Last ned hele bladet - Caspar Forlag AS

lem: vi har to slike skjeringspunkt. Vi treng
derfor tilleggsinformasjon for å kunne velje
mellom dei, til dømes avstanden til eit tredje
gitt punkt.
satellitt nr. i er gitt ved (x i
, y i
, z i
) og den ukjende
posisjonen er (x, y, z), får vi likningssystemet
(x − x i
) 2 + (y − y i
) 2 + (z − z i
) 2 = (cDt i
) 2
for i = 1 … 3, der cDt i
er avstanden til satellitten
berekna ut frå lysfarten og tidsforseinkinga.
Dette er eit likningssystem av andre grad som
lar seg løyse eksakt. Dersom vi plasserer koordinatsystemet
som på figuren, med S 1
i origo,
z-aksen gjennom S 2
og x-aksen i planet definert
av S 1
, S 2
og S 3
, får vi x 1
= y 1
= z 1
= x 2
= y 2
= z 3
= 0 og jobben blir enklare. Kallar vi avstanden
mellom S 1
og S 2
for d og lar koordinatane til S 3
i x–z-planet vere (p, q), blir løysinga:
Så i tre dimensjonar. Her vert sirklane erstatta
av kuleflater. Snittet mellom to kuleflater er
ein sirkel (dersom dei i det heile skjer kvarandre,
men det problemet får vi ikkje i praksis i
GPS-systemet). Det er altså ikkje nok å kjenne
avstanden til to punkt (satellittar) for å fastlegge
posisjonen til P. Kjenner vi avstanden til
eit tredje gitt punkt (satellitt) S 3
, må vi finne
snittet mellom sirkelen og kuleflata med S 3
som
sentrum og r 3
som radius. Sirkelen definerer
eit plan i romet, og dette planets snitt med den
tredje kuleflata er også ein sirkel. Figuren viser
projeksjonen av kuleflatene (tynn strek) og skjeringssirklane
(tjukk strek) på dette planet. S 2
ligg her skjult bak S 1
.
Dei to skjeringspunkta mellom dei to skjeringssirklane,
som altså ligg i same plan, er dei
moglege posisjonane til P. Vi treng også her tilleggsinformasjon
forå velje mellom dei to skjeringspunkta.
I praksis vil den tilleggsinformasjonen
kunne vere at P skal ligge på eller nær
jordoverflata. Dette viser at vi i prinsippet kan
berekne posisjonen ut frå posisjonsinformasjonen
til tre ulike GPS-satelittar, men at vi treng
tilleggsinformasjon som vi vil kunne få ved å
observere signalet frå ein fjerde satellitt.
Vi vil no sjå korleis vi kan bruke eit kartesisk
koordinatsystem til å finne numeriske koordinatar
for posisjonen. Dersom posisjonen til
Som venta får vi to løysingar. Vi kan velje
den løysinga som ligg nær jordoverflata. Eller
vi skiftar ut ein av satellittane med ein fjerde
satellitt, utfører berekninga ein gong til. Den
korrekte posisjonen vil vere den løysinga som
er felles for dei to berekningane.
Det kan synast som den raskaste metoden er
å bruke jordoverflate-kriteriet, eventuelt bruke
ein fjerde satellitt i tvilstilfelle. Men der er ein
annan og viktigare grunn til å bruke ein fjerde
satellitt: den fjerde observasjonen kan brukast
til å korrigere klokka i mottakaren. Feilen i
posisjonsberekninga er fyrst og fremst bestemt
av kor nøyaktig forseinkinga av signalet er målt,
så kvaliteten på mottakaren si klokke er avgjerande.
Men ein GPS-mottakar med atomur vil
få ha råd til. Når vi utfører posisjonsberekninga
med ein fjerde satellitt, vil vi derfor ikkje få
nøyaktig den same posisjonen som i den fyrste
berekninga. Men skilnaden kan vi bruke til å
korrigere for den unøyaktige tidsmålinga.
Vi modifiserer derfor berekninga. Vi kan
anta at feilen i tidsmålinga er like stor i dei fire
målingane, bestemt av kor stor feilvisinga til
(fortsettes side 6)
tangenten 3/2009 8