Last ned hele bladet - Caspar Forlag AS

Arne Amdal
Vincenzo Vivianis setning
I følge Wikipedia (en.wikipedia.org/wiki/Vincenzo_Viviani#Biography)
var Vincenzo Viviani
en italiensk matematiker og vitenskapsmann
som levde i perioden 1622–1703. Blant annet ble
han, 17 år gammel, assistent til Galileo Galilei.
I matematikken var han spesielt opptatt av geometri,
og følgende setning kalles ofte Vivianis
setning:
områder A, B, C, D, E og F. Se figur 1.
La DPQR være en likesidet trekant og S et
vilkårlig punkt i det indre av trekanten. Da
er summen av avstandene fra S til hver av
sidene konstant. Konstanten er høyden i
trekanten.
Setningen kan gi grunnlag for en god aktivitet
med bruk av dynamisk programvare. Man kan
la elevene selv oppdage setningen, og dermed
skape undring. Setningen lar seg relativt lett
bevise algebraisk, for eksempel ved å dele trekanten
inn i tre mindre trekanter. Med noen
hint, kan dette også gjøres med elever i ungdomskolen.
Vi skal her se på en generalisering av setningen,
slik at den også gjelder for punkter S
utenfor trekanten. Vi forlenger da sidekantene
i trekanten. Utenfor trekanten vil vi da få seks
Arne Amdal, NTNU
arne.amdal@plu.ntnu.no
Figur 1
Setningen gjelder hvis vi i område A opererer
med «negativ avstand» til linja gjennom P og
Q og «positiv avstand» til de to andre linjene.
I område B regner vi med «positiv avstand» til
linja gjennom P og R og «negativ avstand» til de
to andre linjene. Og så videre.
Vi lar for enkelhets skyld trekanten ha hjørner
i P(0, 0), Q(1, 0) og . Dette gir at
høyden i trekanten er .
Avstanden, d, fra et punkt S(x, y) til en linje
med likning ax + by + c = 0 er gitt ved
33
3/2009 tangenten