 30–60–90-trekant.
Bildet c’ til avstanden c = SG mellom S og AC
blir dermed loddrett og a + c = a + c’ = h = AE,
som er høyden i trekanten ADI.
I neste trinn oppretter vi normalen DJ på
BC gjennom D (figur 4). Denne er da like lang
som b. Nå speiles trekanten DJC om linjen AC
og med de samme argumentene som i første
del av beviset ser vi at DJ sitt speilbilde fyller
ut den manglende biten for å få trekanten ABC
sin høyde.
Figur 2: Utgangssituasjonen
Figur 4
(fortsettes side 14)
tangenten 3/2009 34