Matematika 6 - Albas

Nikolla Perdhiku 

Libër mësuesi për tekstin 

“MATEMATIKA 6”

Botues: 

Latif AJRULLAI 

Rita PETRO 

Redaktore letrare: 

Vasilika DINI 

Arti grafik: 

Emanuela LUMANI 

Marsel NDOJA 

© Albas 2007 

Ribotim, 2010 

Shtëpia Botuese Albas 

Në Tiranë: Rr. Budi, Pall. “Classic Construction”, 

zyra nr. 2 

Tel/Fax: ++ 355 4 2379184 

e-mail: albas_tr@yahoo.com 

Në Tetovë: Rr.Ilindenit, nr.105 

Tel: 044 344047 

e-mail: albas_te@yahoo.com 

Në Prishtinë: Rr.Eqrem Çabej, nr.47 

Tel: 038 5457139 

e-mail: albas_pr@yahoo.com

Hyrje 

Zbatimi me sukses i programit të 

matematikës nuk mund të kuptohet pa rolin 

shumë të rëndësishëm të mësuesit si përçues 

dhe transmetues i ideve të programit. 

Për t’iu ardhur në ndihmë mësuesve (veçanërisht 

mësuesve të rinj) po botoj me këtë tekst ndihmës 

që shoqëron tekstin e nxënësit Matematika 6. 

Nuk duhet menduar se ky tekst është 

konceptuar si ditari i mësuesit, sepse ditari ka 

disa etapa të tjera që këtu anuk janë trajtuar. 

Po të shikohet me kujdes më shumë është 

trajtuar mënyra e zhvillimit të mësimit. 

Për shumë tema, zhvillimi i mësimit mund të 

jetë trajtuar në më shumë se një faqe dhe 

mësuesi mund të mendojë se nuk do t’i premtojë 

koha, se mësuesi nuk lexon, por shpjegon. 

Mënyra se si është ndërtuar ora e mësimit në 

tekstin e nxënësit, mësuesit i jep mundësi për 

të përdorë metodat bashkëkohore të gërshetuar 

me metodat tradicionale (të cilat jepen dhe në 

këtë tekst). Dihet se në matematikë një ushtrim 

mund të zgjidhet në disa mënyra. Për këtë në 

disa raste janë dhënë disa mënyra zgjidhjeje 

që në tekstin e nxënësit nuk janë. Konkretisht: 

te tema krahasimi i dy thyesave, në tekstin e 

nxënësit janë dhënë dy mënyra. 

1. Thyesat kthehen në emërues të njëjtë dhe 

krahasohen numëruesit. 

2. Thyesat, me anë të rregullit të shumëzimit 

kthehen në numërues të njëjtë dhe krahasohen 

emëruesit. 

Në tekstin e mësuesit jepet dhe një mënyrë 

5 3 

tjetër. Për të krahasuar thyesat dhe 

7 5 

veprohet kështu: 

Shumëzohet numëruesi i thyesës së parë me 

emëruesi e thyesës së dytë, shumëzohet 

numëruesi i thyesës së dytë me emëruesin e 

thyesës së parë. Nëse prodhimi i parë del më i 

madh se prodhimi i dytë, atëherë thyesa e parë 

është më e madhe se thyesa e dytë, nëse 

prodhimi i parë del më i vogël se prodhimi i dytë, 

thyesa e parë është më e vogël se thyesa e dytë. 

Me qenë se 5 . 5 > 7 . 3 atëherë > ( nuk ka rëndësi 

të shpjegohet pse arrijmë në këtë përfundim). 

Mendoj që atje ku mësuesi mendon se mund të 

jetë më e kuptueshme mënyra e trajtuar në 

tekstin e mësuesit, e zhvillon ushtrimin si në 

tekstin e tij. Shpesh theksohet se tekstet janë të 

ngarkuara. Por ngarkesën mund ta bëjë dhe 

mësuesi. Për këtë në shumë tema theksohet se 

deri ku duhet të arrihet në dhënien e një koncepti. 

P.sh., te kreu i pestë. Dihet se kemi dy tipare 

diskret dhe të vazhdueshëm. Theksohet se nuk 

duhet të kalohet në tiparin e vazhdueshëm për 

dy arsye. E para se është e vështirë për moshën 

dhe e dyta se, kur të ndërtohen diagramet, lind 

nevoja e klasave, e cila e vështirëson më tepër 

konceptin 

Në tekstin e mësuesit tërhiqet vazhdimisht 

vëmendja për të punuar në mënyrë të 

diferencuar me tri nivelet e nxënësve. Kjo është 

mbajtur parasysh si në hartimin e objektivave, 

ashtu dhe në punën me këto nivele në klasë 

dhe në punën e pavarur në shtëpi. 

Shpresojmë se ky tekst të ndihmojë për të 

arritur rezultatet e dëshiruara në mësimin e 

lëndës së matematikës. 

35 JAVË X 4 ORË/JAVË = 140 ORË 

ORË MËSIMI 98 ORË 

TESTE KONTROLLI 14 ORË 

ORË NË DISPOZICION 28 ORË 

GJITHSEJ 

140 ORË 

3

Kreu i parë 

Tema 1.1 Numrat thyesorë. 

Objektivat. Në fund të orës së mësimit nxënësi: 

- Të dijë të shkruajë thyesa të ndryshme, 

- Të dijë të përcaktojë numëruesin dhe emëruesin e thyesës, 

- Të dijë të përcaktojë njësinë thyesore, 

- Të dijë të përcaktojë thyesat dhjetore. 

Mjetet dhe baza materiale: 

- Libri i nxënësit 

- Libri me ushtrime për nxënësin 

- Tabelë me figura për të nxjerrë kuptimin e thyesës. 

Metodat që do të përdoren: 

-Kllaster 

- Diskutim 

- Punë individuale 

Zhvillimi i mësimit 

Mësuesi u drejtohet nxënësve: 

a) Shkruani dy numra natyrorë me dy shifra. 

b) Shkruani dy numra natyrorë me katër shifra, ku shifra e dhjetësheve të jetë zero dhe 

shifra e mijësheve të jetë dy. 

c) Shkruani me shifra numrat: 

- pesëqind e tridhjetë e dy, 

- katërqind e dy, 

- dyzet e pesë milionë e tridhjetë e dy mijë e pesë. 

Nëse nga nxënësi që ngrihet në dërrasë përgjigjet janë të gabuara, mësuesi kërkon 

përgjigje nga nxënësit e tjerë. 

- Mbasi ka mbaruar punën përgatitore, mësuesi fillon temën e re. Fillon me radhë 

shembujt. 

Për shembullin 1 mësuesi u tregon disa lapsa dhe kërkon nga nxënësit ta japin sasinë me numër. 

Për shembullin 2 mësuesi merr një mollë (ose ndonjë objekt tjetër) dhe e ndan në dy 

pjesë të barabarta dhe kërkon nga nxënësit se e sata pjesë e mollës është një prej pjesëve. 

Përgjigjja e saktë do të jetë një e dyta. Mësuesi u drejtohet nxënësve: Ky numër që 

shprehu sasinë e mësipërme nuk është numër natyror. 

Për shembullin 3, do të përdorë tabelën e përgatitur. Në tabelë, mësuesi shprehet: 

Drejtkëndëshat i kemi ndarë në tri pjesë. Në figurën e parë nga dy ndarje kemi ngjyrosur 

një, në të dytën nga tri ndarje kemi ngjyrosur dy dhe në të tretën përsëri nga tri ndarje 

kemi ngjyrosur një. Këto sasi, thekson mësuesi, nuk mund t’i shprehim me numra natyrorë, 

prandaj lind nevoja e futjes së kuptimit të një numri tjetër. 

- Në këtë moment mësuesi jep përkufizimin e thyesës: 

- quhet numër thyesor ose shkurt thyesë. Mësuesi duhet të theksojë se do të 

përdoret shkurt thyesë. 

12

-ja quhet numërues dhe është një numër natyror ose zero, kurse 

dhe është një numër natyror. 

-ja quhet emërues 

Thyesa lexohet mbi . 

- Shënimet kujdes dhe vini re duhet të jenë në qendër të punës së mësuesit. Mbasi të 

ketë sqaruar mirë dy shënimet që thamë mësuesi kalon dhe njëherë te shembulli 3. 

- Te figura 1 thamë se nga tri ndarjet kemi ngjyrosur dy, tani që futëm kuptimin e thyesës 

themi se kemi ngjyrosur e drejtkëndëshit. Në figurën 2 themi se kemi ngjyrosur e 

drejtkëndëshit. Për figurën 3 nuk mund ta shprehim me thyesë pjesën e ngjyrosur se 

ndarjet nuk janë të barabarta. 

- Mbas këtyre sqarimeve për figurat e shembullit, mësuesi jep disa thyesa. 

- Mësuesi sqaron se shumë thyesa mund të kenë emëruesin 10 ose shumëfisha të 

dhjetës si 

etj. Këto quhen thyesa dhjetore. 

- Kurse thyesat që kanë numëruesin 1 do të quhen njësi thyesore, si: etj. 

- Përsëri mësuesi bën interpretimin e mëtejshëm të shembullit 3, figura 2. 

Thyesa tregon se kemi ngjyrosur 2 njësi thyesore të barabarta me . 

- Së fundi mësuesi zhvillon shembullin 4. Mësuesi përgjigjet se thyesa tregon se 

njësia thyesore është 

dhe kemi marrë 5 njësi të tilla. 

- Në tabelë mësuesi duhet të ketë ndërtuar kllasterin (ta ketë në tabelë për të kursyer kohë). 

thyesa me 

emërues 1 

njësi 

thyesore 

Thyesa 

thyesa 

dhjetore 

- Mbas këtyre trajtimeve mësuesi vë klasën në punë të pavarur me ushtrimet 1 dhe 2. 

Kush nga nxënësit e zgjidh i pari ngrihet në dërrasë nga mësuesi. 

- Kur të jenë përfunduar dhe ushtrimet mësuesi bën përforcimin e mësimit duke kërkuar 

nga nxënësit që të përgjigjen për pyetjet që janë në rubrikën duhet të mbani mend. 

Nëse ka kohë zhvillon ushtrimet 5, 6 dhe 7, faqe 5 që janë në librin e ushtrimeve për nxënësin. 

Në fund jep detyrat e shtëpisë. 1,2,3 dhe 4, faqe 5 në librin e ushtrimeve të nxënësit. 

Për nxënësit me rezultate të mira jep dhe ushtrimet 9 dhe 10, faqe 5. 

13

Tema 1.2 Ushtrime 

Objektivat. Në fund të orës së mësimit nxënësi duhet: 

- Të ketë fituar shprehi në përcaktimin e njësive thyesore. 

- Të përcaktojnë një thyesë në situata jo standarde (si te ushtrimi 5). 




- Vizore për ndërtim figurash. 


- Diskutimit 


Mësuesi u drejton nxënësve këto pyetje: 

- Cili quhet numër thyesor? Shkruani dy thyesa. 

- Cila quhet njësi thyesore? Shkruani dy njësi thyesore. 

- Cilat quhen thyesa dhjetore? Shkruani dy thyesa dhjetore. 

- Mund të shkruani 2 si thyesë? Nëse po, shkruajeni. 

Mësuesi zhvillon me klasën ushtrimin 4 dhe 5. Këto ushtrime të zhvillohen nga çdo 

nxënës në fletore. Pastaj mësuesi pyet: Cila nga këto është thyesë dhjetore? Po njësi 

thyesore është ndonjë prej tyre? 

- Mbasi të jetë bindur se ushtrimi është kuptuar, mësuesi kalon në ushtrimin 6. Ngrihen 

dy nxënës në dërrasë për të ndërtuar figurat. 

Mësuesi punon vetë në klasë ushtrimin 6(d), kurse c e punon në dërrasë një nxënës. 

Pasi bindet se është arritur ajo që ka planifikuar, jep detyrat e shtëpisë. 

Mendoj se duhet të jenë 1, 2, 6( b, e), 7(a, b), 8. 

Për ushtrimin 7 mësuesi jep udhëzim duke u kujtuar nxënësve pyetjet 1, 2, 3 në fillim të mësimit. 

Ushtrimi 9 u jepet nxënësve shumë të mirë. Mendoj që në fillim të mos u jepet udhëzim. 

Nëse orën e ardhshme nuk e kanë bërë, mund t’u jepet udhëzim. 

Gjithashtu u rekomandon për punë të pavarur, jo të detyruar, dhe ushtrimet e faqes 6, 

në librin e ushtrimeve. 

Tema 1.3 Thyesat e barabarta 


- Të dijë cilat quhen thyesa të barabarta. 

- Të fitojë thyesa të barabarta me anë të rregullit të shumëzimit. 

- Të fitohen thyesa të barabarta me anë të rregullit të pjesëtimit ose të thjeshtimit. 




- Tabelë ku të jenë vizatuar figurat 1, 2 dhe 3. 

Metodat që do të 

përdoren:- - Problemore 

- Diskutimit 

- Puna individuale 

14 


- Mësuesi zhvillon punën përgatitore. U kërkon nxënësve të shkruajnë në fletore thyesën 

me emërues dy dhe numërues një, thyesën me emërues katër dhe numërues dy, thyesën 

me emërues tetë dhe numërues katër.

- Pyet nxënësit: A ka ndonjë lidhje ndërmjet tyre? Mësuesi pret dy përgjigje: 1. Po, janë 

të barabarta dhe 2. nuk dimë gjë. Nëse merr të parën, mësuesi thekson se është e 

vërtetë. Por dhe po nuk merr përgjigjen e pritshme, kalon në figurat e tabelës. 

- Mësuesi thekson se të tre drejtkëndëshat e mëdhenj janë të barabartë. Në figurën 1 

drejtkëndëshi është ndarë në dy pjesë dhe është ngjyrosur një pjesë. Cila është thyesa 

që përfaqëson pjesën e ngjyrosur në figurën e parë? Duhet të marrë përgjigjen një e dyta 

(nëse është kuptuar mësimi i një ore më parë). Nëse nuk merr këtë përgjigje, mësuesi i 

drejton klasës pyetjen tjetër. Në sa pjesë është ndarë drejtkëndëshi? Përgjigjja do të jetë 

dy. Pastaj vazhdon mësuesi: Nga dy sa kemi ngjyrosur? Përgjigjja një. Pra, si jepet me 

thyesë? Mendoj se përgjigjja do të jetë ajo që kërkohet. 

Figura dy është ndërtuar duke ndarë çdo pjesë të figurës së parë në dy pjesë të barabarta. 

Pyet: Cila është thyesa që përfaqëson pjesën e ngjyrosur në këtë figurë? Duhet të marrë 

përgjigjen dy të katërta. Nëse nuk merr këtë përgjigje mësuesi vazhdon si në figurën një. 

Figura e tretë është ndërtuar duke ndarë çdo pjesë të figurës së dytë në dy pjesë të barabarta. 

Pyet: Cila është thyesa që përfaqëson pjesën e ngjyrosur në këtë figurë? Duhet të marrë 

përgjigjen katër të tetat. Nëse nuk merr këtë përgjigje mësuesi vazhdon si në figurën një. 

- Në këtë moment mësuesi drejton me shumë kujdes pyetjen: Në të tri figurat pjesa e 

ngjyrosur ka ndryshuar? Përgjigjja duhet të jetë jo. Atëherë dhe numri që shpreh këtë 

sasi nuk ndryshon. Prandaj thyesat një e dyta, dy të katërtat dhe katër të tetat janë të 

barabarta. 

- Por ne nuk do të rrimë të ndërtojmë figura për të treguar se janë apo jo të barabarta 

thyesat. Prandaj thotë mësuesi: shikoni me kujdes thyesat 

Si janë marrë thyesa e dytë dhe e tretë nga thyesa e parë? Mësuesi pret përgjigje. 

Thyesa e dytë merret nga e para duke shumëzuar me dy si numëruesin dhe emëruesin, 

e treta nga e para merret duke shumëzuar me katër si numëruesin dhe emëruesin. Nëse 

nuk merr këto përgjigje, mësuesi i drejtohet klasës: emëruesi i thyesës së dytë si mund 

të fitohet me ndihmën e emëruesit të thyesës së parë? Mund të marrë përgjigje duke i 

shtuar një ose duke e shumëzuar me dy. Do të pranojë të dytën. Po numëruesi i thyesës 

së dytë si merret nga numëruesi i thyesës së parë? Edhe këtu do të pranojmë përgjigjen 

me shumëzim. Kështu vepron dhe për thyesën e tretë. 

Mësuesi i drejtohet klasës: 

- Si mund të formojmë thyesa të barabarta me një thyesë të dhënë? Përgjigjet mund të 

jenë nga më të ndryshmet. Por mësuesi jep përgjigjen: 

- Po të shumëzohet (ose pjesëtohet) numëruesi dhe emëruesi i një thyese me të njëjtin 

numër natyror formohet një thyesë e barabartë me thyesën e dhënë. I pari quhet rregulli 

i shumëzimit dhe i dyti rregulli i pjesëtimit ose thjeshtimit. 

- Tani mësuesi kalon në punimin e shembujve 1 dhe 2, duke argumentuar veprimet si 

në libër. Kur të zhvillojë shembullin 3, mësuesi në përfundim duhet të theksojë se thyesat 

që dalin pas zbatimit të rregullit të pjesëtimit janë të pathjeshtueshme. 

- Nga ushtrimet mësuesi duhet punojë 1. Për këtë ushtrim mësuesi thekson se një 

barazim është i vërtetë dhe ky duhet gjetur. Mësuesi bashkë me nxënësit duhet të 

kontrollojnë se ku është zbatuar saktë një nga rregullat e fitimit të thyesave të barabarta, 

i shumëzimit ose pjesëtimit. Duhet të rrethohet b. Në klasë me punë të pavarur duhet të 

15

punohet 2(d), 3(c), 4(c) dhe 5(c). 

- Pasi jep dhe detyrat e shtëpisë, që mund të jenë 2(a, b), 3(a, b), 4(a, b) dhe 5(a), bën 

përforcimin teorik duke kërkuar të formulojnë rregullin e shumëzimit dhe thjeshtimit për 

të fituar thyesa të barabarta. 

- Rekomandon dhe ushtrime me dëshirë në librin e ushtrimeve. 

Tema 1.4 Kriteret që një numër të plotpjesëtohet me 2, 3, 4, 5 


- Të dijë se cili është ndryshimi ndërmjet pjesëtimit dhe plotpjesëtimit. 

- Të dallojë numrat e thjeshtë. 

- Të dijë kriteret që një numër të plotpjesëtohet me 2, 3, 4, 5. 




Metodat që do të përdoren. 

- Problemore 

- Diskutimit 



- Mësuesi zhvillon punën përgatitore duke iu drejtuar nxënësve: 

- Pjesëtoni numri 8 me 2. Ka mbetje gjatë pjesëtimit? Pjesëtoni numrin 24 me 5. 

Ka mbetje? 

Përgjigjet janë jo dhe po për të dytën. Mësuesi këtu jep përkufizimin që ka në tekst se 

kur pjesëtimi quhet plotpjesëtim. Po këtu jepet se kur një numër a është shumëfish i një 

numri b duke zhvilluar shembullin 1. Kurse, duke zhvilluar shembullin 2, jep kuptimin e 

numrave të thjeshtë ose primë. 

Kriteri që një numër të plotpjesëtohet ose jo me 3 duhet të nxirren nëpërmjet shembullit 

3 (a, b) (nuk duhet shënuar shembulli 4 b, sepse b i takon 3). 

Kurse me punë të pavarur të nxënësve, nxirret kriteri që një numër plotpjesëtohet ose 

jo me 4, duke zhvilluat ushtrimet 1 dhe 2. 

Për të nxerrë kriterin se një numër të plotpjesëtohet ose jo me 5 mësuesi punon me nxënësit 

ushtrimet 3, 4 dhe 5. 

Mbas përfundimit të çdo ushtrimi mësuesi duhet të theksojë se çfarë treguam, jo të 

thotë se vërtetuam, sepse vërtetimi bëhet për rastin e përgjithshëm. 

- Nga ushtrimet që janë në fund të temës, mësuesi punon me nxënësit ushtrimet 1, 2, 3, 4 

(për secilin ushtrim zgjidhet e treta). 

Mbasi ka përfunduar dhe këto, mësuesi duhet t’i kthehet shënimit, të cilin e sqaron, por 

duhet të theksojë se nuk është i detyruar. Nxënësit me rezultate shumë të larta duhet të 

dinë kriteret e plotpjesëtimit me 9, 25 dhe 11. 

Përforcon mësimin duke kërkuar nga nxënësit të japin kuptimin e plotpjesëtueshmërisë 

së numrave primë, kriteret e plotpjesëtueshmërisë me 2, 3, 4, 5. 

Si detyra shtëpie mund të jepen ushtrimet 1, 2, 3 dhe 4 (të parën dhe të dytën e çdo 

ushtrimi). Si punë të diferencuar, ushtrimin 5. Për punë të pavarur të shihen ushtrimet e 

faqes 8, te libri i ushtrimeve. 

16

Tema 1.5 Pjesëtuesi më i madh i përbashkët 


- Të dijë rregullin e gjetjes së pjesëtuesit më të vogël të përbashkët. 

- Të dijë simbolin që tregon pjesëtuesin më të madh të përbashkët. 

- Të dijë se zbërthimi në faktorë të thjeshtë fillon nga më i vogli. 





- Diskutimit 



- Mësuesi zhvillon punën përgatitore. U kërkon nxënësve që të gjejnë pjesëtuesit e 

numrit 6 dhe 12. Pastaj drejton pyetjen: Cilët janë pjesëtuesit e përbashkët? 

- Mbasi merr përgjigjen: janë 2, 3, 6, u drejton pyetjen tjetër: 

- Ka më të madh? Nëse ka, cili është? Pret përgjigjen është numri 6. 

Mësuesi zhvillon shembullin 1 ashtu si është trajtuar në tekst. Pastaj u tregon simbolin 

për pjesëtuesin më të madh të përbashkët, duke sqaruar dhe se si lexohet PMP (8, 12) = 4. 

Me zgjidhjen e shembullit 2 mësuesi tregon dhe mënyrën e gjetjes së PMP. 

Gjatë zgjidhjes mësuesi duhet të këmbëngulë në vendosjen e shkronjës p mbas 

pjesëtuesve të përbashkët. Kur të përdorë simbolin për të dhënë PMP përsëri të 

këmbëngulë pse ka rëndësi vendosja e shkronjës p. Pra PMP(8, 12) = 2 . 2 = 4 

- Mësuesi zgjidh vetë dhe shembullin 3 në të cilin përsëri duhet të ketë kujdes ato që 

thamë te shembulli 2. 

- Mbasi nxënësit hapin librat, mësuesi ndan klasën në katër grupe. Secilit grup i jep të 

zbërthejë një nga numrat e ushtrimit 1. Një nxënës ngrihet në dërrasë për të zbërthyer në 

faktorë numrin 225. Mbasi konstaton se klasa ka përfunduar punën, diskuton ushtrimin 

e punuar në dërrasë. Për të kontrolluar saktësinë e punës së pavarur, mësuesi ngre në 

dërrasë një nxënës nga secili grup për të punuar ushtrimin. 

- Nëse ka kohë punon me klasën ushtrimin 2. 

- Në përforcim kërkon nga nxënësit mënyrën e gjetjes së PMP, simbolin që përdoret 

për të treguar PMP e numrave. 

- Për detyrë shtëpie jep ushtrimet 3 dhe 4. Për nxënësit më nivel të lartë jepet ushtrimi 

7 dhe 8, faqe 9, te libri i ushtrimeve. Gjithashtu udhëzon nxënësit që duan të punojnë se 

ushtrime të tjera mund të gjejnë te libri i ushtrimeve, faqe 9. 

17

Tema 1.6 Shumëfishi më i vogël i përbashkët (SHVP) 


- Të dijë rregullin për gjetjen e SHVP. 

- Të dijë smbolin për të treguar shumëfishin më të vogël të përbashkët. 





- Diskutimit 

- Punë e diferencuar 

18 


- Mësuesi zhvillon punën përgatitore duke kërkuar nga nxënësit disa shumëfisha të 

numrave 2 dhe 12. Mbasi janë shënuar disa prej tyre në dërrasë, mësuesi u drejtohet 

përsëri nxënësve të gjejnë disa shumëfisha të përbashkët dhe prej tyre të përcaktojnë më 

të voglin. Mësuesi sqaron se kjo është një rrugë për gjetjen e SHVP, por ne do të tregojmë 

një rrugë tjetër më të thjeshtë. Dhe punon rregullin që jepet mbas punës përgatitore. 

Mbasi ka bërë zbërthimin, tregon simbolin e SHVP (duke treguar dhe se si lexohet) dhe 

thekson se: shumëfishi më i vogël i përbashkët i numrave 2 dhe 12 është prodhimi i të 

gjithë numrave që janë në shtyllën e djathtë të zbërthimit, pra SHVP (2, 12) = 2 . 2 . 3 = 12. 

- Pastaj punon shembullin 1. Gjatë punimit duhet që mësuesi të sqarojë me kujdes çdo 

veprim të algoritmit: 

a) Duhet filluar nga pjesëtuesit më të vegjël. 

b) Këta pjesëtues nuk është e thënë që duhet të jenë të përbashkët. 

c) Nëse pjesëtuesi nuk plotpjesëton ndonjë nga numrat, atë e vendosim përsëri 

në rreshtin ku vendosim herësit. 

d) Pjesëtuesit i gjejmë sipas rregullit të plotpjesëtimit. 

- Mësuesi vë në punë klasën për të punuar ushtrimin. Gjeni SHVP (30, 48, 16). 

Mbasi konstaton se ushtrimi është punuar nga nxënësit, për të kontrolluar saktësinë 

ngre një nxënës në dërrasë. 

- Përsëri me klasën punon ushtrimin 1 (duhet bërë një korrigjim SHVP e numrave 

36, 27, 54). 

- Nëse në klasë ka nxënës shumë të mirë dhe mësuesi është bindur se nga ata është 

kuptuar mësimi, u jep atyre ushtrimin 3. 

- Mbasi klasa të ketë përfunduar ushtrimin, ngre në dërrasë një nxënës nën mesataren 

për të punuar ushtrimin 1. Gjatë kohës kur nxënësit punojnë ushtrimin 1, mësuesi kontrollon 

dhe nxënësin ose nxënësit që punojnë ushtrimin 3, duke u dhënë dhe ndonjë udhëzim. 

- Në fund bën përforcimin e mësimit duke pyetur kryesisht rregullin e gjetjes së SHVP. 

Detyrë shtëpie ushtrimin 2 dhe nxënësve të mirë ushtrimin 4. Për punë të pavarur 

udhëzon nxënësit se mund të gjejnë në librin e ushtrimeve, faqe 9 dhe 10.

Tema 1.7 Kthimi i thyesave në emërues të njëjtë. 

Objektivat. Nxënësi në fund të mësimit: 

- Të dijë cili merret si emërues i njëjtë i emëruesve të disa thyesave. 

- Të dijë cila është një nga arsyet që thyesat duhet të kenë emërues të njëjtë. 




- Tabela e parë me dy figura të barabarta të 

ndara në pesë pjesë dhe te njëra të jenë 

ngjyrosur tri ndarje dhe te tjetra katër ndarje. 


- Problemore 

- Diskutimit 


- Tabela e dytë me dy figura të barabarta të ndara njëra në pesë pjesë të barabarta dhe tjetra në 

gjashtë pjesë të barabarta. Tek e para janë të ngjyrosura tri ndarje dhe tek e dyta pesë ndarje. 


- Për punën e diferencuar mësuesi kërkon nga nxënësit që të krahasojnë numrat 5 me 

4, 7 me 8, dhe 11 me 10. Pasi merr përgjigje të sakta u drejton pyetjen: Po nëse kemi 

thyesat me , cila është më e madhe? Këtu mësuesi duhet të përdorë tabelën e 

parë. 

Nëse merr përgjigje pozitive, kërkon se si u gjet përgjigjja e saktë. Në tabelën e parë 

njësia thyesore është e njëjtë 

, me qenë se në figurën e parë kemi tri pjesë të ngjyrosura 

dhe në të dytën katër pjesë të ngjyrosura. Nga tabela e parë del se në figurën e dytë 

pjesa e ngjyrosur është më e madhe se në figurën e parë. Me që numri që shpreh pjesën 

e ngjyrosur të fig. së dytë është 

dhe numri që shpreh pjesën e ngjyrosur të fig. së parë 

është , atëherë kemi . 

Nëse nxënësit nuk arsyetojnë kështu, mësuesi i drejtohet klasës: 

- Si janë ndarjet në çdo figurë? Përgjigjja do të jetë: të barabarta. 

- Në cilën figurë ka më shumë ndarje të ngjyrosura? Përgjigjja do të jetë tek e dyta. 

- Por ajo që ka më shumë ndarje të ngjyrosura me cilën thyesë jepet? 

Përgjigjja do të jetë . Pra kemi . Por është e kuptueshme që nuk mund të 

veprohet kështu gjithmonë. Prandaj duke u nisur nga ky përfundim të nxjerrim një 

konkluzion që është më i zbatueshëm. 

- Mësuesi i drejtohet klasës: Çfarë vini re te këto dy thyesa? Mendoj që përgjigjja do të 

jetë: kanë emërues të njëjtë. Nëse nuk merr këtë përgjigje, pyet përsëri: Si i kanë emëruesit 

thyesat? Përgjigjja: Të barabartë. Po numëruesit? Përgjigja: Të ndryshëm. Cila thyesë 

doli më e madhe? Përgjigja: Ajo që ka numërues më të madh. 

- Mësuesi kërkon formulimin e këtij përfundimi. Nëse nuk jepet nga klasa, mësuesi thekson 

se: ndër thyesat me emërues të njëjtë më e madhe është ajo që ka numërues më të madh. 

19

- Mbas këtij konkluzioni mësuesi i drejtohet klasës: Cila nga thyesat është më e madhe 

apo 

? Pse nuk mund të veprohet si më lart? Çfarë duhet të bëjmë? Nëse mësuesi 

nuk merr përgjigjet që duhet e jep vetë. Nuk mund të themi se kush është më e madhe se 

nuk kanë të njëjtin emërues. 

Pra, le t’i kthejmë në thyesa me emërues të njëjtë. Përsëri i drejtohet klasës: Cili mund 

të merret si emërues i njëjtë? Mund të ketë dy përgjigje: është çdo shumëfish i përbashkët 

i 5 dhe 6 ose përgjigja e dytë ShVP e 5 dhe 6. Mësuesi duhet të sqarojë se do të merret 

SHVP si më i vogli i shumëfishave. 

Mësuesi zhvillon shembullin 1. E trajton atë si në tekst. Mbasi gjen SHVP sqaron se cili 

quhet faktori plotësues i çdo emëruesi me të cilin duhet shumëzuar numëruesi përkatës. 

Pasi shkruan dhe , 

mësuesi i drejtohet klasës: Pse kemi të drejtë të shkruajmë barazimet? Përgjigja: Se 

kemi zbatuar rregullin e shumëzimit për formimin e thyesave të barabarta. Pastaj zhvillon 

shembullin 2 duke ndjekur ecurinë e shembullit 1. 

- Mësuesi vë në punë klasën për të zgjidhur ushtrimin: Ktheni në emërues të njëjtë 

thyesat: dhe . Kur konstaton se në klasë është përfunduar ushtrimi, ngre në 

dërrasë një nga nxënësit. 

- Përsëri mësuesi vë të punojnë individualisht nxënësit për ushtrimet 1(a) dhe 2(a) 

duke i ndarë në dy grupe. Pasi të jenë përfunduar ushtrimet, një përfaqësues i çdo grupi 

e punon ushtrimin në dërrasë. 

- Mësuesi bën përforcimin duke kërkuar nga klasa se si veprohet për të kthyer thyesat 

në emërues të njëjtë. 

- Nëse nxënësit që kanë pasur për punë të pavarur një orë më parë ushtrimet dhe 

4 nuk i kanë zgjidhur, jep udhëzimin. Gjeni të gjithë pjesëtuesit e 36 dhe pastaj shfrytëzoni 

kushtin e parë që plotësojnë numrat. 

Nxënësit që duan ushtrime të tjera, i gjejnë në tekstin e ushtrimeve, faqe 10. 

Tema 1.8 Krahasimi i thyesave 

Objektivat. Në fund të mësimit nxënësi: 

- Të krahasojë thyesat me emërues të njëjtë. 

- Të dijë të krahasojë thyesat me emërues të ndryshëm 





- Metoda e diskutimit 

- Metoda e punës individuale 


Mësuesi kërkon nga nxënësit të kujtojnë simbolet e krahasimit < dhe >. 

Pastaj kalon në shembullin 1 të cilin e zhvillon si në tekst. Mbasi e ka përfunduar vë në dukje se: 

20

1. Nëse thyesat kanë emërues të njëjtë, krahasohen numëruesit, thyesa që ka numërues 

më të madh, është më e madhe. 

2. Nëse thyesat kanë numërues të ndryshëm, i kthejmë në fillim në emërues të njëjtë 

dhe pastaj veprojmë si në rastin e parë. 

3. Nëse thyesat kanë numërues të njëjtë, më e madhe është ajo që ka emërues më të vogël. 

Mësuesi kalon në shembullin 2. Në këtë shembull mësuesi duhet të këmbëngulë në 

gjetjen e emëruesit të njëjtë dhe në përcaktimin e faktorit plotësues. Duhet të sqarojë mirë 

barazimin dhe mosbarazimin (duke mos përdorur konceptin mosbarazim, por më i vogël) . 

nga del 

Shembulli 3, që do të punohet nga mësuesi, ndryshon nga dy të parët, sepse kemi për 

të krahasuar tri thyesa. 

Mbasi ka mbaruar shembujt, mësuesi ndan klasën në dy grupe dhe njërit grup i jep 

ushtrimin a dhe tjetrit b. Kur nxënësit punojnë, mësuesi kalon bankë më bankë dhe 

kontrollon punën e nxënësve. Kur ushtrimet përfundojnë, në dërrasë ngrihet një 

përfaqësues i çdo grupi për të punuar ushtrimin. 

Një nxënës i nivelit nën mesataren punon ushtrimin1(a, b, c). Në dërrasë punohen dhe 

3(a) dhe 5(d). 

Më pas bën përforcimin e mësimit nga ana teorike duke drejtuar pyetjen: Si krahasohen thyesat? 

Mësuesi jep për detyrë shtëpie 2, 3(b, c), 5(b, c, e). 

Udhëzon nxënësit se në faqen 10 të librit të ushtrimeve mund të gjejnë ushtrime të tjera. 

Tema 1.9 Ushtrime. 

Objektivat: 

- Të bëhet një përforcim, me ndihmën e ushtrimeve, i njohurive të marra në tetë mësimet 

e zhvilluara. 

- Të përgatiten nxënësit për testin e kontrollit. 





- Punë individuale duke u kombinuar 

me atë në grup 


Ora e ushtrimeve duhet konsideruar më e vështira për t’u organizuar, sepse do të 

zhvillohen ushtrime për disa tema mësimi të zhvilluara më parë. Por kjo do të na tregojë 

dhe më tepër boshllëqet që mund të jenë krijuar dhe si rezultat i harresës së nxënësve. 

Qëllimisht në çdo orë ushtrimesh janë trajtuar dhe shembuj të zgjidhur. Ashtu si në orët e 

mëparshme këto ushtrime duhet të punohen nga mësuesi. 

21

Mësuesi fillon me shembullin. 

Pyetja e parë që u drejton nxënësve është: 

Mund të gjej me mend ndonjë nga ju një thyesë ndërmjet dhe ? 

Mund të jepet përgjigje e saktë, por probabiliteti më i madh është të jepet përgjigje e 

gabuar. Megjithatë mësuesi duhet të jetë i përgatitur për të thënë se është apo jo përgjigje 

e saktë. Duke parë përgjigjet mësuesi thekson se duke pasur numërues të barabartë, 

thyesa më e madhe se 

duhet të ketë emërues më të vogël se 5, por, meqenëse duhet 

të jetë më e vogël se 

, duhet të ketë emërues më të madh se 4, por numër natyror 

ndërmjet 5 dhe 4 nuk ka; prandaj thyesat do t’i kthejmë në emërues të njëjtë. 

Kujdes, se nga ndonjë nxënës mund të merrni përgjigjen që emëruesi të mos jetë 

numër natyror, por një numër dhjetor, p.sh. 4,2 dhe thyesa që kërkojmë është: 

dhe 

duke u nisur nga vetia e shumëzimit për të krijuar thyesa të barabarta formon thyesën . 

Nxënësi ka të drejtë, por dhe kjo përgjigje ka shumë pak probabilitet. Unë mendoj që 

kjo përgjigje duhet pranuar, por besoj se pak do të kuptohet nga nxënësit. Prandaj do të 

përdorim tjetër rrugë, atë të kthimit në emërues të njëjtë. 

Mbas kësaj mësuesi kërkon nga nxënësit se cili është emëruesi i njëjtë. Mendoj që 

përgjigjja do të jetë 20. Mbasi ka arritur në 

. Tani jemi në situatën që thyesat 

kanë emërues të njëjtë dhe numëruesit janë dy numra natyrorë të njëpasnjëshëm, pra 

nuk gjejmë numër natyror ndërmjet tyre. 

Për këtë formojmë me ndihmë të vetisë së shumëzimit, thyesa të barabarta, 

me dhe . Pastaj shumëzojmë me 2 numëruesin dhe emëruesin e secilës thyesë. 

Për këtë kemi 

. Numri natyror ndërmjet 8 dhe 10 është 9, prandaj kemi 

. Duke zëvendësuar dhe me të barabartët e tyre arrijmë në 

përfundimin se : . Kështu që thyesa që kërkohet është . 

Shënim: Nxënësve të mirë mund t’u lihet si detyrë që, meqenëse numëruesit i kemi të 

njëjtë dhe emëruesit i kemi numra natyrorë të njëpasnjëshëm, formojmë thyesa të 

22

arabarta me rregullën e shumëzimit. Konkretisht: dhe . 

Meqenëse 

Atëherë . Por 10

24 

c) Me çfarë veprimi mund të përfitojmë thyesa të barabarta me një thyesë të dhënë? 

Në fund jepen detyrat e shtëpisë: 2(b), 4(c, d) , 5(a, b) dhe për nxënësit e mirë ushtrimi 6. 

Gjithashtu mësuesi udhëzon që të shohin me dëshirë dhe në librin e ushtrimeve në faqen 11. 

Para testit kam mendimin që mësuesi të zhvillojë një orë përsëritje nga orët e 

dispozicionit. Mund të lindë mendimi se ku do t’i gjejë ushtrimet. Ka dy mundësi: të zgjedhë 

ushtrime nga temat e zhvilluara të ngjashme me ato të testit ose nga teksti i ushtrimeve 

të marrë ushtrime në faqe 11. Mendoj që para se të fillojë ushtrimet (do të udhëzoja që 

këto duhet t’i zgjidhë mësuesi) mësuesi duhet t’u rikujtojë nxënësve: 

a) Çfarë është njësia thyesore. 

b) Cilat janë dy rregulla për të fituar thyesa të barabarta me një thyesë të dhënë. 

c) Si veprohet për të thjeshtuar një thyesë (duke gjetur PMP e numëruesit dhe 

emëruesit). 

d) Rregullat e plotpjesëtimit me 2, 3, 4 dhe 5. 

e) Rregullat për gjetjen e PMP dhe SHVP. 

f) Cili shërben si emërues i njëjtë i disa thyesave? 

Mbas tyre mësuesi zhvillon ushtrimet që ka planifikuar. 

1.10 Test kontrolli 

Udhëzime. 

1. Ushtrimet e testit janë orientuese. 

2. Mendimi im është që të zhvillohet në kohën e caktuar. Gjetja e kohës shtesë prej 

15 minutash të veprohet ashtu si veprojnë mësuesit e letërsisë kur kanë hartim. Në 30 

minutat e tjera mësuesi mund të shpjegojë temën e re për të mos humbur orë mësimi. 

3. Nëse nuk ka mundësi për 60 minuta të planifikojë vetë ushtrimet për testin. 

4. Pikët janë vendosur për të eliminuar subjektivizmin, nuk i janë dhënë ushtrimit më të 

vështirë më shumë pikë. 

Vlerësimi i ushtrimeve të testit 

1. Nëse nxënësi gjen njësinë thyesore merr një pikë, nëse i përgjigjet dhe pjesës tjetër 

i merr të 2 pikët. 

2. Nëse i përgjigjet njërës prej kërkesave, merr 1 pikë, nëse u përgjigjet të dyjave merr dy pikë. 

3. Nëse ndërton katrorin dhe e ndan në tetë pjesë të barabarta, por nuk ngjyros 7 prej 

tyre, merr 1 pikë, nëse bën dhe ngjyrosjen e 7 prej tyre i merr të dy pikët. 

4. Nëse formon 1 ose 2 thyesa të barabarta, merr 1 pikë, nëse formon 3 ose 4, i merr të dy pikët. 

5. Po e zgjidhi saktë ushtrimin, merr 1 pikë. 

6. Po e zgjidhi saktë ushtrimin, merr 1 pikë. 

7. Po të plotësojë një prej barazimeve, merr 1 pikë, nëse i plotëson të dyja saktë i 

merr të dy pikët. 

8. Nëse bën thjeshtimin, por thyesa që del nuk është e pathjeshtueshme merr 1 pikë, 

nëse thyesa që del nga thjeshtimi është e pathjeshtueshme, i merr të dyja pikët. 

9. Po bëri rrethimin e saktë, merr një pikë. 

10. Nëse bën zbërthimin, por nuk gjen SHVP, merr një pikë, po të gjejë dhe SHVP, i 

merr të dy pikët. 

11. Nëse bën zbërthimin, por nuk gjen PMP, merr një pikë, po të gjejë dhe PMP, i merr 

të dyja pikët.

12. Nëse gjen emëruesin e njëjtë, por nuk përcakton thyesat me emërues të njëjtë, 

merr 1 pikë, nëse i gjen dhe thyesat me emërues të njëjtë, i merr të dyja pikët. 

13. Nëse a) e bën saktë merr një pikë. Nëse te b) gjen emëruesin e njëjtë por nuk bën 

krahasimin, merr një pikë, nëse bën dhe këtë, i merr të dyja pikët. 

Për të pasur rezultat real korrigjimi duhet bërë saktë dhe jo t’i shtojmë pikë nxënësit të 

mirë dhe po të mos ketë vepruar si thamë më lart. 

Po sqarojmë ndërtimin e tabelës së konvertimit të pikëve në notë. 

Për përcaktimin e pikëve për çdo ushtrim mësuesi duhet të ketë kujdes që, kur të bëjë 

korrigjimin, të ketë mundësi për të bërë drejt ndarjen e tyre brenda ushtrimit. 

Pasi janë vendosur pikët për çdo ushtrim, pjesëton pikët totale me 4 atëherë nga zero 

pikë deri te pikët që caktohen nga herësi i pjesëtimit, nxënësi merr notën katër. Nga pikët 

totale zbriten pikët që cakton herësi i pjesëtimit, diferenca që del pjesëtohet me 6 (që 

është numri i notave nga 5 deri në 10). 

Me ndihme të këtij herësi formojmë intervalin e çdo note. 

P.sh.: Ky test ka 24 pikë. 24 : 4 = 6 pra, nga 0 pikë deri në 6 pikë merr notën katër. 

24 – 6 = 18, 18 : 6 = 3 Atëherë çdo notë ka tri pikë më shumë se nota paraardhëse. 

Nëse herësi i pjesëtimit të diferencës me 6 del me mbetje, çdo note i cakton aq pikë sa 

del herësi dhe mbetjen e ndan nga një për çdo notë duke filluar nga pesa. 

1.11 Mbledhja dhe zbritja e thyesave 

Objektivat. Në fund të orës nxënësi duhet të arrijë: 

- Të mbledhë dhe të zbresë thyesat me emërues të njëjtë. 

- Të rikujtojë gjetja e SHVP. 

- Të mbledhë dhe të zbresë thyesat me emërues të ndryshëm. 




- Një tabelë ku të jetë vizatuar rrethi 

që do të përdoret në punën përgatitore. 


- Metoda e diskutimit. 


Zhvillimi i mësimit. 

Mësuesi fillon me punën përgatitore. 

Duke treguar tabelën me qarkun, mësuesi drejton në fillim dy pyetjet. 

Çfarë pjesë e qarkut (jo rrethi) është ngjyrosur me ngjyrë të kuqe? Po me ngjyrë blu? 

Mbasi merr përgjigjen drejton pyetjen tjetër: Cila pjesë e qarkut është ngjyrosur? 

Tani na kanë dale tri thyesa. Dhe mësuesi drejton pyetjen tjetër: Çfarë lidhje ka midis 

këtyre tri thyesave? Mendoj se mësuesi duhet të marrë përgjigjen se pjesa e ngjyrosur 

është shuma e pjesëve të ngjyrosura me ngjyra të ndryshme. Atëherë mësuesi nxjerr 

përfundimin se shuma e thyesave me emërues të njëjtë është një thyesë me po atë 

emërues dhe numërues ka shumën e numëruesve të thyesave. 

Këtë përfundim mësuesi kërkon që ta përsëritin dhe disa nxënës. Pastaj punon vetë në 

dërrasë shembullin 1. Për përforcim ngre në dërrasë një nxënës për të punuar ushtrimin 1. 

Për zbritjen mësuesi mund të përdorë përsëri tabelën. Kemi të ngjyrosur 

e qarkut, 

25

është e kuqe, sa është në ngjyrën blu? Pra pjesa blu merret duke hequr pjesën e kuqe. 

Pra, ndryshesa e dy thyesave me emërues të njëjtë është një thyesë që ka si emërues 

atë të thyesave dhe si numërues diferencën e numëruesve të thyesave. 

Mësuesi kërkon që ky përfundim të përsësritet dhe nga disa nxënës. 

Pastaj zgjidh vetë shembullin 2 dhe një nxënës ngrihet në dërrasë për të punuar ushtrimin 2. 

Mësuesi u drejtohet nxënësve duke theksuar se ato dinë të mbledhim dhe zbresim 

thyesat me emërues të njëjtë. Prandaj për thyesat me emërues të ndryshëm, për të kryer 

veprimin e mbledhjes dhe zbritjes, duhet të kthehen në emërues të njëjtë. 

Këtu mësuesi fillon të zgjidhë shembujt 3, 4 dhe 5. Gjatë zgjidhjes së tyre mësuesi 

duhet të sqarojë momentin kur shumëzon me faktorin plotësues të çdo emëruesi, 

numëruesi e çdo thyese. Shembujt duhet të punohen me shumë kujdes. 

Për të bërë përforcimin praktik mësuesi punon në dërrasë me nxënës të veçantë ushtrimin 3(a, b). 

Përforcimin teorik e bën duke përsëritur ato të rubrikës: Duhet të mbani mend. 

Si detyrë shtëpie mund të jepen ushtrimet 1, 2(a, b), 3, dhe 4(b, c). 

Për punë plotësuese mësuesi udhëzon nxënësit të punojë ushtrimet e faqes 11, 12 në 

librin e ushtrimeve. 

1.12. Ushtrime 

Objektivat: Në fund të orës së mësimit nxënësi të jetë i aftë: 

- Të mbledhë dhe zbresë thyesave me emërues të njëjtë dhe të ndryshëm. 

- Të dijë të shtroj dhe të zgjidhë problema, ku përdoret mbledhja dhe zbritja e thyesave. 




Metoda që do të përdoret: 

- Metoda e diskutimit. 


Mësuesi punon frontalisht me nxënësit ushtrimin 1(a). 

Gjatë kësaj kohe një nxënës tjetër punon në dërrasë ushtrimin 1(b), të parin. Mbasi 

nxënësit kanë përfunduar ushtrimin 1(a) mësuesi kërkon nga ata që të fillojnë ushtrimin 

që nxënësi punon në dërrasë. Nëse konstaton se ushtrimi është kuptuar, mësuesi ngre 

në dërrasë një nxënës tjetër për të punuar ushtrimin 2(c), të tretën. Mendoj që pas 

përfundimit të këtij ushtrimi, mësuesi duhet që ta shpjegojë dhe ai zgjidhjen e këtij ushtrimi. 

Në tekst është zgjidhur dhe problema 3. Mësuesi kërkon nga nxënësit që të 

përqendrohen te kjo problemë dhe të mos mbajnë shënim. 

Meqenëse është problema e parë, mësuesi u jep nxënësve disa udhëzime se çfarë 

duhet të kenë parasysh për zgjidhjen e problemave. 

a) Problema duhet lexuar mirë dhe të kuptohet. 

b) Duhet të dallohet se çfarë jepet dhe çfarë duhet gjetur. 

c) Hartohen pyetjet të cilat do të na çojnë në zgjidhjen e problemës. 

26 

Pra dihen pjesët e lekëve të harxhuara veç e veç për libra, fletore dhe për mjete të tjera.

Në fund problemi kërkon se sa pjesë e lekëve i ngelen nxënësit pa harxhuar. Në fillim 

duhet të gjejmë pjesën e lekëve të harxhuara. 

1. Sa pjesë të lekëve ka harxhuar nxënësi? 

Për t’iu përgjigjur kësaj pyetje duhet të mblidhen pjesët e lekëve të harxhuara për libra, 

lapsa dhe të tjera = 

2. Sa pjesë e lekëve i ka ngelur nxënësit? Për këtë nga e tëra që konsiderohet 1 ose 

duhet të zbresim pjesën e harxhuar. - = 

Përgjigje: Nxënësit i kanë ngelur 

e lekëve të grumbulluara. Nëse ka kohë, mësuesi 

ngre një nxënës për të punuar problemën 5. Gjatë zgjidhjes mësuesi duhet të i këmbëngulë 

në çdo kalim duke e argumentuar atë. 

Për detyra shtëpie mund të jepen 1(b), e treta dhe të katërta, 2(b) dhe problema 6. 

Nëse nxënësit duan të punojnë dhe ushtrime të tjera, mësuesi u rekomandon librin e 

ushtrimeve në faqen 14. 

1.13. Shumëzimi dhe pjesëtimi i thyesave. 

Objektivat: Në fund të mësimit nxënësi: 

- Të dijë rregullën e shumëzimit dhe pjesëtimit të thyesave. 

- Të gjejë të anasjellën e një numri, por dhe të një thyese. 

- Të gjejë herësin, kur ai jepet në situatat ose . 




- Metoda e diskutimit 


- Një tabelë ku të jenë shkruar rregullat e shumëzimit dhe pjesëtimit të thyesave: 

1) 2) 

3) 4) 

5) 

27


Vërtet që në punën përgatitore nuk ka pyetje por përderisa thuhet se është trajtuar rregulla 

e mbledhjes dhe e zbritjes, mund të drejtohen pyetjet: Si mblidhen thyesat? Si zbriten thyesat? 

Nëse për dy veprimet e mbledhjes dhe zbritjes u përdor një tabelë për konkretizim, 

për shumëzimin dhe pjesëtimin mësuesi duhet të formulojë rregullat e dhëna në tekst pa 

debatuar me klasën. 

Në këtë orë mësimi ka vërtet tetë shembuj të zgjidhur, por mendoj se 1, 2, 3 dhe 4 janë shumë 

të thjeshtë. Kështu që 1 dhe 2 do t’i punojë mësuesi, kurse ushtrimin 3 një nxënës në dërrasë. 

Pasi jepet përkufizimi i thyesave të anasjella, mësuesi i drejtohet klasës për të punuar 

ushtrimin: Gjej të anasjellat e çdo thyese. Të punohet frontalisht. 

Pavarësisht se në tekst është vërtetuar se prodhimi i dy thyesave të anasjella është 1, 

mund të ngrihet një nxënës për ta vërtetuar. 

Pasi mësuesi zgjidh dhe shembullin 4, tërheq vëmendjen e nxënësve për shembullin 5, 

duke kërkuar nga ata se si shkruhet në formë thyese numri 4. Pastaj vazhdohet si te 

shembulli 3. Për shembujt 6, 7 dhe 8 në fillim ka rëndësi sqarimi i formulave 3, 4 dhe 5. 

Kur mësuesi të jetë bindur se ato janë kuptuar, të kalohet në zgjidhjen e shembujve. 

Mësuesi duhet ta ketë planifikuar mirë orën e mësimit që, në momentin e përfundimit të 

orës së mësimit, të ketë përfunduar shembujt dhe të mos i ngelet kohë e lirë. Nëse i 

ngelet kohë, duhet të sqarojë edhe një herë formulat e tabelës. 

Për detyrë shtëpie të jepen ushtrimet 1 dhe 2. 

Për punë të pavarur të shikohen ushtrimet në faqen 15 te libri i ushtrimeve. 

1.14 - 1.15 - 1.16 Ushtrime 

Të tri temat do të trajtohen njëlloj. 

Objektivat: 

- Të përforcohen veprimet e mbledhjes, zbritjes, shumëzimit dhe pjesëtimit të thyesave. 

- Të rikujtohet kthimi i thyesave në emërues të njëjtë. 

- Të kryhet thjeshtimi i thyesave jo me çfarëdo pjesëtues të emëruesit dhe 

numëruesit, por me PMP për të cilën do të marrim një thyesë të pathjeshtueshme. 




- Tabela që u përdor në mësimin 1.13. 



- Puna me grupe (për ushtrimet me 

alternative) 


Për 1.14 do të punohen deri te ushtrimi 6. 

Mësuesi ngre në dërrasë një nxënës për të punuar 1(a). 

Të kryet veprimi 

. Nxënësi të lihet i lirë për ta punuar. 

Nxënësi nuk kryen thjeshtime në fillim, por zbaton vetinë e shumëzimit të dy thyesave, 

28

veprim që është i drejtë. Atëherë: = 

Mësuesi i kërkon që ta thjeshtojë, nëse nxënësi nuk arrin të gjejë se 33 është emëruesit 

dhe numëruesit pyet klasën.Cila është PMP e 528 dhe 99? Nxënësit e mirë mund të kenë 

gjetur pjesëtuesin më të madh të përbashkët, që është 33. Me të pjesëtojmë të dy gjymtyrët 

e thyesës. Mbas thjeshtimit kemi: 

. Por mësuesi mund të pranojë dhe thjeshtimet me 

pjesëtuesit e përbashkët. 

Por një nxënës mund të thjeshtojë pa kryer shumëzimin. Pjesëtuesi i përbashkët i 12 

dhe 9 është 3, kurse i 11 dhe 44 është 11. Mbas thjeshtimeve kemi: = = . 

Mësuesi mendoj që t’u rekomandojë mënyrën e dytë, sepse thjeshtimet që kryen janë 

më të thjeshta. 

Me qenë se ushtrimet 2, 3, 4 janë me alternativa mësuesi vë në punë individuale nxënësit 

që të japin përgjigjen e saktë. Nëse dikush jep përgjigjen e saktë, mësuesi duhet t’i kërkojë 

se si ka vepruar. Kujdes! Në teste nuk kërkohet rruga, por këtu është e mira që të kërkohet 

se duhet parë që nxënësi jep përgjigje pa arsyetuar apo përdor materialin teorik. Kjo do t’i 

mësojë ata si të veprojnë me këto tipe ushtrimesh. Mund të punohen dhe nga 6 (a, f). 

Detyra shtëpie. 1(b, c, d dhe e). Udhëzohen nxënësit që të shohin dhe ushtrimet e 

faqes 16 te libri i ushtrimeve. 

Për orën e dytë do të shihen ushtrimet nga numri 7 deri te numri 11. 

Para se të ngrihen nxënësit për të punuar, mësuesi zhvillon shembullin: Të thjeshtohet 

thyesa: 

. Ky shembull është shoqëruar dhe me shënimin, i cili ka një rëndësi të veçantë. 

Kur është zhvilluar tema Të thjeshtohen thyesat, kryenim thjeshtime të njëpasnjëshme për të 

fituar një thyesë të pathjeshtueshme. Kurse me gjetjen e PMP do të kryejmë vetëm një thjeshtim. 

Pas shembullit ngrihen me radhë nxënësit për të punuar, ushtrimet 7 (b), 8 (c), 9 (c) 

dhe 11(a). Mësuesi duhet të tregojë kujdes tek ushtrimi 7(b), sepse numrat janë primë 

dhe PMP është numri 1, po kështu dhe te 9 (c), sepse emëruesit janë numra primë dhe 

SHVP është prodhimi i tyre. 

Detyrë shtëpie. 7 (a, c); 8 (a, b); 9 (a); 10 (a, b) dhe 11 (b, c, d). 

Udhëzon nxënësit për të punuar ushtrimet e faqes 17 deri tek ushtrimi 10. 

Për orën e tretë janë ushtrimet 12, 13, 14 dhe 15. 

Mësuesi do të zgjidhë ushtrimin12 (d), 14 (b) dhe 15 (d, e). Mbasi të ketë përfunduar 

ushtrimet, mësuesi ngre në dërrasë nxënësit për të punuar ushtrimet 12 (a), 13(c), 15 (a, b). 

Detyra shtëpie. 12 (b, c), 13 (a, b), 14 (a) dhe 15 (c). Mësuesi udhëzon nxënësit për të 

punuar ushtrimet 11 dhe 12 të faqes 17 në librin e ushtrimeve. 

29

1.17. Gjetja e pjesës kur jepet e tëra dhe gjetja e të tërës kur jepet pjesa. 

Objektivat. Në fund të orës së mësimit nxënësi duhet të dijë: 

- Si veprohet për gjetjen e pjesës kur jepet e tëra. 

- Si veprohet për gjetjen e të tërës kur jepet pjesa. 




- Problemore 


- Diskutimit 

- Një tabelë ku të jetë ndërtuar një drejtkëndësh 

i ndarë në tre drejtkëndësha të barabartë me një 

të ngjyrosur dhe një drejtkëndësh tjetër me dy drejtkëndësha të ngjyrosur. 


Mësuesi vendos në dërrasë tabelën ku ka të ndërtuar dy drejtkëndësha të ndarë secilin 

në tri pjesë të barabarta. Te njëra ka ngjyrosur një ndarje dhe te tjetra dy ndarje. Me anën 

e kësaj tabele mësuesi do të zhvillojë punën përgatitore. Për drejtkëndëshin e parë mësuesi 

drejton pyetjen: Në sa pjesë është ndarë drejtkëndëshi? Përgjigjja do të jetë tri. 

Pastaj pyet përsëri: Sa drejtkëndësha të vegjël kemi ngjyrosur? Përgjigjja: një. 

Pra, çfarë përfaqëson një e treta? Nxënësit të lihen të lirë në përgjigje deri sa të merret 

përgjigja e saktë. Nga tri pjesë kemi marrë një. Por mësuesi sqaron se tre pjesë bëjnë të 

tërën, pra nga e tëra ne kemi marrë një. Po kështu veprohet dhe për figurën e dytë. Ky 

arsyetim na çon në gjetjen e pjesës, kur jepet e tëra. Pra, kur është e konkretizuar ne 

gjejmë pjesën duke numëruar. Por si do të veprohet kur nuk e kemi të konkretizuar? 

Tani mësuesi shtron problemën: Klasa ka 30 nxënës, ne duhet që të marrim 

e klasës. 

Sa nxënës duhet të marrim? Duke u nisur nga kuptimi i thyesave ka mundësi që të kemi 

një përgjigje të saktë nga nxënësit. 30 e ndajmë në tri pjesë të barabarta dhe nga këto 

ndarje marrim dy pjesë. Nëse nuk merret kjo përgjigje nga nxënësit, e jep vetë mësuesi. 

I drejtohet klasës se çfarë kuptojmë me ndarje. Përgjigjje: duhet ta pjesëtojmë me tre 30. 

Pra 30: 3 = 10. Një ndarje ka 10 nxënës. Meqenëse ne duhet të marrim 2 kemi 2 . 10 = 

20 Përfundimisht 2/3 e 30 është 20. 

Tani me shumë kujdes kalojmë në rastin e përgjithshëm. 

Nëse e tëra është T, ne duam të gjejmë 

të saj. Rolin e treshit e luan b, të 2 e luan a duke 

pasur parasysh problemën e mësipërme kemi e T = (T: b) . a Pra P = . 

T ose P = T . 

Ky ishte rasti kur jepet e tëra dhe gjendet pjesa. Tani kemi pjesën të gjejmë të tërën: 

e T është 6, të gjejmë të tërën. Mësuesi shtron pyetjen sa 

e T duhet të marrim 

për të marrë të tërën? Këtë pyetje e drejton duke pasur për bazë figurën e parë në tabelë. 

Mendoj që përgjigja do të jetë 3. Atëherë për të gjetur të tërën duhet të gjejmë 

30 

e saj.

Meqenëse e të tërës është 6 atëherë e saj është 2 herë më e vogël, 

6: 2 = 3. Pra e T është 3 atëherë T = 3( T) = 3 . 3 = 9 

Për të nxjerrë formulën arsyetoni si në rastin e gjetjes së pjesës T = (P:a) b. 

Mësuesi shënon në dërrasë në një vend të dukshëm këto dy formula: 

T – e tëra . P – pjesa P = . 

T = 

T = (P: a)b = Pastaj zhvillon shembujt 1, 2, 3, 4. 

Kujdes te shembulli 2 dhe 4, kur pjesa ose e tëra del thyesë. 

Shembujt të zhvillohen me shumë kujdes që të kuptohen nga e gjithë klasa. 

Nëse ka kohë, mësuesi zhvillon me klasën ushtrimin 1 të parën dhe 3(a). 

Përforcimi: të kërkohet nga nxënësit ajo që duhet të mbajnë mend. 

Detyra shtëpie: 2 dhe 3. 

Nxënësit mund të shohin ushtrime në faqen 18 në librin e ushtrimeve. 

1.18 Ushtrime. 


- Të dijë të bëjë planin e zgjidhjes së problemave në situata të ndryshme. 

- Të dallojë se çfarë kërkohet për të gjetur në një ushtrim, pjesa apo e tëra. 





- Diskutimit 



Mësuesi duhet që të shkruajë paraprakisht në dërrasë dy formulat, me të cilat gjejmë 

pjesën, kur jepet e tëra dhe gjetja e së tërës kur jepet pjesa, të cilat duhet të mos prishen 

deri në përfundimin e mësimit. 

Ushtrimi 3 i cili është i zgjidhur duhet të punohet nga mësuesi. E veçanta qëndron në 

atë që mësuesi duhet të këmbëngulë që si e tëra dhe pjesa mund të jenë numra të plotë, 

por dhe thyesa. 

Me nxënësit punohen në mënyrë të pavarur ushtrimet 4(a) dhe 2 e para. Kur ndonjë 

nxënës i përfundon, ngrihet në dërrasë. Pastaj klasa kontrollon ato që ka punuar në 

fletore me atë që është punuar në dërrasë. 

Pas përfundimit të këtyre ushtrimeve, mësuesi punon problemën 5 që është e zgjidhur. 

Kërkon nga nxënësit që ta ndjekin pa punuar në fletore. Mbasi problemën e ka lexuar 

disa herë, kërkon nga nxënësit që të japin planin e punës për zgjidhjen e problemës. 

31

Nëse nxënësit nuk janë në gjendje që të bëjnë planin e zgjidhjes, e harton vetë dhe pikat 

e planit i shkruan në dërrasë duke lënë vend bosh përbri: 

a) Sa problema zgjidhi ditën e parë nxënësi? 

b) Sa problema zgjidhi ditën e dytë? 

c) Sa problema zgjidhi ditën e parë dhe të dytë së bashku? 

d) Sa problema i mbetën për të zgjidhur? 

Mbasi ka hartuar planin e zgjidhjes, përbri çdo kërkese kryen veprimin përkatës. 

Kujdes, në fund duhet të japë përgjigjen. 

Kalon pastaj në punë individuale. Nxënësve shumë të mirë u jep problemën 8, kurse klasa 

punon problemën 5. Nëse problema 8 zgjidhet nga nxënësit, ata të vlerësohen me notë. 

Gjatë punës në heshtje të klasës, mësuesi kalon bankë në bankë duke dhënë udhëzime. 

Ndryshimi nga problema që u zgjidh është se për të gjetur në ditën e tretë duhet gjetur 

pjesa e së tërës që janë prurjet e dy ditëve të para së bashku. 

Nxënësi që e përfundon, ngrihet në dërrasë. 

Mësuesi gjatë punës së nxënësit në dërrasë komenton çdo veprim për të kuptuar dhe 

pjesa tjetër e klasës. 

Për detyra shtëpie jepen 1, 4(b, c) dhe problema 6. Nëse nxënësit e mirë nuk e kanë 

zgjidhur problemën 8 u lihet për ta punuar në shtëpi, duke dhënë ndonjë udhëzim. 

Nxënësit mund të shikojnë dhe ushtrimet e faqes 18 në liubrin e ushtrimeve. 

1.19 Thyesat e ndënënjësishme, tërësishme dhe mbinjësishme 

Objektivat. Në fund të orës së mësimit nxënësi të jetë i aftë: 

- Të dallojë tri llojet e thyesave. 

- Të kthejë thyesat në numra të përzier dhe anasjellas. 





Në punën përgatitore kërkohet nga nxënësit që, duke u mbështetur në mbledhjen e 

thyesave me emërues të barabartë, të shkruhen në një trajtë tjetër thyesat 

dhe . 


- Kllaster 

- Problemore 

- Diskutimit 


Mbasi merret përgjigje pozitive, kërkohet po nga klasa që të shkruhet në dërrasë: 

1. Një thyesë me numërues më të vogël se emëruesi. 

2. Një thyesë me emërues të barabartë me numëruesin. 

3. Një thyesë që numëruesin e ka më të madh se emëruesin. 

Pra sipas këtyre shembujve në varësi të krahasimit të numëruesit me emëruesin thyesat 

ndahen në tri grupe të mëdha. 

Të parat quhen thyesa të ndënënjësishme. Të dytat quhen thyesa të tërësishme. 

32

Të tretat quhen thyesa të mbinjësishme. Mësuesi i konkretizon ato me shembujt e librit. 

Duke shfrytëzuar punën përgatitore nëpërmjet një shembulli në tekst mësuesi nxjerr 

lidhjen ndërmjet thyesave të mbinjësishme dhe thyesave të ndënënjësishme. Mësuesi 

formulon ato që janë në kuadrat me shigjetë, të cilat i kërkon dhe nga nxënësit për t’i 

formuluar. Këtu del dhe kuptimi i numrit të përzier. Mësuesi tregon të dy rrugët se si një 

thyesë e tërësishme kthehet në një numër të përzier. 

Thekson se më e përdorshme është rruga e dytë (ajo me pjesëtim). 

Kujdes në leximin e numrit të përzier dhe në mënyrën e të shkruarit të tij. Tërhiq 

vëmendjen e klasës te shënimi KUJDES! 

Mësuesi zgjidh vetë në dërrasë shembujt 1 dhe 2 dhe në fund të çdo ushtrimi bën dhe 

leximin e përfundimit. 

Mbas punimit të shembujve, mësuesi vë në punë të pavarur klasën duke e ndarë në tri grupe dhe 

secilit grup i jep një nga thyesat e ushtrimit 1. Kush e përfundon, ngrihet në dërrasë për ta punuar. 

Pastaj mësuesi zhvillon shembullin 3. Nëse te ushtrimi 1 dhe 2 thyesat i kthenim në 

numra të përzier, te treshi është e anasjella. Përsëri aktivizon grupet duke u dhënë një 

nga numrat e përzier të ushtrimit 2. 

Mbasi ka përfunduar ushtrimet, mësuesi kërkon që nxënësit të përqendrohen te rubrika: 

Duhet të mbani mend. Kjo lexohet me kujdes nga një nxënës dhe u theksohet nxënësve 

që duhet të mbahet mend patjetër. 

Në fund mësuesi jep detyrat e shtëpisë. 1, 2, 3 dhe 4. Nxënësit mund të shikojnë dhe 

ushtrimet e faqes 19 në librin e ushtrimeve. 

1.20 Ushtrime 


- Të ketë përvetësuar tri llojet e thyesave. Të jetë në gjendje të kthejë thyesat në numra 

të përzier dhe anasjellas. 





- Diskutimit 



Në fillim mësuesi kërkon nga nxënësit përkufizimin e thyesve të ndënënjësishme, 

tërësishme dhe mbinjësishme duke dhënë dhe shembuj. 

Përsëri pyet se cili quhet numër i përzier, duke kërkuar dhe shembuj. 

Mbasi mbaron këtë pjesë të parë të mësimit, zhvillon frontalisht ushtrimet 1 dhe 2. 

Për të zhvilluar ushtrimet 4(a, b) mësuesi e ndan klasën në dy grupe, njërit grup i jep 

4(a) dhe tjetrit 4(b). Secili nxënës punon në mënyrë të pavarur. Kur të jenë përfunduar të 

dy ushtrimet, për të kontrolluar zgjidhjen për secilin grup ngrihet nga një nxënës. Mbas 

përfundimit, mësuesi i shpjegon dhe kërkon nga secili që të kontrollojë atë që ka punuar. 

33

Kur është i bindur se nxënësit e kanë kuptuar, përsëri njërit grup i jep uhstrimin 5 (a) dhe tjetrit 5 (c). 

Gjatë kohës që nxënësit punojnë mësuesi kalon bankë më bankë duke kontrolluar dhe 

duke ndihmuar sidomos nxënësit e dobët. Përsëri ngre një përfaqësues nga çdo grup 

dhe vepron si për ushtrimet e para. Vetë mësuesi punon ushtrimin 7(a) meqenëse nuk ka 

ushtrim të punuar në libër. 

Përsëri kërkon nga nxënësit që të përvetësojnë atë që është te: duhet të mbani mend. 

Për detyra shtëpie jepen 3, 4(b, c), 5(b, d) dhe 7(b, c). 

Për punë të pavarur mësuesi rekomandon ushtrimet e faqes 20 te libri i ushtrimeve. 

Para testit nr. 2, ashtu si te testi nr. 1, mendoj se duhet të parashikohet një orë përsëritje, 

me ushtrime të ngjashme me ato të testit. 

Ushtrimet do të merren nga teksti i ushtrimeve ose mësuesi të marrë ushtrime nga 

temat e zhvilluara. 

1.21. Test kontrolli nr. 2 

Testi është orientues. Po japim kriteret për vlerësimet me pikë. 

Ushtrimi 1. Nëse nxënësi zgjidh saktë a dhe b secila do të vlerësohet me një pikë. 

Kurse c, d dhe e secila vlerësohen me nga dy pikë. 

Ushtrimi 2. Secili nga ushtrimet po të zgjidhet saktë vlerësohet me nga një pikë. 

Ushtrimi 3. Secili vlerësohet me nga një pikë po të jenë zgjidhur saktë. 





Ushtrimi 8. Nëse ushtrimi zgjidhet saktë, ai vlerësohet me një pikë. 

Ushtrimi 9. Nëse rrethimi është i saktë vlerësimi është një pikë. 





Ushtrimi 14 . a) Nëse nxënësi bën vetëm planin e zgjidhjes merr një pikë. 

b) Nëse gjen dhe sa ujë dërgon në rezervuar pompa merr dhe një pikë tjetër. 

c) Nëse gjen dhe sa ujë nxjerr pompa nxënësi merr dhe një pikë tjetër. 

d) Nëse gjen dhe ujin e mbetur në rezervuar nxënësi i merr të katër pikët. 

Shënim. Në ushtrimin 14 për çdo pikë a), b), c), d) (të shënuara më lart) nxënësi merr 

nga një pikë. 

Kujdes! Nuk ka vlerësime me pikë jo të plota. Nuk do të vlerësohet me 0,5 ose 0,7 

pikë.nxënësi që ka zgjidhur një pjesë të kërkesës që ka një pikë Pikët do të jenë të plota. 

34

1.22 Numrat dhjetorë 


- Të dijë cilët quhen numra dhjetorë. 

- Të kthejë thyesuat dhjetore në numra dhjetorë. 

- Të dallojë pjesën e plotë dhe pjesën dhjetore në një numër dhjetor. 




- Një tabelë me një qark dhe një drejtkëndësh 

të ndarë në dhjetë pjesë të barabarta 


- Diskutimit 



Në punën përgatitore mësuesi kërkon nga nxënësit që të shkruajnë nga dy thyesa 

dhjetore të ndënënjësishme dhe të mbinjësishme. 

Pastaj në tabelën ku ka vizatuar një qark, një drejtkëndësh të ndarë secili në dhjetë 

pjesë të barabarta, kërkon që të tregohet njësia dhjetore. 

Pastaj u drejtohet nxënësve: Sa njësi dhjetore duhet që të japin numrin një. Mësuesi 

pret përgjigjen: duhen 10. Kjo na detyron që të dhjetat të shkruhen pas njësheve. Për të 

shprehur këtë do të përdorim presjen. Të qindëtat do të shkruhen pas të dhjetave e 

kështu me radhë. Kam mendimin që mësuesi të mos hyjë shumë në hollësi, por të bëjë 

të vetëdijshëm nxënësit që pas njësheve vihet presja, pastaj vihen të dhjetat, të qindëtat 

e kështu me radhë. Të këmbëngulet që shkruhet ndryshe 0,1. shkruhet 0,01. 

Pasi bindet që nxënësit kanë kuptuar këto dy paraqitje të dy njësive dhjetore zhvillon 

shembullin 1. Gjatë zgjidhjes mësuesi duhet të këmbëngulë se numëruesi tregon sa 

njësi dhjetore kemi. Këtu thekson se numrat e paraqitur në këtë mënyrë quhen numra 

dhjetorë. Në tabelë duhet të jenë shkruar dhe disa numra dhjetorë dhe mësuesi të theksojë 

se cila quhet pjesë e plotë dhe cila quhet pjesa dhjetore. 

Deri tani janë paraqitur si numra dhjetorë thyesat dhjetore të ndënënjësishme. Për të 

treguar se dhe thyesat dhjetore të mbinjësishme shkruhen si numra dhjetorë. 

Zhvillohet shembulli dy. Kujdes duhet të tregohet se si ka dalë pjesa e plotë 3. Të theksohet 

me forcë se numri tre është i plotë, kurse 0,12 ka 0 të plota , pra gjithsej kemi 3 + 0 = 3 të 

plota, prandaj numri është 3,1. Me anë të shembujve 3, 4, 5 dhe 6 tregohet rruga më e 

shkurtër për të kthyer një thyesë dhjetore në numër dhjetor. Kujdes në sqarimin e përkufizimit, 

sidomos te “nëse nuk ka shifra vendosim 0”, nëpërmjet shembujve. Shembulli 7 i tregon 

nxënësit përcaktimin e pjesës së plotë të të dhjetave dhe të të qindtave. Mbasi janë 

përfunduar shembujt, mësuesi ngre në dërrasë nxënës për të punuar ushtrimin 1. Kujdes, 

jo tre-katër nxënës njëherësh, por një nga një që ushtrimet të kuptohen nga nxënësit. 

Përforcimi teorik do të bëhet nëpërmjet përkufizimit të faqes 35. Kjo përbën dhe çështjen kryesore 

të rubrikës: duhet të mbani mend. Për detyrë shtëpie mendoj të jepen ushtrimet 2 dhe 3. 

Për punë të pavarur mësuesi rekomandon ushtrimet e faqes 20 te libri i ushtrimeve. 

35

1.23 Numrat dhjetorë (vazhdim) 


- Të kthejë në numra dhjetorë thyesat e çfarëdoshme. 





- Diskutimit 



E veçanta e kësaj teme është se duhet kryer pjesëtimi i dy numrave natyrorë. 

Në punë përgatitore mësuesi duhet të theksojë se deri tani ne dimë të kthejmë thyesat 

dhjetore në numra dhjetorë dhe kërkon nga nxënësit të japin përgjigje për ushtrimin 2 që 

e kishin detyrë shtëpie. Mbas saj mësuesi zhvillon shembujt 1, 2 dhe 3, por me shumë 

kujdes dhe jo duke shpejtuar, sidomos në vendosjen e presjes te herësi. 

Mësuesi duhet të theksojë se nëse gjatë pjesëtimit kemi mbetje, te herësi vendosim 

presjen dhe te mbetja vendosim 0 në të djathtë. 

Nëse përsëri nga pjesëtimi kemi mbetje te kjo mbetje, vendosim përsëri 0, kurse te 

herësi nuk bëjmë asnjë ndryshim, kujdes se mund të mendohet se duhet vendosur 

përsëri presje. Ky veprim vazhdohet, por në klasën e gjashtë do të mjaftohemi me dy 

shifra mbas presjes. 

Mirë është që mbasi të ketë kryer pjesëtimin, të gjendet pjesa e plotë dhe pjesa 

dhjetore.Në dërrasë zhvillon nga ushtrimi 1 të parën dhe të dytën, jo njëkohësisht, por të 

zhvillohen një nga një nga nxënësit. Nxënësit e tjerë jo vetëm që duhet t’i ndjekin, por dhe 

t’i punojnë në fletore. Mbasi janë zhvilluar dy të parat, mësuesi ndan klasën në dy grupe, 

njërit i jep të punojë ushtrimet: nga 1 të tretën dhe tjetrit të katërtën. Mësuesi gjatë punës 

së pavarur kalon bankë më bankë për të parë punën e gjithsecilit. Nëse ka kohë, ngre në 

dërrasë një përfaqësues nga çdo grup. 

Para se të japë detyrat e shtëpisë mësuesi kërkon rregullin e pjesëtimit dhe të vendosjes 

së presjes te herësi. 

Për detyra shtëpie jepen ushtrimet 3, 4 dhe për të mos harruar kthimin e thyesave 

dhjetore në numra dhjetorë, jepet dhe ushtrimi 1. Për punë të mëtejshme rekomandon 

ushtrimet e faqes 22 te libri i ushtrimeve. 

1.24 Krahasimi i numrave dhjetorë 


- Të fitojë aftësi për të krahasuar numrat dhjetorë. 

- Të mësojë se si bëhet rrumbullakimi i numrave dhjetorë deri në të dhjetën. 





- Diskutimit 



Në punën përgatitore paraqiten dy momente të cilave duhet t’u kushtohet e njëjta rëndësi. 

Për krahasimin e thyesave mjafton që nxënësi të japë rregullin për të dyja rastet. Mundet 

36

që të kryhen dhe veprimet për t’i krahasuar. Moment i dytë: Çfarë përfaqësojnë shifrat 3, 

2, 1 te numri 3,21 kjo ka një rëndësi të veçantë se do të na ndihmojë për të krahasuar 

numrat dhjetorë dhe për të bërë rrumbullakimin e tyre. 

Mbas kësaj pune përgatitore mësuesi jep rregullën për krahasimin e numrave dhjetorë, që 

duhet thënë se është më i thjeshtë se ai thyesave. Ky rregull jepet te shënimi ‘themi se’.Mirë 

është që të mësohet përmendsh, por rëndësi ka zbatimi. Mësuesi zhvillon vetë shembujt 1, 2 

dhe 3. Si në çdo rast nxënësi vetëm dëgjon shembujt. Mësuesi vë në punë të pavarur klasën 

me ushtrimin 1. Mendoj se ka mundësi që këto ushtrime të zhvillohen dhe frontalisht. 

Në pjesën e dytë është rrumbullakimi i numrave i cili jepet me ndihmën e rregullës në 

faqen 39. Mbasi jep këtë rregull mësuesi zhvillon shembujt 1 dhe 2. Kujdes me shënimin. 

Pastaj klasa vihet në punë të pavarur me ushtrimin 3 dhe 4. Kam mendimin që klasa të 

ndahet në dy grupe, një të punojë ushtrimin 3 dhe tjetri 4. Kush e përfundon, ngrihet në dërrasë 

për ta punuar, por mësuesi duhet që gjatë zgjidhjes të këmbëngulë në argumentimin e përgjigjes. 

Në fund mësuesi duhet të formulojë të dy rregullat dhe pastaj t’i kërkojë nga nxënësit. 

Mendoj që detyrë shtëpie të jenë të tri ushtrimet, por mësuesi duhet të porositë nxënësit 

që për çdo përgjigje të ushtrimeve të japin dhe argumentimin. 

Për punë të mëtejshme mësuesi rekomandon dhe ushtrimet e faqes 22 në librin e ushtrimeve. 

1.25. Mbledhja dhe zbritja e numrave dhjetorë 


- Të dijë rregullën e vendosjes se numrave në shtyllë për t’i mbledhur (zbritur). 

- Të përvetësojë rregullën që ndiqet në zbritje kur një shifër e zbritësit është më e 

vogël se shifra përgjegjëse e të zbritshmit. 





- Diskutimit 



Në punën përgatitore, rikujtohet mbledhja e numrave natyrorë dhe e thyesave. Nuk 

duhet neglizhuar, sepse do të ndihmojë më tej. 

Rregulla mendoj se mund të jepet vetëm njëherë dhe pastaj duhet interpretuar gjatë zgjidhjes 

nga mësuesi të shembujve 1, 2, 3, 4 dhe 5. Kujdes! Në rregull përmendet mblidhet (zbritet), 

kur kryejmë mbledhjen nuk duhet të përmendet fjala zbriten; kështu dhe kur kryejmë zbritje 

në rregull nuk duhet përmendur fjala mblidhen. Shembujt nuk duhet të punohen me mendimin 

se nxënësi i ka zhvilluar më parë, por do të këmbëngulet në interpretimin e rregullës. 

Në fund të faqes 40 është vendosur një shënim. 

Të mos anashkalohet, sepse ky shënim vihet në dukje në shembullin 5. 

Para se të fillojë shembujt me zbritjen mësuesi vë në punë klasën duke punuar 

ushtrimin1. Në dërrasë ngre një nxënës për të punuar nga ushtrimi 1, të parën. Mund të 

ketë ndonjë nxënës që në këtë kohë të ketë përfunduar nga ushtrimi 1 të dytën. Mësuesi 

e ngre këtë nxënës në dërrasë. Gjatë kësaj kohe mundet që një nxënës tjetër të ketë 

përfunduar nga 1 të tretën. Përsëri mësuesi e ngre atë në dërrasë. Nëse ka disa që i 

37

kanë përfunduar, mësuesi duhet të preferojë nxënësit e dobët për të punuar në dërrasë 

dhe nëse ai mund ta ketë punuar me gabime. Këto gabime duhen korrigjuar nga klasa. 

Në të njëjtën mënyrë veprohet dhe për ushtrimet 2. Kujdes të tregohet te pika e dytë dhe 

e tretë e këtij ushtrimi për të cilat duhet të kihet parasysh shënimi që është në tekst. 

Në fund të mësimit kërkohet nga klasa që të lexohet nga nxënës të veçantë rregulli i 

mbledhjes dhe zbritjes së numrave dhjetorë. 

Mendoj që detyrë shtëpie të jepen të gjitha ushtrimet. Për punë të mëtejshme 

rekomandohen ushtrimet e faqes 23 në librin e ushtrimeve. 

1.26 Shumëzimi dhe pjesëtimi i numrave dhjetorë me një numër natyror 


- Të dijë rregullën e shumëzimit dhe pjesëtimit të numrave dhjetorë. 

- Të dijë si veprohet nëse pjesëtimi del me mbetje kur herësi është me dy shifra mbas presjes. 

- Të dijë të kthejë një numër dhjetor në një numër thyesor. 

- Të dijë rregullat e shumëzimit dhe pjesëtimit me dhjetë dhe fuqi të dhjetës. 





- Diskutimit 


38 


Që në fillim mund të them se mësuesi duke parë nivelin e klasës këtë temë mund ta 

ndajë në dy orë mësimi, ora e parë deri te rastet e veçanta dhe ora e dytë rastet e veçanta. 

Në punën përgatitore nxënësi do të rikujtojë veprimin e shumëzimit dhe pjesëtimit me 

numrat e plotë dhe me thyesat. Veprimet me thyesat jepen për rikujtim, kurse veprimet 

me numrat natyrorë ndihmojnë në kryerjen e veprimeve të shumëzimit dhe pjesëtimit me 

numrat dhjetorë. Prandaj përqendrimi në punën përgatitore duhet të jetë te shumëzimi 

dhe pjesëtimi i numrave natyrorë. Veprimet duhet të bëhen në kolonë. 

Të shumëzohen numrat 125 . 24. 

125 

. 

24 

500 

250 

3000 

Të pjesëtohen numrat 48 me 6. 48: 6 = 8 

Mësuesi mund të marrë dhe një rast tjetër të pjesëtimit të një numri tre shifror me një 

numër një shifror. Konkretisht: të pjesëtohet numri 564 me 4. 

564 : 4 = 141 

- 4 

16 

- 16 

4 

- 4 

0

Duhet të zhvillohen në këtë mënyrë, se kështu do të kryet veprimi i shumëzimit dhe 

pjesëtimit të numrave dhjetorë. 

Mbasi mësuesi është bindur se nxënësit e rikujtuan shumëzimin dhe pjesëtimin e numrave 

natyrorë, ndërpret punën përgatitore. Para se të kalohet në temën e mësimit mësuesi sqaron 

se do të kryhet veprimi i shumëzimit të një numri dhjetor me një numër të plotë. Mbas këtij 

sqarimi mësuesi jep rregullin e veprimit të shumëzimit të një numri dhjetor me një numër të 

plotë. Këtë rregull e përsërit dy apo tri herë, të cilin e kërkon ta përsëritin dhe disa nxënës. 

Si gjithnjë mësuesi kërkon nga nxënësit që ta ndjekin në dy shembujt që ai do të zhvillojë 

vetë në dërrasë. Kujdes! Duhet të këmbëngulë në mënyrën e vendosjes së presjes dhjetore 

që është dhe ndryshimi ndërmjet shumëzimit të numrave dhjetorë dhe numrave natyrorë. 

Pastaj ngre në dërrasë një nxënës, i cili zgjidh ushtrimin 1, me të punon dhe klasa. 

Tani mësuesi kalon në rregullën e pjesëtimit të numrit dhjetor me një numër të plotë. 

Këtu paraqiten dy raste: i pari, pjesëtimi del pa mbetje, të cilën mësuesi e jep me ndihmën 

e shembullit 3. Vështirësi paraqet rasti i dytë që del me mbetje. Përveç sqarimit që jepet 

te rregulla, mësuesi duhet të këmbëngulë sidomos në vendosjen e presjes te mbetja. 

Mbasi ka zgjidhur dhe ka dhënë përgjigje për shembullin 4, për ta kuptuar mësuesi tërheq 

vëmendjen e nxënësve se mbetja ka aq shifra mbas presjes sa ka dhe herësi. Klasa dhe 

një nxënës në dërrasë zgjidhin ushtrimin 2. 

Ashtu si u përmend më lart, nëse mësuesi e shikon të arsyeshme, mund ta ndërpresë 

këtu mësimin dhe pjesën tjetër ta zhvillojë në një orë tjetër mësimi. Megjithatë po e 

zhvillojmë sikur të ishte një orë mësimi. 

Kalohet në rastet e veçanta. Rregulla në fillim formulohet nga mësuesi, pastaj përsëritet 

dhe nga nxënësit. Mësuesi zgjidh shembujt 5, 6, 7 dhe 8. Moment shumë i rëndësishëm 

është dhe trajtimi i rregullës tjetër që tregon se si një numër dhjetor kthehet në një 

thyesë. Prandaj shembulli 9 duhet punuar me kujdes, sepse nxënësi deri në këto momente 

nuk ka ndeshur numër të trajtës: 

. Kalimi i mëtejshëm ka të bëjë me formimin e 

thyesave të barabarta me anën e rregullës të shumëzimit. 

Në përforcimin teorik mësuesi formulon dhe një herë të katër rregullat dhe pastaj i 

kërkon këto nga nxënësit. 

Mendoj se për detyrë shtëpie të jepen të katër ushtrimet. Për punë të mëtejshme 

mësuesi rekomandon ushtrimet e faqes 23 te Libri i ushtrimeve. 



- Të konsolidojë veprimet e mbledhjes dhe zbritjes me numrat dhjetorë. 

- Të konsolidojë krahasimi i numrave dhjetorë. 





- Diskutimit 



Ushtrimin 1 mësuesi e zgjidh me klasën duke ngritur njëri pas tjetrit katër nxënës. Kam 

mendimin që këta nxënës të jenë të nivelit nën mesatar. Ky ushtrim duhet parë si mundësi 

për të zgjidhur ushtrimin 2. 

39

Për të dhënë përgjigje të saktë të ushtrimit 2 është mirë që numrat të shkruhen me 

shifra, kjo detyrë t’u lihet nxënësve mesatarë dhe mbi mestarë, pastaj përgjigjen janë apo 

jo të barabartë ta japin nxënësit nën mesatarë. 

Mendoj që në klasë nxënësit me ndihmën e mësuesit duhet të zgjidhin ushtrimet: 

3(a), 4(të parin dhe të pestin), 5(të parin dhe të tretin), 6(c), 7(a, e) dhe 8( të dytin). 

Numri i ushtrimeve që do të zgjidhen varet nga përgatitja dhe niveli i klasës. 

Prandaj kjo sasi ushtrimesh që është dhënë për t’u zgjidhur nuk është e detyruar. Por 

ato që të zgjidhen të kuptohen nga nxënësi. 

Për detyrë shtëpie mendoj që nxënësit nën mesatarë të punojnë ushtrimet: 3(b), 

4(të dytin dhe të tretin), 4(të dytin dhe të katërtin), 6(a), 7(a) dhe 8(të parin). 

Nxënësit e tjerë të kenë për detyrë: 6(a, b), 7 të gjitha, përveç atyre që u zgjidhën në 

klasë dhe 8 (të parin dhe të tretin). Për punë të mëtejshme mësuesi u rekomandon 

nxënësve dhe ushtrimet e faqes 24 te libri i ushtrimeve. 

1.28 Ushtrime për numrat dhjetorë 


- Të konsolidojë veprimet e shumëzimit dhe të pjesëtimit të një numri dhjetor me një 

numër natyror. 

- Të konsolidojë veprimin e pjesëtimit kur kemi mbetje. 



- Libri i ushtrimeve 


- Diskutimit 


40 


Mendoj që mësuesi duhet të zhvillojë ushtrimin 1. Ai thekson se edhe për këto tipe 

ushtrimesh duhet të kryhen veprime. Ky ushtrim duhet të zgjidhet kështu: 

Kontrollohen të gjitha rastet. Do të rrethojmë shkronjën e ushtrimit që është i vërtetë. 

Konkretisht: a-ja nuk është e vërtetë se, megjithëse pjesën e plotë e kanë të njëjtë, 

shifrën e parë mbas presjes më të madhe e ka numri 365,9, prandaj 365,8 < 365,9. b-ja 

nuk është e vërtetë, se 0,13 është e = me 0,13. c - është e vërtetë, sepse pjesa e plotë 

është e njëjtë, shifra e të dhjetave është e njëjtë, kurse të qindtat më të madhe e ka numri 

2,56, prandaj 2,56 > 2,54. Atëherë rrethohet c. Nëse ne e përcaktojmë se cili është i 

saktë pa kryer veprime, bëjmë rrethimin. Duhet theksuar se veprimet për këto ushtrime 

mund të mos kryhen në fletën që dorëzohet për t’u kontrolluar nga mësuesi. Kujdes! 

Mund të ketë dhe ushtrime që mund të jenë një ose më tepër të vërteta, prandaj duhen 

parë të gjitha. Por në teste vetëm një do të jetë e vërtetë. 

Pastaj mësuesi ngre nga një nxënës në dërrasë duke zgjidhur me radhë ushtrimin 4(a të 

parin, b të dytin), 5( a të tretin, b të parin), 6( a, d). Kurse për ushtrimin 7 mësuesi shembullin e 

zgjidh vetë, duke sqaruar ose rikujtuar dy momente: vendosja e presjes te herësi dhe si shkruhet 

mbetja si numër dhjetor. Pastaj sipas shembullit që zgjidhi mësuesi në klasë punohet 7(a, d). 

Për detyrë shtëpie jepen 2, 3, 4 (a e treta dhe b e treta), 5 (a e para dhe b e treta), 

6 ( b, c) dhe 7 (b, c).

Për punë të mëtejshme mësuesi rekomandon ushtrimet e faqes 24 te Libri i ushtrimeve. 

Edhe këtu mësuesi duhet të planifikojë një orë përsëritje duke zhvilluar ushtrime të 

ngjashme me ato të testit. Këto ushtrime ose i zgjedh mësuesi në temat e zhvilluara, ose 

te Libri i ushtrimeve. Mendoj që në përsëritje ushtrimet duhet të zgjidhen nga mësuesi. 

Në çdo ushtrim mësuesi duhet të sqarojë momentet më delikate të ushtrimit. 

1.29 Test kontrolli nr. 3 

Përcaktimi i pikëve. 

Ushtrimi 1. Çdo zgjidhje e saktë vlerësohet me një pikë. 


Ushtrimi 3. Nëse përgjigjja është e saktë vlerësohet me një pikë. 

Ushtrimi 4. Nëse përgjigjja është e saktë vlerësohet me një pikë. 






Ushtrimi 10. Nëse i vendos drejt në kolonë për t’i mbledhur, por bën një gabim në 

mbledhje nxënësi merr një pikë. 


KUJDES nuk duhet 23, 11 – 24, 56 por 25, 11 – 24, 56. 

Ushtrimi 12 Çdo zgjidhje e saktë vlerësohet me një pikë. 

Ushtrimi 13 Çdo zgjidhje e saktë vlerësohet me një pikë. 

Ushtrimi 14. Për ta zgjidhur kalohet në gjashtë etapa: 

a) Plani i zgjidhjes. 

b) Gjetja e Eurove të harxhuara për rrugët. 

c) Gjetja e Eurove të harxhuara për hapësirat e gjelbëruara. 

d) Gjetja e Eurove të harxhuara për ndërtimin e tregjeve. 

e) Gjetja e Eurove të harxhuara për ndërtimin e shkollave. 

f) Gjetja e Eurove që i mbetën bashkisë. 

Secila pikë që zgjidhet saktë vlerësohet me një pikë. 

Theksoj se korrigjimi duhet bërë sipas skemës që paraqitëm. Të mos bëhen vlerësime 

me 0,5 ose ka bërë një gabim të vogël dhe vendoset pika e plotë. Zbato me rigorozitet 

skemën e konvertimit të pikëve në nota. 

1.30 Përqindja 

Objektivat. Në fund të orës së mësimit nxënësit: 

- Të njohin %. 

- Të kthejnë numrat thyesorë dhe numrat dhjetorë në % dhe anasjellas. 

- Të gjejnë % e një madhësie. 





- Diskutimit 


41


Në punën përgatitore më shumë duhet përqendruar te pyetja: Çfarë kuptojmë me 

dhe si lexohen. Duke marrë përgjigjen 32 të qindta apo 5 të qindta këtë 

lexim të tyre e shkruajmë në formën 32% dhe 5% dhe e quajmë përqindje. Lexojmë 32 

përqind apo 5 përqind. 

Te pjesa ku thuhet: Pyesim, dy pyetjet e para marrin përgjigje duke shfrytëzuar punën 

përgatitore. Por pyetja e tretë ka tri momente që mësuesi duhet t’i sqarojë me kujdes: 

a) kthimi i thyesës në numër dhjetor (me dy shifra pas presjes). 

b) kthimi i numrit dhjetor në thyesë dhjetore. 

c) kthimi i thyesës dhjetore në përqindje (kjo është trajtuar te dy pyetjet e para). 

Shembujt 1 dhe 2 tregojnë se si gjendet përqindja e numrave. Mësuesi duke e kthyer 

përqindjen në thyesë sqaron se kthehemi në ushtrimet e tipit: gjetja e pjesës kur jepet e tëra. 

Si gjithmonë shembujt do të zgjidhen nga mësuesi. 

Nxënësve u kërkohet që të ndërtojnë një tabelë të njëjtë në fletoren e tyre si ajo e 

tekstit. Mësuesi sqaron dhe si do të plotësohet kjo tabelë. Pastaj vë në punë nxënësit për 

plotësimin e saj. Mendoj që nxënësit të mbajnë hapur librin dhe për plotësimin e tabelës 

të shfrytëzojnë përgjigjen e tri pyetjeve. 

Në fund bëhet përforcimi i kuptimit të përqindjes. 

Për detyrë shtëpie jepen ushtrimet 1, 2 dhe 3. Mësuesi orienton nxënësit për ushtrime 

të tjera për të punuar të shohin në faqen 25 në Librin e ushtrimeve. 

1.31 Ushtrime 


- Të kthejë pa gabime numrat dhjetorë dhe thyesat në përqindje dhe anasjellas. 

- Të gjejë përqindjen e një numri. 


Ushtrimet 1, 2 dhe 3 zgjidhen frontalisht në klasë. 

Nga ushtrimi 4 mësuesi zgjidh të parën dhe pastaj klasa punon në mënyrë të pavarur. 

Mendoj që ushtrimi 5 duhet të zgjidhet me kujdes nga mësuesi. Mendoj që në fillim 

kthen 30% në numër, 30%= 0,30. Tani problemi kthehet në gjetjen e përqindjes së një 

numri, pra si shembulli 1 te tema mësimore 1.30. 20% = 

atëherë 

20% i 30% = . 

Tani duke pasur parasysh kuptimin e përqindjes kemi 6%. 

Përfundimisht: 

20% i 30% = 6%. Mundet që mësuesi të përdorë dhe ndonjë mënyrë tjetër për këtë ushtrim. 

Rëndësi ka dhe zgjidhja e problemave. Për këtë mendoj që mësuesi të zgjidhë problemën 6. 

42

Lexohet me kujdes problema. Në fillim përcaktojmë etapat që duhet të kalohen për 

zgjidhjen e problemit. 

a) Gjejmë se çfarë pjese zënë gjuajtjet e realizuara nga volejbollistja me numër 5. 

b) Shprehim në numër dhjetor atë që gjejmë tek a-ja. 

c) Numrin dhjetor e kthejmë në thyesë dhjetore dhe e shkruajmë atë në përqindje. 

d) Gjejmë se çfarë pjese zënë gjuajtjet e realizuara nga volejbollistja me numër 7. 

e) Shprehim në numër dhjetor atë që gjejmë te d-ja. 

f) Numrin dhjetor e kthejmë në thyesë dhjetore dhe e shkruajmë atë në përqindje. 

g) Krahasojmë përqindjet e gjetura. 

Zgjidhje: 

a) Meqenëse në 30 janë realizuar 12, atëherë e shprehur me thyesë është , 

b) numri dhjetor është 0,4, që del nga pjesëtimi i 12 me 30. 

c) E kthejmë në thyesë dhjetore: 0,4 = pra volejbollistja me 

numër 5 ka realizuar 40% të gjuajtjeve. 

d) Meqenëse në 20 realizon 10 atëherë e shprehur me thyesë është , 

e) numri dhjetor është 0,5. 

f) E kthejmë në thyesë dhjetore: 0,5 = , pra volejbollistja me 

numër 7 ka realizuar 50% të gjuajtjeve. 

g) Meqenëse 50% është më e madhe se 40% atëherë përqindjen më të lartë të 

realizimeve e ka volejbollistja me numër 7. 

Përveç sqarimit të çdo veprimi me shumë kujdes mësuesi duhet të sqarojë dhe atë që, 

megjithëse volejbollistja me numër 5 ka realizuar më shumë gjuajtje se ajo me numër 7, 

ajo ka përqindje më të vogël realizimi. Pra përqindja e realizimit varet jo vetëm nga ato që 

ke realizuar, por dhe nga ato që ke gjuajtur. 

Për detyrë shtëpie jepet ushtrimi 4 (e dyta, e treta), 7 kurse ushtrimet 8 dhe 9 me 

dëshirë. Mendoj që për problemat të jepet dhe ndonjë udhëzim. Mësuesi udhëzon nxënësit 

se mund të shohin dhe problemat e faqes 25 në librin e ushtrimeve. 

1.32 Problema me përqindje 


- Të dijë të punojnë me problema me përqindje. 

- Të zgjidhë problema në situata jo standarde. 





- Problemore 

- Diskutimit 


43


Në problema duhet këmbëmgulur që të kuptohen mirë, të dallohen madhësitë që janë 

dhënë dhe ato që duhen gjetur. Rëndësi ka përcaktimi i planit të zgjidhjes. 

Problema 2, që është e zgjidhur, duhet të punohet nga mësuesi. Nxënësit të ndjekin 

zgjidhjen dhe jo të shkruajnë në fletore. 

Pas përfundimit të saj klasa punon problemën 4. Mbasi problema të jetë kuptuar nga 

nxënësit, kërkohet plani i zgjidhjes. 

Nëse planin e zgjidhjes nuk e japin dot nxënësit e jep vetë mësuesi. 

a) Sa është rritur gjatësia, pra sa është 10% l10 cm. 

b) Sa është gjatësia e drejtkëndëshit të ri. 

c) Sa është rritur gjerësia, pra sa është 20% l 5 cm. 

d) Sa është gjerësia e drejtkëndëshit të ri. 

Mbas ndërtimit të planit të zgjidhjes, klasa zgjidh problemën. 

Mendoj se duhet vepruar si më poshtë. 

Zgjidhje: a) 10% . 10 = = = 1cm 

b) Meqenëse themi rritet gjatësisë, atëherë gjatësisë së drejtkëndëshit të parë do t’i 

shtojmë 1cm. Pra 10 cm + 1 cm = 11 cm është gjatësia e drejtkëndëshit të ri. 

c) 20% . 5 = cm. 

d) Meqenëse themi rritet gjerësia, atëherë gjerësisë së drejtkëndëshit të parë do t’i 

shtojmë 1cm. Pra 5 cm + 1 cm = 6 cm. 

Përgjigje: Gjatësia dhe gjerësia e drejtkëndëshit të ri janë 11 cm dhe 6 cm. 

Dhe së fundi do të zgjidhet problema 6. Në këtë problemë duket sikur plani i zgjidhjes 

është dhënë në problemë, por jo. 

Plani i zgjidhjes. a) Sa është fitimi në vitin e parë, pra 4% i 20 000 dollarëve? 

b) Sa dollarë do të kishte biznesmeni mbas një viti (pra kërkesa e parë e problemës)? 

c) Sa është fitimi mbas dy vjetësh? 

d) Sa dollarë do të ketë biznesmeni mbas dy vjetësh (pra kërkesa e dytë e problemës)? 

Nëse nxënësit nuk ndërtojnë këtë plan zgjidhjeje, e jep vetë mësuesi. Pastaj fillon 

zgjidhja e problemës. Mësuesi duhet të luajë rolin e tij në punimin e problemës. 

Për detyrë shtëpie jepen problemat 1, 5 dhe 7. Nxënësve të mirë u jepen për detyrë dhe 

problemat 8 dhe 9. Problema 10 jepet me dëshirë për nxënësit shumë të mirë. Mësuesi 

udhëzon nxënësit se mund të shohin dhe problemat e faqes 26 në Librin e ushtrimeve. 

44 

1.33 Numrat me shenjë dhe krahasimi i tyre 


- Të njohë numrat me shenjë. 

- Të vendosë në boshtin numerik numrat me shenjë. 

- Të dijë që çdo numër i plotë cakton një pikë në boshtin numerik. 

- Të krahasojnë numrat me shenjë. 

- Të përcaktojë numrat e kundërt.




- Një tabelë ku të jenë vizatuar tri boshte numerike: 

I pari të shërbejë për të treguar elementet e boshtit 


- Problemore 

- Diskutimit 


numerike. I dyti të ketë të vendosur pikat dhe të gjendet numri që përcakton pikën. 

I treti të ketë numrat dhe të caktohen pikat. Do të kihen parasysh ushtrimet. 


Në punën përgatitore duhet të dalë në dukje se shifra që jep temperaturën nën zero ka 

një shenjë para që quhet minus. Pra, numrat që njihen deri tani nuk e kanë këtë shenjë. 

Kështu për t’u dhënë kuptim duhet të zgjerohet më tej bashkësia e numrave. 

Mësuesi duhet të ketë përgatitur një tabelë ku të ketë ndërtuar një bosht numerik të 

cilin do ta përkufizojë. Jep përkufizimin e boshtit numerik. Në tabelën, ku është ndërtuar 

boshti numerik, duhet të jenë shënuar kushtet që një drejtëz të jetë bosht numerik: 

1. Pika fikse në drejtëz (shënohet me O) 

2. Drejtimi pozitiv. 

3. Njësia matëse. 

Në bosht është vendosur O, në të djathtë pikat A, B, C dhe në të majtë të O pikat A 1 

, B 1 

, C 1 

të 

tilla që OA, AB, BC OA 1, 

A 1, 

B 1 

, B 1 

C 1 

të kenë gjatësi sa njësia matëse e zgjedhur. Tani mësuesi 

interpreton atë që është në tekst për vendosjen e numrave. Pastaj sqaron atë që thuhet në 

marrëveshje. Kujdes në futjen e kuptimit të bashkësisë së numrave të plotë. 

Në këtë moment në dërrasë ngrihen dy nxënës të cilët punojnë: njëri ushtrimin 1 dhe 

tjetri ushtrimin 2. Nxënësit e tjerë punojnë në fletoren e klasës. 

Mund të bëhet dhe një pyetje nga klasa: A ka numra thyesorë apo dhjetorë me shenjë? 

Nëse nuk bëhet nga klasa, mësuesi thekson se ekzistojnë edhe këta numra me shenjë 

dhe pozicioni i vendosjes së tyre në lidhje me origjinën është i njëjtë me numrat e plotë, por 

përcaktimi i pikave në bosht që përfaqësojnë këta numra do të bëhet më vonë. Shembujt 1 

dhe 2 kalohen shpejt nga mësuesi. Më tepër duhet bërë kujdes në sqarimin e numrave të 

kundërt, të cilët do të sqarohen dhe nëpërmjet ushtrimit 3 që zgjidhet nga nxënësit. 

Para se të punojë shembujt 3 dhe 4 duhet punuar me shumë kujdes ana teorike për 

krahasimin e numrave me shenjë. Kam mendimin që nxënësit të kenë librin e hapur dhe 

të nënvizojnë dhe të mbajnë mend 1, 2(a, b), faqe 50 (Nën zgjidhjen e shembullit 2). 

Mbasi ka punuar shembujt 3 dhe 4, mësuesi vë në punë klasën për të zgjidhur ushtrimin 

4. Nxënësit që do të ngrihet në dërrasë për të punuar, t’i kërkohet për përgjigjet e këtij 

ushtrimi argumentimi i tyre. Në fund bën përforcimin duke pasur parasysh ato që thuhen 

te: Duhet të mbani mend. 

Detyrë shtëpie jepen 2 dhe 4 faqe 50. Mësuesi udhëzon nxënësit se mund të shohin 

dhe problemat e faqes 26 në librin e ushtrimeve. 

1.34 Veprime me numrat me shenjë 


- Të mbledhë dhe të zbresë numrat me shenjë. 

- Të shumëzojë dhe pjesëtojë numrat me shenjë. 

45





- Diskutimit 



Puna përgatitore do të rikujtojë veprimet me numrat natyrorë dhe thyesorë. Këtu duhet 

të këmbëngulet se si do të veprohet dhe çfarë numri del nga diferenca 7 – 11. 

Formulimet e vendosura në kuadrat me shigjetë duhet të përvetësohen shumë mirë nga 

nxënësit. Sqarimi i tyre nga mësuesi duhet bërë gjatë zgjidhjes së shembujve 1, 2 dhe 3. 

Këta shembuj duhet të sqarohen me atë saktësi si në tekst. Nxënësi vetëm do të dëgjojë 

dhe jo të shkruajnë gjatë zgjidhjes së shembujve. 

Po qëndrojmë pak te shembulli 3. Të kryhet zbritja (- 9) – ( + 5). Më lart është thënë se 

për të zbritur nga numri a numrin b do të mbledhim numrin a me të kundërtin e numrit b. 

I kundërti i numrit + 5 është – 5, mund të shkruajmë: (- 9) – (+5) = (- 9) + ( -5) = -14 (kemi 

mbledhur dy numra me shenjë të njëjtë). Rëndësi, por dhe vështirësi, paraqet kalimi nga 

(- 9) – (+5) te (- 9) + ( -5) kjo duhet sqaruar me atë që u tha pak më lart se i kundërti i 

+5 është – 5 dhe se si zbritja kthehet në mbledhje. Shembulli 4 dhe 5, të veçantë kanë 

se duhet të rikujtojmë mbledhjen e thyesave dhe të numrave dhjetorë, e cila u dha dhe në 

punën përgatitore. Me shembujt 7 dhe 8 sqarohet mirë shumëzimi dhe pjesëtimi i numrave 

me shenjë. Nëpërmjet ushtrimeve nxënësit vihen në punë të pavarur. Gjatë kësaj kohe 

mësuesi kalon bankë më bankë për të kontrolluar punën e çdo nxënësi. 

Për përforcim kërkon rregullat e veprimeve me numrat me shenjë. 

Detyra shtëpie jepen 1, 2(b, c), 3(b) dhe 4 faqe 52. 

Mësuesi udhëzon nxënësit që të shohin ushtrimet e faqes 27 në librin e ushtrimeve. 

1.35 Ushtrime 


- Të jetë në gjendje të kryejë veprimet e mbledhjes, zbritjes, shumëzimit dhe 

pjesëtimit, me numrat e plotë, thyesorë dhe dhjetorë. 





- Diskutimit 


46 


Duhet të punohet me shumë kujdes, sepse nga përvetësimi i kryerjes së veprimeve me 

numrat me shenjë do të mund të punohet me lehtësi në shprehjet numerike dhe shkronjore. 

Para se të fillohet me ushtrimet duhet të kërkohet nga nxënësit që të formulojnë rregullat 

për veprimet me numra me shenjë. 

Mendoj që mësuesi ushtrimin 1(a) ta zhvillojë frontalisht. Zhvillon vetë 1(b të dytin), 

1(c të tretin). Mbasi ka punuar në dërrasë këto ushtrime vë klasën në punë me ushtrimet 

1(b të parin) , 1(c të dytin) dhe 1(d të tretin). 

Për ushtrimet e tjera kam mendimin se duhet të punohen nga nxënësit në dërrasë me 

ndihmën e mësuesit. Mendoj të zgjidhen këto ushtrime: 2(b, d), 3(b, c) dhe 4(c).

Ja se si do të punohet një ushtrim nga nxënësi dhe mësuesi. 

3 c (i treti). Të kryhet zbritja (- ) – (- ). 

Meqenëse të zbresësh dy numra do të thotë të mbledhësh të parin me të kundërtin e të 

dytit, i kundërti i ( – ) është (+ ). 

Prandaj (- ) - (- ) = (- ) + (+ ). Emëruesi i njëjtë i 6 dhe 4 është 12 atëherë 

= (- ) + (+ ) 

= (- ) + (+ ) me qenë se kemi për të mbledhur numra me shenjë 

të kundërt, duke i konsideruar numra pa shenjë, nga 

më i madhi zbresim më të voglin dhe vëmë shenjën 

e më të madhit. Më e madhe është 

atëherë: 

= - ( - ) = - . 

Sqarimet të mos shkruhen në dërrasë, kurse nxënësi t’i shkruajë në fletore. Këto nuk 

do të kërkohen më vonë. 

Detyra shtëpie 2(a, c), 3(a, d) 4(a, b). Mësuesi udhëzon nxënësit që të shohin dhe 

ushtrimet e f. 28 te libri i ushtrimeve. 

1.36. Shprehjet numerike 


- Të dallojë shprehjet numerike. 

- Të formojë shprehje numerike kur jepen numrat dhe veprimet me të cilat lidhen këta numra. 

- Të dijë radhën e veprimeve algjebrike në shprehjet me ose pa kllapa. 





- Diskutimit 



Para se mësuesi të japë përkufizimin e shprehjeve numerike zhvillon punën përgatitore, 

e cila e përgatit nxënësin për të formuar dhe dalluar shprehjet numerike. 

Duke iu referuar ushtrimit të zgjidhur një orë më parë, mësuesi thekson se duke vepruar 

në atë mënyrë harxhohet shumë kohë. Për këtë mësuesi jep rregullat për kryerjen e 

veprimeve në një shprehje numerike. Të mos harrohet dhe ajo që shprehet te Kujdes. 

47

Të gjitha këto duhet t’i vërë në dukje dhe gjatë punimit të shembujve 1 dhe 2. 

E veçanta te shembujt 3 dhe 4 është se kemi kllapa dhe tek ato duhet të zbatohet me rigorozitet 

rregulli i radhës së veprimeve (b). Mendoj që shembullit 4 duhet t’i kushtohet më shumë kujdes. 

Për të parë përvetësimin e mësimit mësuesi vë në punë klasën me ushtrimin 1. 

Mbasi kanë përfunduar ushtrimet, mësuesi i drejton nxënësit në libër te rregulla. Cakton 

një nxënës për ta lexuar. Pastaj kërkon që të thuhet rregulla nga disa nxënës. Porosit 

nxënësit që rregulla dhe ajo që jepet te rubrika Kujdes të mësohet përmendsh. 

Detyra shtëpie. 1 (a,d, e, h, j) faqe 55. Mësuesi udhëzon nxënësit që të shohin ushtrimet 

e faqes 29 në librin e ushtrimeve. 


Objektivat. Në fund të orës së mësimit nxënësit: 

- Të përforcojnë rregullat e radhës së veprimeve në shprehjet numerike me dhe pa kllapa. 

- Të gjejnë vlerat e shprehjeve numerike me kombinim kllapash. 





- Diskutimit 


48 


Nëse nxënësit do të jenë në gjendje të përvetësojnë këto ushtrime, ata do ta kenë 

shumë më të lehtë për të zgjidhur ushtrime më të vështira. 

Mësuesi para se të fillojë shembujt duhet të përsërisë rregullat për radhën e veprimeve 

në shprehjet numerike. Nxënësit e kanë më lehtë të kryejnë veprimin kur kemi 

-2 . ( -3) = 6 se sa në rastin kur kemi: - ( -5) = 5. Prandaj duhet të tërhiqet vëmendja e 

nxënësve te: KUJDES që është në mësimin 1.36. 

E veçanta e shembullit 1 është radha e veprimeve në një shprehje pa kllapa. Prandaj 

mësuesi këtu duhet të këmbëngulë. Nëse shprehja është pa kllapa, pavarësisht nga 

renditja e veprimeve, radha e veprimeve është: 

a) në fillim kryhet shumëzimi ose pjesëtimi (cili është më parë). 

b) pastaj kryhet mbledhja ose zbritja (cila është më parë). 

Para se të kalohet në shembullin 1 mësuesi për të sqaruar a merr këtë ushtrim: 

Të kryhen veprimet: 10 . 5: 2 

10 . 5:2 = 50 : 2 = 25 Kujdes, po të ishte pjesëtimi, më parë do të kryhej ai. 

Për të sqaruar b merr ushtrimin: 

Të kryhen veprimet: 4 – 5 + 7 

4 – 5 + 7 = - 1 + 7 = 6. Kujdes po të ishte 

mbledhja, e para do të kryhej ajo. 

Mbas tyre mësuesi zhvillon shembullin 1. 

Po kështu nga mësuesi duhet zgjidhur shembulli 2, i cili të veçantë nga shembulli 1 ka shprehjen 

numerike me kllapa. Mësuesi nuk duhet të anashkalojë çdo kalim në zgjidhjen e ushtrimit. 

Mbasi ka përfunduar shembujt, mësuesi vë në punë klasën me ushtrimet a), b) dhe c) 

të parën. Nxënësve të mirë u jep të punojnë ushtrimin f) të tretën. Gjatë punës së pavarur 

mësuesi kalon bankë më bankë dhe kontrollon punën e secilit nxënës duke dhënë dhe

udhëzimet e nevojshme. Nëse ndonjë nxënës përfundon ndonjë prej ushtrimeve, ai ngrihet 

në dërrasë. 

Në përfundim të ushtrimit mësuesi kërkon nga nxënësit që të kontrollojnë punën e tyre 

me atë që është punuar në dërrasë. Mësuesi duhet të jetë shumë aktiv, të mos mjaftohet 

me një kontroll rutinë të zgjidhjes së ushtrimit, por të sqarojë çdo kalim veprimi. 

Në fund kërkon nga nxënësit edhe njëherë rregullat e kryerjes së veprimeve në një 

shprehje numerike me apo pa kllapa. 

Detyrë shtëpie jepen për të gjithë ushtrimet c dhe d. Për nxënësit e mirë f. Mësuesi 

udhëzon nxënësit që të punojnë dhe ushtrimet e faqes 30 te Libri i ushtrimeve. 

Para testit të zhvillohet një orë përsëritje nëse mësuesi e shikon të nevojshme. Si dhe 

në rastet e tjera ushtrimet të merren nga çdo temë e zhvilluar më parë ose nga teksti i 

ushtrimeve për nxënësin. Ushtrimet duhet t’i punojë mësuesi. 

1.38. Test kontrolli 

Si do të përcaktohen pikët. 

Ushtrimi 1 ka dy kërkesa, çdonjëri që zgjidhet saktë të vlerësohet me një pikë. 

Ushtrimi 2 ka dy kërkesa, çdonjëri që zgjidhet saktë të vlerësohet me një pikë. 

Ushtrimi 3 ka një tabelë tek e cila ka gjashte vende bosh, çdo plotësim i saktë vlerësohet 

me një pikë. 

Ushtrimi 4 nëse përgjigja është e saktë vlerësohet me një pikë. 



Ushtrimi 7 nëse rrethohet përgjigjja e saktë vlerësohet me një pikë 

Ushtrimi 8 ka shtatë kërkesa, çdonjë që zgjidhet saktë vlerësohet me një pikë. 

Ushtrimi 9 nëse veprimet i kryen me radhë (sipas rregullës) por me gabime, vlerësohet 

me një pikë. Nëse veprimet i kryen sipas radhës, por veprimet brenda kllapës 

katrore i kryen pa gabime, të tjerat me gabime vlerësohet me dy pikë. Nëse veprimet i 

kryhen sipas radhës, por bën një gabim vlerësohet me tri pikë dhe nëse ushtrimi zgjidhet 

pa asnjë gabim vlerësohet me katër pikë. Shënim gabim do të quajmë (- 4) . 2 = + 8 

Ushtrimi 10. Për ta zgjidhur kalohet në pesë etapa: 

a) Plani i zgjidhjes. 

b) Gjetja e numrit të tetave që ka marrë nxënësi. 

c) Gjetja e numrit të dhjetave që ka marrë nxënësi. 

d) Gjetja e numrit të nëntave që ka marrë nxënësi. 

e) Gjetja e numrit të notave të tjera. 

Secila që zgjidhet saktë vlerësohet me një pikë. 

Theksoj se korrigjimi duhet bërë sipas skemës që paraqitëm. Të mos bëhen vlerësime 

me 0,5 ose kur nxënësi ka bërë një gabim të vogël dhe i jepet pika e plotë. Zbato me 

rigorozitet skemën e konvertimit të pikëve në nota. 

49

Kreu II 

2.1 Matja e gjatësisë 


- Të dijë se çdo të thotë të matësh. 

- Të njohë dhe t’i shprehë njëra me tjetrën njësitë e gjatësisë. 




- Disa lloj metrash 

- Një tabelë me njësitë si në libër. 

Metodat që do të 

përdoren: 

- Problemore 

- Diskutimit 



Për të zhvilluar punën përgatitore, mësuesi duhet të ketë porositur nxënësit që të kenë 

me vete vizore të shkallëzuar. Udhëzon nxënësit që të kryejnë ato që kërkohen në punën 

përgatitore. Mësuesi, mbasi janë bërë matjet, formulon atë që është në kuadrat me shigjetë 

të kuqe. Nëpërmjet tabelës që ka përgatitur, tregon njësinë bazë si dhe nënfishat dhe 

shumëfishat e njësisë bazë. Sqaron se çfarë tregojnë shigjetat. Konkretisht: një shigjetë 

drejtohet nga km te hm dhe lart ka një 10 me një pikë para. 

Mësuesi sqaron se çdo kilometër duhet të shumëzohet me 10 për t’u kthyer në hektometër. 

Po kështu një shigjetë drejtohet nga hm te km dhe ka një dhjetë me shenjën e pjesëtimit. 

Mësuesi sqaron se çdo hektometër për t’u kthyer në kilometër duhet të pjesëtohet me 

dhjetë. Kështu dhe për të tjerat. 

Pastaj ngre njëri pas tjetrit nxënës në dërrasë për të zgjidhur ushtrimin 1. 

Mbasi zgjidh vetë shembullin 1, vë në punë klasën për të zgjidhur ushtrimin 2. 

Në fund jep rregullën e kalimit nga një njësi më e madhe në një njësi më të vogël dhe 

anasjellas, që është një përmbledhje e tabelës. 

Para se të jepen detyrat e shtëpisë bën disa sondazhe për kthimet nga një njësi në një tjetër. 

Mësuesi u tregon se në fund të faqes 59 janë disa njësi shumë të mëdha që përdoren 

për matjen e distancave ndërmjet yjeve dhe disa njësi shumë të vogla të cilat do t’i njohin 

në klasat më të larta. 

Për detyrë shtëpie jepet ushtrimi 1, dhe 4. Gjithashtu nxënësit të ndërtojnë në fletore 

të detyrave një tabelë si ajo e librit” Matja e gjatësisë. Njësitë.” Udhëzohen nxënësit që të 

punojnë ushtrimet e faqes 31 në librin e ushtrimeve. 

50 

2.2 Veprimet me njësitë e gjatësisë. 


- Të dijë të mbledhë dhe të zbresë njësitë e gjatësisë. 

- Të shumëzojë dhe të pjesëtojë masën e gjatësisë, të dhënë jo vetëm me një njësi, me 

një numër natyror.





- Problemore 

- Diskutimit 



Mësuesi u drejtohet nxënësve për të mbledhur masat e dy segmenteve me njësi të 

njëjtë gjatësie dhe me njësi të ndryshme gjatësie. Ato që jepen në punën përgatitore. Për 

rastin e parë nuk ka ndonjë vështirësi, kurse për të dytin, kur jepet përgjigjja e saktë, 

mësuesi pyet se si u veprua. Nëse nuk kryhet, mësuesi udhëzon që njësia më e madhe 

të kthehet në njësinë më të vogël dhe të përdoret rasti i parë. Këtu jep atë që është në 

kuadrat me shigjetë (në fillim të mësimit) 

Zgjidh shembullin1, 2 dhe 3. Për 2 dhe 3 thekson se mbledhorët vendosen në kolonë 

duke pasur parasysh që njësitë e njëjta të jenë njëra nën tjetrën. Te ushtrimi 2 veçon se 

ka raste kur vlera të njësive më të vogla mund t’i kthejmë në njësi më të mëdha. 

Konkretisht: 29 mm shkruhet 2 cm 9 mm, prandaj shuma del 13 m 48 cm 9 mm. 

Kurse te shembulli 3 duhet të theksohet: nëse një nga mbledhorët nuk ka një njësi 

matëse, vendin e saj e lëmë bosh. Tregon shembullin. 

Te shembulli 4 mësuesi thekson se vendosja bëhet si te mbledhja. Nëse vlera e një 

njësie te i zbritshmi është më e vogël se te zbritësi, marrim një njësi nga njësia më e 

madhe dhe ia shtojmë masës ekzistuese dhe pastaj kryejmë zbritjen. Konkretisht 4 cm 

është më e i vogël se 5 cm, prandaj nga 3 dm marrim 1 dm që është 10 cm kështu që na 

bëhen 14 cm (te dm na ngelën 2 dm). Tani mund të vazhdojmë veprimet. 

Pastaj vazhdojmë me shembullin 5. Te shembulli 6 mësuesi duhet të theksojë se veprimi 

kryhet si te pjesëtimi i dy numrave natyrorë, te herësi vendoset njësia e të pjesëtueshmit. 

Ndryshon puna te shembulli 7. Këtu ka dy mënyra për të kryer pjesëtimin: 

1. Duke kryer pjesëtimin për çdo njësi, gjë që vështirësohet kur pjesëtimi del me mbetje. 

2. I kthejmë në njësinë më të vogël dhe veprojmë si te shembulli 6. Pastaj herësin 

mund ta shprehim me njësitë që është dhënë i pjesëtueshmi. 

Më është dukur më e thjeshtë e dyta, prandaj kam përdorur këtë rast. Nëse ju e shikoni 

të arsyeshme dhe rastin e parë mund t’ua rekomandoni nxënësve. 

Mbas përpunimit të shembujve nxënësit vihen në punë me ushtrimet. 

Bëhet përforcimi duke formuluar ato që janë në kuadrat me shigjeta në mësim. 

U tërhiqet vëmendja se çfarë duhet të mbajnë mend. 

Detyrë shtëpie 1(b,c), 2(a,b), 3(b) dhe 4(a,b). Mësuesi udhëzon nxënësit për të punuar 

ushtrimet e faqes 32, te Libri i ushtrimeve. 

51

2.3 Perimetri i disa figurave 

Objektivat. Në fund të orës së mësimit nxënësi duhet të dijë: 

- Cili quhet perimetër i një figure? 

- Të dijë formulat që japin perimetrat e disa figurave. 

- Të zbatojë këto formula në ushtrime standard ose jo. 





Në punën përgatitore është mirë që figurat që përmenden të ndërtohen nga nxënësi, jo 

të jenë të ndërtuara. Mbasi nxënësit u janë përgjigjur pyetjeve, gjejnë dhe perimetrin e 

figurave, mësuesi jep përkufizimin e perimetrit të figurave. Për të lehtësuar punën, për 

disa figura do të jepen dhe formula. 

Në punën përgatitore u gjet gjatësia e telit për të rrethuar tokën në formë katrori. Nëse 

nxënësit e gjetën këtë gjatësi duke mbledhur të katër brinjët, mësuesi pyet: Ka mundësi 

tjetër për të gjetur këtë gjatësi? Nëse përgjigjja është jo e saktë mësuesi thekson se 

gjatësia 400 m u gjet duke mbledhur katër 100 m, pra 100 m + 100m + 100 m + 100 m. 

Kjo shumë mund të shkruhet ndryshe? 

Mendoj se nga klasa do të jepet përgjigjja 4 . 100 m. Mësuesi thekson se kemi marrë 4- 

fish të brinjës së katrorit. Përsëri duhet të duket puna e mësuesit duke e përgjithësuar 

këtë përfundim. Nëse brinja e katrorit është a, nga përkufizimi i perimetrave të figurave 

kemi: P(perimetri) = a + a + a + a = 4a. 

Tani jep përkufizimin që është në tekst. Kurse për të nxjerrë perimetrin e paralelogramit dhe 

të trekëndëshit mendoj se duhen aktivizuar nxënësit. Shembujt punohen nga mësuesi për të 

konkretizuar përfundimet për gjetjen e perimetrave. Në libër është ushtrimi 1. Ngrihet një 

nxënës në dërrasë i cili ndërton afërsisht figurën e ushtrimit dhe gjen perimetrin me anë të 

matjeve. 

Nëse ka kohë, ngrihen dhe dy nxënës të tjerë duke ndërtuar përkatësisht një 

drejtkëndësh dhe një trekëndësh për t’u gjetur perimetrat. 

Përforcimi bëhet duke drejtuar pyetjet: 

1. Cili quhet perimetër i figurave? 

2. Si e gjejmë perimetrin e katrorit? 

3. Si e gjejmë perimetrin e paralelogramit? 

4. Si e gjejmë perimetrin e trekëndëshit barabrinjës? 


- Problemore 

- Diskutimit 


52 

Detyra shtëpie. ushtrimet 2, 3 dhe 4. 

Mësuesi udhëzon nxënësit që të punojnë ushtrimet e faqes 32 te Libri i ushtrimeve.

2.4 Leximi i hartave 

Objektivat.Në fund të orës së mësimit nxënësi: 

- Të njohë dhe të lexojë shkallët e hartave. 

- Të gjejë largësinë në terren kur di largësinë në hartë midis dy objekteve dhe anasjellas. 




- Harta e Shqipërisë 

- Vizore 


- Problemore 

- Praktikë 



Qëllimi i kësaj teme nuk ka të bëjë me hartat, por me shkallën e tyre. Nuk ka punë 

përgatitore. Por mësuesi me anë të shembujve, si masa e sipërfaqes së Shqipërisë 

është 28000 m 2 apo distanca Tiranë-Durrës është etj. dhe megjithatë ato paraqiten në 

hartë. Kjo tregon se kemi kryer një zvogëlim të tyre. 

Në një cep të hartës shënohet, p.sh.: 

1 :100000. Kjo quhet shkallë zvogëlimi. Mësuesi duhet të sqarojë kuptimin e saj. 

Kujdes! Njësia që përdoret për 1 duhet të përdoret dhe për 100000. P.sh.: 1 m dhe 100000 

m ose 1 cm dhe 100000 cm. Për të kuptuar shkallën e zvogëlimit mësuesi zgjidh shembujt 

1 dhe 2. Duhet të sqarohet dhe shënimi: Kujdes. Kam mendimin që mësuesi, pasi ka 

sqaruar në klasë shkallën e zvogëlimit, duhet të dalë në terren duke e ndarë klasën në 

dy grupe, një grup të punojë me ushtrimin 1 dhe tjetri me ushtrimin 2. 

Mbasi janë kryer matjet e nevojshme secili grup shkëmben matjet e bëra dhe zgjidh në 

shtëpi atë që kërkojnë ushtrimet 1 dhe 2. Gjithashtu jepet për detyrë shtëpie dhe ushtrimi 3. 

2.5. Ushtrime 


- Të zbatojë me saktësi kthimin e njësive. 

- Të zbatojë në problema të thjeshta shkallën e zvogëlimit. 





- Diskutimit 



Ushtrimet 1dhe 2 zgjidhen frontalisht në klasë. 

Gjysmën e klasës e vë në punë me 4(a) dhe gjysmën tjetër me 5(b). 

Në dërrasë ngre nga një përfaqësues nga secili grup. 

53

Mësuesi duhet që të kontrollojë punën që bëjnë nxënësit e tjerë, në përfundim 

kontrollohet puna e tyre me atë që është punuar në dërrasë, ku mund të ndodhë që dhe 

ai që ka punuar të ketë gabuar. 

Në të njëjtën mënyrë veprohet dhe me ushtrimet 6(c), 7(a) dhe 8(b). 

Mësuesi punon vetë ushtrimin 11(b). 

Detyra shtëpie jepen ushtrimet 4(b), 5(a), 6(a,b), 7(b) dhe 8(a). Me dëshirë 9 dhe 10. 

Mësuesi udhëzon nxënësit që të punojnë ushtrimet e faqes 34 te Libri i ushtrimeve. 

2.6 Sipërfaqja dhe syprina 


- Të bëjë dallimin ndërmjet syprinës dhe sipërfaqes. 

- Të dijë njësitë që shërbejnë për matjen e sipërfaqeve. 

- Të bëjë kalimin nga një njësi në tjetrën. 




- Problemore 


- Diskutimit 


-Tabelë me njësitë që është dhe në tekst. 

- Tabelë me drejtkëndësh të ndarë në katrorë me brinjë një centimetër. 


Në punën përgatitore mësuesi duhet të arrijë në atë që mbas përkufizimeve të sipërfaqes 

nxënësi të dallojë këto dy koncepte të ndryshme. Për këtë është tërhequr dhe vëmendja 

nëpërmjet shënimit KUJDES. Për punën përgatitore mësuesi duhet të ketë përgatitur një 

tabelë ku të ketë ndërtuar një drejtkëndësh të ndarë në katrorë me brinjë një centimetër. 

Me anë të saj do të sqarojë çdo të thotë të matësh një sipërfaqe. 

Pastaj jep kuptimin e cm 2 për të cilin ka në dorë dhe një katror me brinjë një cm. 

Po kështu duhet të ketë përgatitur një tabelë si ajo në libër ”Matja e sipërfaqeve. Njësitë”. 

Ashtu si u bë sqarimi te tabela e matjeve të gjatësive, të veprohet dhe në këtë rast. 

Mësuesi zhvillon shembullin 1 dhe pastaj kërkon nga klasa të punojë ushtrimin 1 dhe 2. 

Për pjesën e dytë të mësimit përveç atyre që janë shkruar, mësuesi u kujton nxënësve 

semeqenëse nuk është dhënë se 1 ha = 10000 m 2 nxënësit e dinë nga klasat 

paraardhëse). Pastaj klasa punon ushtrimin 2. 

Në fund kërkon nga nxënësit për të dhënë lidhjen ndërmjet njësive matëse të sipërfaqes. 

Detyra shtëpie jepen ushtrimet 1(tabela e parë), 2 dhe 3 faqe 67. Mësuesi udhëzon 

nxënësit për të punuar me ushtrimet e faqes 34 te Libri i ushtrimeve. 

54

2.7. Veprimet me njësitë e matjes së sipërfaqeve 


- Të dijë të mbledhë dhe zbresë njësitë e sipërfaqes. 

- Të shumëzojë dhe të pjesëtojë masën e sipërfaqes, të dhënë jo vetëm me një njësi, 

me një numër natyror. 





Në punën përgatitore duhet të dalë qartë se mund të gjejmë shumën e syprinave të dy 

figurave, kur njësia matëse është e njëjtë. Në rastin kur njësia matëse është e ndryshme, 

duhet që të shprehen në të njëjtën njësi. Për të kryer mbledhjen ose zbritjen në kolonë, 

mësuesi duhet të sqarojë që njësitë e njëjta duhet të vendosen njëra nën tjetrën. Këtë 

sqarim e bën gjatë zgjidhjes së shembullit 1 dhe 2. 

Te shembulli 3 e veçantë është se mbledhori i parë nuk ka cm 2 , këtu mësuesi gjatë 

vendosjes në kolonë, të sqarojë që vendi i saj duhet lënë bosh dhe kur të vendosë 

mbledhorin e dytë ta ketë parasysh këtë. 

Te ky shembull vëmë re se në shumë na del 109 mm 2 e cila ka 1 cm 2 dhe 9 mm 2 për 

këtë 1 cm 2 ia shtojmë 4 cm 2 që është në shumë dhe përfundimisht kemi 30 m 2 5 cm 2 9 

mm 2 . Është sqaruar në libër, por e përmendëm që mësuesi të këmbëngulë gjatë zgjidhjes. 

Te shembulli 4 e veçanta është se nga 24 cm 2 nuk mund të zbriten 25 cm 2 , prandaj nga 

njësia më e madhe më e afërt marrim një njësi, të cilën e kthejmë në njësinë më të vogël 

dhe ia shtojmë asaj që është në ushtrim dhe vazhdojmë veprimet. Pra sqaroje mirë atë 

që është në kuadratin me shigjetë pranë shembullit 4. 

Për shumëzimin që jepet me anën e shembullit 5 veprimi është i kuptueshëm. 

Për ushtrimet e tipit 3 dhe 5 mësuesi duhet të sqarojë dhe njëherë: nëse gjatë veprimit 

të mbledhjes dhe shumëzimit dalin njësi që mund të shprehen me ndihmën e njësive më 

të mëdha, ky veprim duhet bërë patjetër (siç u veprua te 3). 

Për pjesëtimin paraqiten dy raste: 

a) kur pjesëtuesi jepet me ndihmën e një njësie, 

b) kur pjesëtuesi jepet me disa njësi. 


- Problemore 

- Diskutimit 


Për të kryer pjesëtimin në këto dy raste bëhet sqarimi në kuadratin me shigjetë pranë 

shembullit 7. Duke zgjidhur shembujt 6 dhe 7 mësuesi bën të gjitha sqarimet e nevojshme. 

Prandaj të gjithë shembujt duhet të zgjidhen nga mësuesi. 

55

Sqarim: Shembulli 7 mund të zgjidhet dhe në këtë mënyrë: 

24 m 2 32 cm 2 1 mm 2 : 5 = 4 m 2 8006 cm 2 40,2 mm 2 

- 20 

4 m 2 = 40000 cm 2 

40032 cm 2 

- 40 

00 

- 00 

03 

- 00 

32 

- 30 

2 cm 2 = 200 mm 2 

201 mm 2 

- 20 

01 

- 00 

10 

- 10 

0 

Kam mendimin që është më e vështirë për t’u kuptuar. Prandaj të mos u rekomandohet, 

pra dhe të mos punohet në klasë. Mendoj që nxënësve të mirë t’u thuhet që ushtrimin 

4(b), që do të jepet detyrë shtëpie, ta zgjidhin duke mos i kthyer në njësi më të vogël, por 

me njësitë e dhëna. Mbasi është zgjidhur dhe shembulli 7 si në tekst, klasa punon në 

heshtje ushtrimin 1. Mësuesi kontrollon punën e pavarur të nxënësve. Secili kontrollon 

saktësinë e zgjidhjes duke u ballafaquar me atë që punohet në dërrasë. 

Detyrë shtëpie ushtrimet: 1(c), 2(b), 3(a, b), 4(b) dhe 5(b) faqe 70. 

Mësuesi udhëzon nxënësit që të zgjidhin dhe ushtrimet e faqes 35 në librin e ushtrimeve. 

2.8 Syprina e trekëndëshit dhe paralelogramit 


- Të mbajë mend formulat për llogaritjen e syprinës së drejtkëndëshit, paralelogramit, 

katrorit, trekëndëshit çfarëdo dhe kënddrejtë. 

- Të zbatojë drejt këto formula në problema të thjeshta. 




- Tabelë me figura dhe me formulat që ka libri. 


- Problemore 

- Diskutimit 


56 


Qëllimi i punës përgatitore është që nxënësit të bëjnë dallimin e dy koncepteve sipërfaqe 

dhe syprinë. Gjithashtu të rikujtojnë dhe njësitë matëse. 

Nga mësuesi të jetë e qartë se nuk do të nxirren formulat për gjetjen e syprinave të 

trekëndëshit dhe paralelogramit, ato do të jepen të gatshme.

Por detyrë e mësuesit është që nëpërmjet figurave nxënësit të dallojnë bazën dhe 

lartësinë. Për efekt kohe mësuesi duhet të ketë të gatshme një tabelë ku të ketë ndërtuar 

figurat me gjithë formulat siç janë në libër. 

Mësuesi zgjidh shembullin 1 dhe pastaj ngre në dërrasë një nxënës për të punuar 

ushtrimin 1. Nxënësit e tjerë punojnë në mënyrë të pavarur. 

Punon shembullin 2 dhe pastaj ngre përsëri një nxënës tjetër për të punuar ushtrimin 2. 

Ky shembull ka të veçantë se gjatësia e bazës dhe lartësisë së trekëndëshit kanë njësi të 

ndryshme, prandaj duhet të kthehen në njësi të njëjta, pastaj të zbatohet formula. Kjo 

duhet të theksohet nga mësuesi. 

Kështu vepron dhe për shembullin 3 dhe ushtrimin 3. 

Mundet që mësuesi të punojë të tre shembujt njëri pas tjetrit dhe pastaj të ngrejë nxënës 

të veçantë për të punuar ushtrimet. 

Pa tjetër mësuesi duhet të sqarojë dhe shënimin. Nëse ka kohë nxënësit të punojnë në 

mënyrë të pavarur ushtrimin 3 dhe 4 që janë tek ushtrimet e detyrave. Për ushtrimin 3 

matjet t’i bëjë një nxënës dhe t’ia japë klasës. 

Në fund mësuesi kërkon nga nxënësit që të thonë formulat për gjetjen e syprinave të 

trekëndëshit çfarëdo, trekëndëshit kënddrejtë, drejtkëndëshit, paralelogramit dhe katrorit. 

Detyrë shtëpie ushtrimet 1, 2, 5, 6 dhe 7. 

Mësuesi udhëzon nxënësit që të punojnë me ushtrimet e faqes 36 te Libri i ushtrimeve. 

2.9 Problema 


- Të zbatojë formulat për gjetjen e syprinave të figurave plane në situata jo standarde. 





- Problemore 

- Diskutimit 



Mësuesi punon problemën 2. Pavarësisht se figura në këtë rast nuk ndihmon në zgjidhjen 

e problemës mendoj se duhet ndërtuar, sepse nëpërmjet të dhënave nxënësi të mund të 

përfytyrojë se si do të jetë figura sipas të dhënave të problemës. 

Plani i zgjidhjes. 

1 Gjejmë syprinën e drejtkëndëshit me brinjë 10 cm dhe 8 cm. 

2. Gjejmë sa është 20% e syprinës së drejtkëndëshit të dhënë. 

3. Gjejmë syprinën e drejtkëndëshit të ri. 

Zgjidhje 1. Syprina e drejtkëndëshit jepet me formulën S = a . b. Atëherë S = 10.8 = 80 cm 2 

2. 20% e S = 20% e 80 = = = 16 cm 2 

3. Nëse shënojmë me S 1 

syprinën e drejtkëndëshit të dytë atëherë: 

S 1 

= S + 20% e S = 80 + 16 = 96 cm 2 

57

Përgjigje. Syprina e drejtkëndëshit të kërkuar është 96 cm 2 . 

Gjithashtu mësuesi punon dhe problemën 6. Edhe këtu duhet ndërtuar figura. Mendoj 

që në gjeometri është mirë që të ndërtohet figura. Kujdes, jo me dorë të lirë, por duhet 

përdorur vizorja, kompasi dhe raportori, sipas rastit. 

Problema 6 

Plani i zgjidhjes. 

1. Gjejmë syprinën e trekëndëshit. 

2. Gjejmë syprinën e katrorit. 

3. Gjejmë raportin e syprinës së trekëndëshit me të katrorit. 

Zgjidhje. 1. Shënojmë me S syprinën e trekëndëshit. 

Dihet që syprina e trekëndëshit jepet me formulën 

S = atëherë : S = = 5 cm 2 

2. Shënojmë me S 1 

syprinën e katrorit. Dihet që syprina e katrorit jepet me formulën 

S 1 

= a 2 atëherë : S 1 

= 5 2 = 25 

3. Përgjigjja. 

Përgjigja: Raporti i syprinës së trekëndëshit me syprinën e katrorit është . 

Mbasi ka sqaruar mirë dy problemat duke këmbëngulur sidomos në ndërtimin e planit 

të zgjidhjes, mësuesi vë në punë klasën me problemën 1. Duhet të kërkojë nga të gjithë 

planin e zgjidhjes, pastaj të kalojë në zgjidhjen e problemës. 

Detyrë shtëpie. Problemat 3, 4 dhe 5. Nxënësve të mirë u jepet dhe problema 7. Për 

këtë problemë jepet si udhëzim për të parë pikën 5, faqe 70, para shembullit 1. 

Mësuesi jep udhëzime për të punuar me ushtrimet e faqes 36 te Libri i ushtrimeve. 

Nëse mësuesi e shikon të arsyeshme, para testit mund të zhvillojë përsëritje me ushtrime 

të ngjashme me ato të testit. Ushtrimet mund t’i marrë nga teksti i ushtrimeve. 

2.10 Test kontrolli. 

Vlerësimi i ushtrimeve. 

Ushtrimi 1. Përgjigja e saktë vlerësohet me një pikë. 

Ushtrimi 2. Çdo përgjigje e saktë vlerësohet me një pikë. 

Ushtrimi 3. Çdo plotësim i saktë i një kuadrati të tabelës vlerësohet me 0,5 pikë. 

(gjithsej janë 12 kuadrate për t’u plotësuar). 





58

Ushtrimi 8. Nëse bën planin e zgjidhjes merr 0,5 pikë. 

Nëse gjen 25% e 48 merr dhe 0,5 pikë të tjera. 

Nëse gjen syprinën e katrorit merr dhe një 1 pikë tjetër. 

Nëse gjen brinjën ë katrorit merr dhe një pikë tjetër. 

Ashtu siç kemi thënë dhe në testet e tjera që vlerësimi i çdo ushtrimi dhe tabela e 

konvertimit të pikëve në nota të bëhet shumë rigorozisht. 

2.11 Vëllimi i trupave 


- Të dijë njësitë matëse të vëllimeve. 

- Të dijë lidhjet ndërmjet njësive matëse të vëllimit. 




- Dy tabelat që janë në libër për njësitë matëse 


- Problemore 

- Diskutimit 



Në punën përgatitore të rikujtohen ato që janë zhvilluar në klasat paraardhëse. Nxënësit 

të rikujtojmë se çfarë quhet vëllim i trupit. Të rikujtohen njësitë e matjes dhe çfarë quhet 

njësi matje. Mësuesi me kujdes duhet të nxjerrë se çfarë do të thotë të gjesh vëllimin e një 

trupi. 

Mësuesi duhet që nëpërmjet tabelës së njësive matëse të sqarojë se si kalohet nga një 

njësi më e madhe në një njësi më të vogël dhe anasjellas. 

Në këtë sqarim të dalë qartë se, kur kalojmë nga njësia më e madhe te njësia më e vogël, 

numri rritet, kurse, kur kalohet nga njësia më e vogël te njësia më e madhe, numri zvogëlohet. 

Zhvillon shembujt 1 dhe 2. Vë në punë klasën për të zgjidhur ushtrimet 1 dhe 2. Duhet 

kontrolluar puna e çdo nxënësi në fletoren e tij. 

Por duke pasur parasysh se për matjen e vëllimit përdoren dhe disa njësi të tjera. 

Mësuesi nëpërmjet tabelës së dytë duhet të sqarojë këto njësi dhe si kalohet nga njëra te 

tjetra. Duhet të këmbëngulë në lidhjen e litrit me dm 3 . 

Mësuesi zgjidh shembullin 1 dhe vë në punë klasën për të zgjidhur ushtrimet 1 dhe 2. 

Bën disa sondazhe për lidhjen ndërmjet njësive matëse. Nëse ka kohë zhvillon tabelën 

e parë të ushtrimi1 dhe ushtrimin 2. 

Detyrë shtëpie. 1( tabela e dytë), 3 dhe 4. 

Mësuesi jep udhëzime për të punuar me ushtrimet e faqes 37 te Libri i ushtrimeve. 

59

2.12 Veprimet me njësitë e vëllimit 


- Të dijë të mbledhë dhe të zbresë njësitë e vëllimit. 

- Të shumëzojë dhe të pjesëtojë masën e vëllimit, të dhënë jo vetëm me një njësi, me 

një numër natyror. 





- Problemore 

- Diskutimit 



Ashtu si në të gjitha punët përgatitore për tema të ngjashme, mësuesi duhet të nxjerrë 

përgjigjen nga klasa se si do të veprohet për të mbledhur njësi të ndryshme vëllimi. 

Mbasi e ka marrë nga klasa përgjigjen, mësuesi jep në mënyrë të përmbledhur pikërisht 

atë që është në kuadrat me shigjetë te puna përgatitore. 

Mësuesi zgjidh shembullin 1 dhe 2. Te shembulli 2 duhet të sqarojë nëse një njësi 

mund të shprehet me numra të plotë me një njësi më të madhe, kjo duhet bërë. 

Konkretisht 14 cl shkruhet 1 dl 4 cl prandaj: 

17 l 11dl 14 cl = 17 l 12 dl 4 cl. Por 12 dl shkruhet 1 l 2 dl kështu që përfundimisht 

17 l 11 dl 14 cl = 18 l 2 dl 4 cl. 

Kalimet duhet të sqarohen hap pas hapi. Kur zgjidh shembullin 3, mësuesi duhet të 

sqarojë se mbledhorët (apo më poshtë zbritësit), kur i vendosim në kolonë, nëse një njësi 

mungon, vendi duhet lënë bosh dhe njësitë e njëjta duhet të jenë njëra nën tjetrën. Ndan 

klasën në tri grupe duke i dhënë secilit grup një nga ushtrimet (1, 2, 3). Kontrollon punën 

e secilit grup. 

Mbas punës së klasës zhvillon shembullin 4. E veçanta e këtij ushtrimi është se nga 6 

cl nuk mund të zbresim 7 cl, prandaj duhet marr 1 dl, të cilën e kthejmë në cl, kështu na 

bëhen 16 cl. Tani mund të zbresim, por na mbeten 3dl nga të cilat nuk mund të zbresim 

4 dl, kështu lind nevoja për të marrë 1 l dhe na bëhen 13 dl, nga të cilat mund të zbresim 

4 dl. Këto duhen sqaruar patjetër. Janë të sqaruara dhe në kuadratin me shigjetë. E 

dhashë përsëri për të treguar se duhet bërë pa tjetër dhe me shumë kujdes. 

Zgjidh shembullin 5 dhe 6. Kujdes duhet të bëni te shembulli 6 tip, për të cilin kemi 

diskutuar dhe në rastet e njësive të tjera. KUJDES! Ky shembull ka gabim njësitë. 

Duhet kështu: 25 l 7 dl. Te zgjidhja 25 l 7 dl = 257 dl. Te pjesëtimi mbas barazimit 128,5 

dl= 12 l 8 dl 5 cl KORIGJOJENI! 

Përsëri vë në punë grupet me ushtrimet 4, 5 dhe 6. Për secilin ushtrim ngre nga një 

përfaqësues dhe të tjerët kontrollojnë atë që kanë punuar. Nëse ka kohë zhvillon dhe 

ushtrime që janë në fund të mësimit (jo ato që planifikohen për detyrë shtëpie). 

Kujdes te ushtrimet nuk janë shënuar 2 dhe 3. 

Detyrë shtëpie jepen ushtrimet: 1(b, c), 2(a, c) dhe 3(a,b). 

Mësuesi udhëzon nxënësit për të punuar ushtrimet e faqes 38 te Libri i ushtrimeve. 

60



- Të zgjidhë pa gabime veprimet me njësitë e vëllimit (mbledhje, zbritje, shumëzim dhe 

pjesëtim). 





Mendoj që nga mësuesi të zgjidhet një për çdo ushtrim dhe pikërisht ato ushtrime për 

të cilat u diskutua më tepër në mësimin e kaluar. 

Ushtrimi 1(c të dytën dhe të tretën). 

5 dl 7 cl 

+ 2 dl 4 cl 

7 dl 11 cl = 8 dl 1 cl, sepse 11 cl = 1 dl 1 cl kjo duhet sqaruar. 

10 l 4 ml 

+ 2 dl 7cl__ 

10 l 2 dl 7cl 4ml 

Pra këtu paraqitet një rast që te mbledhori i parë mungojnë dy njësi të njëpasnjëshme, 

vendi i tyre lihet bosh. Mbledhori i dytë ka dy njësitë që s’i ka i pari dhe nuk ka dy njësitë 

e të parit. Kujdes dhe këtu duhet bërë sqarimi nga mësuesi. 

Ushtrimi 2 (c të dytën). 

25 l 4dl 4cl 

- 18 l 5dl 7cl meqenëse nga 4 cl nuk mund të zbresim 7cl marrim një dl 

6 l 8dl 7cl dhe na bëhen 14 cl atëherë 14 cl – 7 cl = 7 cl. 

Na mbetën 3 dl nga të cilat nuk mund të zbresim 5 dl, prandaj marrim 1 l, na bëhen 13 

dl atëherë 13 dl – 5 dl = 8 dl. 

Kështu duhen sqaruar gjatë zgjidhjes së ushtrimit. 

Ushtrimi 3(d). 

2 l 5 dl 2 cl 4 ml 

. 

4 

8 l 20 dl 8 cl 16 ml 

Nuk do ta lëmë në këtë trajtë, sepse 16 ml = 1 cl 6 ml dhe 20 dl = 2 l. 

Përfundimisht 

8 l 20 dl 8 cl 16 ml = 10 l 9 cl 6 ml. Përsëri këto kalime duhet të sqarohen. 

Ushtrimi 4(c). 

26 l 4cl : 4 mund të bëhet në dy mënyra. 


- Problemore 

- Diskutimit 


61

a) Bëhet pjesëtimi duke mos i kthyer në njësi më të vogla: 

26 l 4 cl : 4 = 6 l 51 cl = 6 l 5 dl 1 cl 

- 24 

2 l = 200cl 

204cl 

- 20 

- =4 

- 4 

= 

b) Kthehet në një njësi të vetme 26 l =( 26 . 100) cl = 2600 cl, 

atëherë 26 l 4 cl = 2604 cl 

2604cl : 4 = 651 cl = 6 l 5 dl 1 cl 

- 24 

20 

- 20 

04 

- 4 

0 

Mendoj që mësuesi duhet ta lërë në dëshirën e nxënësve për të zgjidhur këtë tip 

ushtrimesh. 

Pastaj në varësi të kohës mësuesi zhvillon ushtrimet 1(a të parën dhe të dytën), 2(a të 

parën dhe të dytën), 3(a, b) dhe 4( a). Mësuesi duhet të jetë shumë aktiv gjatë punës së 

pavarur të nxënësve. Në dërrasë mendoj të punohen ato ushtrime të cilat kanë nevojë për 

sqarime. 

Detyrë shtëpie jepen ushtrimet:1(b), 2(b), 3(c) dhe 4(b, d). 

Mësuesi udhëzon nxënësit për të punuar ushtrimet e faqes 39 te libri i ushtrimeve. 

2.14 Masa dhe njësitë 


- Të njohë njësitë matëse të masës. 

- Të dijë lidhjet ndërmjet këtyre njësive. 




- Tabelan e njësive si në libër 


- Problemore 

- Diskutimit 


62 

Zhvillimi i mësimit: 

Në punën përgatitore mësuesi kërkon nga nxënësit të tregojnë se me çfarë njësi matet 

masa e trupave. Mësuesi duhet të sqarojë se masa dhe pesha nuk është e njëjta gjë, por 

nuk duhet ta bëjë sqarimin këtu se i takon fizikës ky problem.

Mësuesi duhet të ketë përgatitur dhe një tabelë si në libër, mendoj që në këtë tabelë të 

vendosen dhe shigjeta të drejtuara nga e djathta në të majtë. (shih tabelën në mësimin 

2.11). Duke pasur tabelën, mësuesi e ka më të lehtë për të sqaruar se si kalohet nga 

njësitë më të mëdha në më të voglat dhe anasjellas. 

Mbas saj mësuesi zhvillon shembujt 1 dhe 2, të cilat do të ndihmojnë nxënësit për të 

zgjidhur ushtrimet 1 dhe 2. Këto ushtrime duhet të zgjidhen nga nxënësit në mënyrë të pavarur. 

Meqenëse janë zbatim i drejtpërdrejtë i teorisë mendoj që të mos punohen nga nxënësit në 

dërrasë. 

Më pas kalohet në shembujt 3, 4, 5, 6 dhe 7. Para se t’i zgjidhë mësuesi duhet të 

sqarojë atë që është vendosur në kuadrat me shigjetë të kuqe, duke pasur parasysh ato 

që janë thënë më parë. Kurse shembulli 8 duhet punuar me shumë kujdes duke pasur 

parasysh kthimin e njësive në njëra tjetrën. Nëse e shikon të arsyeshme, këtë ushtrim 

mësuesi mund ta zgjidhë pa kthim të njësive. 

Konkretisht: 

12 kg 3 hg 5 dag : 4 = 3 kg 0 hg 8 dag 7,5 g = 3 kg 8 dag 7,5 g 

- 12 

0 3 hg = 30 dag 

35 dag 

32 

3 dag = 30 g 

28 

20 

- 20 

Mendimi im është që kjo mënyrë të përdoret kur i pjesëtueshmi ka dy njësi matëse dhe 

të jenë njëra pas tjetrës. Prandaj mendoj që ky tip ushtrimi të zgjidhet sipas librit. 

Pastaj mësuesi vë në punë nxënësit me ushtrimet 5, 6dhe 7. 

Në fund kërkon nga nxënësit disa kthime të disa njësive në njësi të tjera. 

Detyrë shtëpie. Ushtrimi 1 tabela e parë dhe 2(a) tek 2.15 faqe 80 




- Të kryejë veprimet me njësitë e masës pa gabime. 





- Diskutimit 


63


Mendoj që mësuesi të zgjidhë ushtrimet që duan sqarime, të cilat nxënësit mund të 

mos i kenë kuptuar në mësimin e kaluar. 

Kështu mësuesi të zgjidhë ushtrimet: 2(c të parën), 3(c të dytën) 4(c) dhe 5(b). 

Po zgjidhim dy nga këto ushtrime për të treguar si do të vepronim. 

Ushtrimi 3(c të dytën) 

2 t 4 kv 5 kg 

- 1 t 4 kv 6 kg 

0 t 9 kv 99 kg 

Meqenëse nga 5 nuk mund të zbritet 6 marrim nga 4 kv 1 kv, kështu që na bëhen 105 kg, 

atëherë 105 kg – 6 kg = 99 kg. Te kv na ngelën 3. Po nga 3 kv nuk mund të zbresim 4 kv, 

prandaj nga 2 t marrim 1 t që janë 10 kv, kështu na bëhen 13 kv, atëherë 13 kv – 4 kv = 9 

kv. 

Ushtrimi 5(b) Këtë ushtrim do ta zgjidhim në të dy mënyrat: 

Mënyra e parë 

4 kg 3 hg : 2 = 2 kg 1 hg 5 dg 

- 4 

= 3 hg 

- 2 

1 hg = 10 dg 

- 10 

0 

Mënyra e dytë. 4 kg = 40 hg, pra 4 kg 3 hg = 43 hg. Atëherë: 

43 hg : 2 = 21,5hg = 2 kg 1 hg 5dg 

- 4 

03 

2 

10 

Përsëri mendimi im është mënyra e dytë në kthim në një njësi të vetme të pjesëtuesit, 

pra ashtu si është e zgjidhur dhe në libër. 

Ushtrimet që do të punohen në klasë: 2(c të dytën), 3(a), 4(b) dhe 5(a). Mësuesi duhet 

të kontrollojë punën individuale të çdo nxënësi. Në ndonjë ushtrim që e shikon të arsyeshëm 

mund të ngrejë nxënës në dërrasë për të punuar. 

Detyrë shtëpie. 1(tabela e dytë) , 2(b), 3(b), 4(a) dhe 5(c). 

Mësuesi udhëzon nxënësit për të punuar ushtrimet e faqes 40 te libri i ushtrimeve. 

64

2.16. Koha dhe njësitë matëse 


- Të njohë njësitë matëse të kohës. 

- Të njohë lidhjet ndërmjet njësive matëse. 

- Të kryejë drejt veprimet me njësitë e kohës 




- Tabelë me njësitë e matjes së kohës si në tekst. 


- Problemore 

- Diskutimit 



. 

Në këtë temë nuk ka punë përgatitore, por mësuesi duhet të sqarojë në fillim atë që 

është në kuadrat me shigjetë. Pas sqarimit se me kohë nuk do të nënkuptojmë 

pafundësinë, por zgjatje të veprimtarive të ndryshme,m mund të pyesë nxënësit se çfarë 

njësi dinë për matjen e kohës. 

Më pas tregon se njësia bazë është sekonda, jep disa lidhje të njësive të ndryshme që 

janë dhe në libër. Zgjedh me radhë të nëntë shembujt duke sqaruar rastet e njëjta që janë 

ndeshur dhe te njësitë e tjera, si: kur në mbledhje ose zbritje te një prej faktorëve mungon 

ndonjë prej njësive (si te shembulli 5), kur nga një njësi e zbritësit nuk mund të zbresim (si 

te shembulli 7), kur në mbledhje apo shumëzim një njësi mund të shprehet me anë të 

numrave natyrorë me ndihmën e njësive të tjera (si te shembulli 4 dhe 8). 

Mbasi mbaron shembujt i drejton frontalisht klasës pyetjet që janë në tekst. Këto pyetje 

mund t’i drejtojë dhe në fillim të mësimit, sepse duhet të dihen nga nxënësit. 

Mbas tyre mësuesi vë në punë klasën me shtatë ushtrimet. Për çdo ushtrim duhet të 

ngrihet në dërrasë një nxënës. 

Kujdes! Ushtrimi 4 duhet 7 h 54 s – 3 h 45 s 

Për çdo ushtrim që zgjidhet në dërrasë, mësuesi aktivizon nxënës të bëjnë sqarimet e 

nevojshme. 

Mbasi kontrollon mbajtjen mend të njësive dhe lidhjen ndërmjet tyre, u lë si detyrë 

mbajtjen mend të tyre. 

Detyrë shtëpie. Nga mësimi 2.17, faqe 82, jep ushtrimet 1 dhe 2 ose ushtrime nga 

libri i ushtrimeve, faqe 41. 

2.17 Ushtrime 


- Të zbatojë me rigorozitet rregullat e veprimeve me njësitë e kohës 





- Problemore 

- Diskutimit 


65


Mendoj që mësuesi të zgjidhë ushtrimin 3, sepse do të ndihmojë nxënësit si të veprojnë 

me këto lloje ushtrimesh (me gjithë se janë zgjidhur dhe më parë). 

Zgjidhja fillon kështu: 

a) Gjatësia nuk matet me kilogram. Pra a nuk është e vërtetë. 

b) Vëllimi nuk matet me cm. Pra dhe alternativa e dytë nuk është e vërtetë. 

c) Syprina nuk matet me cm 3 . Pra dhe alternatriva e tretë nuk është e vërtetë. 

d) Po, dita ka 24 h. 

Rrethohet alternativa d) 

Kujdes! Këto arsyetime në këto tipe ushtrimesh, nxënësi nuk është i detyruar t’i shënojë, 

ai bën vetëm rrethimin. 

Pastaj mësuesi zgjidh ushtrimet 4 (c të dytën) dhe 6 (b). 

Po zgjidhim 6 (b). 

2 h 28 min 32 s . 2. Kryejmë shumëzimin me kolonë. 

2 h 28 min 32 s 

2 

4 h 56 min 64 s 

Meqenëse 64 s mund të shkruhet 1 min 4 s (sepse 60 s japin 1 min), atëherë kemi: 

4h 56 min 64 s = 4 h 57 min 4 s. 

Mbasi ka zgjidhur dy ushtrime mësuesi ngre nxënës në dërrasë për të zgjidhur ushtrimet: 

4 (c të parën), 5 (c ), 6 (a) dhe 7 (b). Ashtu si dhe në rastet e tjera mësuesi kontrollon 

punën në klasë dhe udhëzon që ta kontrollojnë me atë që kryhet në dërrasë dhe, nëse 

konstatojnë se është punuar gabim të bëjnë korrigjimin e nevojshëm. 

Detyrë shtëpie jepen ushtrimet: 4 (a,b), 5 (b), 6 (c) dhe 7 (a,c) faqe 82. 


66 

2.18 Njësitë matëse të këndeve 


- Të njohë njësitë matëse të këndeve. 

- Të mbajë mend lidhjen ndërmjet njësive matëse. 





- Problemore 

- Diskutimit 



Në punën përgatitore mësuesi duhet të ngrejë nxënës për të ndërtuar kënde të ndryshme. 

Nuk rekomandohet të kërkojë ose të japë vetë mësuesi përkufizimin e këndit, sepse do 

të jepet në kreun tjetër. Në pyetjen se çfarë dini për këndet mësuesi duhet të presë që 

nxënësit të thonë llojet: kënde të ngushtë, të drejtë dhe të gjerë. 

Cilat janë elementet që përcaktojnë këndin? dy brinjët dhe kulmi i tij. 

Më tepër mendoj se është e panevojshme, sepse do të thuhen më vonë. Gjithashtu 

duhet të japin dhe njësitë matëse të këndeve.

Nxënësit duhet të përvetësojnë se njësia bazë është këndi një gradë dhe se një gradë 

është 

pjesë të rrethit. Mirë është që mësuesi të shpjegojë se çfarë kuptojmë me 

pjesë e rrethit. 

Rrethi ndahet në 360 pjesë të barabarta; një pjesë prej tyre përfaqëson një gradë. 

Nëse nga nxënësit lind pyetja se si bëhet kjo ndarje mësuesi thekson se kjo do të jepet 

në klasat e tjera. 

Mësuesi zgjidh shembullin 1 dhe pastaj vë në punë klasën me ushtrimin 1 dhe 2. Në këtë 

temë ndryshe nga temat e mëparshme jepen dhe veprimet me njësitë matëse të këndeve. 

Mbas zgjidhjes së shembullit 2 dhe 3, nxënësit punojnë me ushtrimet 3 dhe 4. 

Pastaj kalohen në tre shembujt e fundit 4, 5 dhe 6. Së fundi nxënësit punojnë ushtrimet 

5, 6 dhe 7. Duhet të theksoj se gjatë shembujve mësuesi duhet të ketë parasysh: kur në 

mbledhje ose zbritje te një prej faktorëve mungon ndonjë prej njësive (si te shembulli 3), 

kur nga një njësi e zbritësit nuk mund të zbresim (si te shembulli 4), kur në mbledhje apo 

shumëzim një njësi mund të shprehet me anë të numrave natyrorë me ndihmën e njësive 

të tjera (si te shembulli 3 dhe 5). 

Mbasi bën përforcimin e mësimit duke rikujtuar njësitë matëse dhe lidhjen ndërmjet 

tyre jep detyrë shtëpie, ushtrimet 3(a, b), 4(b,c) 5(c) dhe 6(b). 


Nëse mësuesi e shikon të arsyeshme, para testit mund të zhvillojë një orë përsëritje 

duke zhvilluar ushtrime të ngjashme me të testit. Ushtrimet mund të merren në tekstin e 

ushtrimeve ose duke zgjedhur ushtrime nga temat e zhvilluara. Këto ushtrime duhet të 

zgjidhen nga mësuesi, i cili duhet të sqarojë çdo kalim që mësuesi mendon se nxënësit 

nuk e kanë të qartë. 


Mënyra e vlerësimit të çdo ushtrimi. 

Ushtrimi 1. Përgjigjja e saktë vlerësohet me një pikë. 

Ushtrimi 2. Plotësimi i saktë i çdo kuadrati të tabelës vlerësohet me 0,5 pikë (janë 

gjithsej dymbëdhjetë kuadrate). 





Ushtrimi 7. 1. Plani i zgjidhjes vlerësohet me një pikë. 

67

2. Gjetja sa minuta kanë kaluar nga ora 12 00 deri në 12 20 vlerësohet dhe me 

një pikë tjetër. 

3. Përcaktimi i gradëve të rrotullimit të akrepit të minutave vlerësohet dhe 

me një pikë tjetër. 

Ushtrimi 8. 1. Plan i zgjidhjes vlerësohet me një pikë. 

2. Gjetja e 10% të çmimit të mollëve merr dhe dy pikë të tjera. 

3. Gjetja e çmimit të portokalleve merr dhe një pikë tjetër. 

4. Gjetja e çmimit të mandarinave merr dhe dy pikë të tjera. 

5. Gjetja e lekëve të harxhuara merr dhe dy pikë. 

Kujdes! Vlerësimi dhe zbatimi i tabelës së konvertimit të pikëve në nota të bëhet me 

shumë rigorozitet. 

2.20. Raportori 


- Të dijë të përdorë raportorin për matjen e këndeve në pozicione të ndryshme në 

dërrasë apo në fletore. 




- Raportor 


- Diskutimit 



Në fillim mësuesi duhet t’i njohë nxënësit me raportorin. Mësuesi dhe çdo nxënës duhet 

të kenë raportor. Shpjegon ndërtimin e raportorit dhe si veprohet për matjen e këndeve. 

Mësuesi vizaton një kënd në dërrasë dhe bën matjen e tij me raportor. Për të kontrolluar 

se nxënësit e kanë kuptuar apo jo mënyrën e matjes, ngre disa nxënës me radhë për të 

matur të njëjtin kënd me raportor. 

Ky mësim do të zhvillohet si punë praktike. Për këtë ngrihen me radhë të gjithë nxënësit 

dhe secili do të ndërtojë një kënd dhe me raportor të paracaktojë masën e këndit të 

ndërtuar. Mirë është që të ndërtohen kënde të ngushtë, të gjerë dhe të drejtë. 

Detyrë shtëpie të jepen ato që janë në libër, si dhe ushtrimet e faqes 43 në Librin e 

ushtrimeve. 

68

Kreu i III 

Gjeometria në plan dhe në hapësirë 

3.1 Kuptime themelore. Gjysmëdrejtëza, segmenti, vija e thyer. 


Të dijë konceptet themelore: - Segmenti, vija e thyer dhe vija e thyer e mbyllur 

përkufizohen me ndihmën, koncepteve themelore 





- Diskutimit 



Në punën përgatitore nxënësit duhet të ndërtojnë segmente me gjatësi të ndryshme duke 

përdorur vizoren. Mendoj se të gjitha pyetjet që jepen në punën përgatitore duhet të bëhen dhe 

të merret përgjigje. Dhe mësuesi duhet të presë përgjigjen: se nuk mund të ndërtojmë drejtëz 

me gjatësi 5 cm, 10 cm apo 1000 cm. Po kështu segmenti dhe drejtëza nuk kanë trashësi. 

Në një kuadrat me shigjetë në fillim është shruar një pyetje, për të cilën dhe mund të 

mos merret përgjigje pozitive. Në këtë rast mësuesi përgjigjet: segmenti dhe drejtëza 

kanë të përbashkët faktin se nuk kanë gjerësi dhe dallohen se segmenti ka gjatësi dhe 

drejtëza nuk ka “gjatësi”, Kjo nuk do të thotë se gjatësia është 0 por që ka një shtrirje në 

të dy anët, kjo do të sqarohet kur të jepet përfytyrimi i drejtëzës. Mësuesi jep se çfarë 

studion gjeometria e cila është dhënë në formën e përkufizimit. (Nxënësit kanë njohuri 

nga klasat e mëparshme). 

Shumë delikat është dhe sqarimi i kuptimeve themelore. Këto kuptime nuk përkufizohen, por 

si rezultat i përvojës ato vetëm do të përfytyrohen. Kështu nxënësve duhet t’u sqarohet se ato 

që janë vendosur në kuadrat me shigjetë nuk janë përkufizime, por si do të përfytyrohen pika, 

drejtëza dhe plani. Mendoj se nuk duhet të kalohet në hollësi të tepërta, por nxënësit të dinë se 

cilat janë kuptimet themelore dhe si do të përfytyrohen ato duke bërë ndërtime në dërrasë. 

Pastaj kalohet në konceptin e gjysmëdrejtëzës, si shënohet dhe kur dy gjysmëdrejtëza 

kanë drejtim të kundërt. Kujdes! Do të jepet vetëm kuptimi i gjysmë drejtëzave me drejtim 

të kundër kur kanë të njëjtën origjinë dhe janë në të njëjtën drejtëz. Të mos kalohet në 

rastin (nuk është në program): që janë me drejtim të kundërt, por nuk ndodhen ne të 

njëjtën drejtëz. Duke dhënë kuptimin e segmentit, nxënësit do të sqarojnë dhe pyetjen e 

bërë në punën përgatitore se cili është ndryshimi ndërmjet segmentit dhe drejtëzës. Nëse 

pika, drejtëza dhe plani nuk përkufizohen; segmenti, dy segmente të njëpasnjëshëm, vija 

e thyer dhe shumëkëndëshi janë përkufizuar. 

Përkufizimi i tyre është bërë me ndihmën e pikës, drejtëzës dhe planit. Këtu del qartë 

se disa objekte duhen marrë pa përkufizim për të pasur mundësi përkufizimi i objekteve 

të tjera. Kujdes! Edhe këtu jo shumë hollësira, por njohuritë të jepen shkurt dhe qartë, të 

mos kalohet më tepër se sa është dhënë në tekst. 

Për të bërë përforcimin drejtohen këto dy pyetje: 

1. Si quhen objektet që nuk përkufizohen? 

2. Cilat janë këto objekte? 

69

Pastaj mësuesi kërkon që nxënësit të hapin librin në faqen 88. Cakton nga një nxënës që 

të lexojnë me radhë përkufizimet e gjysmëdrejtëzës, segmentit, segmentet e njëpasnjëshëm, 

vijës së thyer dhe shumëkëndëshit. Të kërkojë nga nxënësit që këto përkufizime jo vetëm 

të mësohen përmendsh por dhe këto vija të ndërtohen nga çdo nxënës. 

Detyrë shtëpie jepen ato të punës praktike. 

Mësuesi udhëzon nxënësit që të punojnë dhe ushtrimet e faqes 44 te Libri i ushtrimeve. 

3.2 / 3.3 Këndi dhe llojet e këndeve 


- Të dallojë këndet në varësi të vendosjes së brinjëve dhe me kulm të njëjtë. 

- Të dallojë këndet në varësi të masës së tyre. 





- Diskutimit 


70 


Për këtë mësim janë parashikuar dy orë për faktin se ka shumë koncepte dhe mjaft të 

rëndësishme për gjeometrinë. Në orën e parë do të trajtohet faqja 89, në orën e dytë faqja 90. 

Në punën përgatitore përdoren ato njohuri që janë marrë një orë më parë. Përkufizimi 

i këndit kërkohet që të jepet nga nxënësit, nëse nuk jepet saktë prej tyre e jep mësuesi 

(në matjen e këndeve u theksua se nuk duhet kërkuar përkufizimi, ja se ku erdhi radha 

për të përkufizuar). Mendoj se nxënësit mund të japin se cilat janë elementet e këndit. 

Këtu mësuesi mund të kërkojë se cili është themelor dhe çfarë janë brinjët e këndit. 

Vërtet që koncepti i këndit të mysët dhe të lugët është i vështirë të kuptohet, por mësuesi 

nëpërmjet ndërtimit të sqarojë këtë koncept delikat. 

Kujdes! Nuk duhet thënë se dy gjysmëdrejtëza me origjinë të përbashkët formojnë dy 

kënde dhe ai që ka masën më të vogël se 180 o quhet i mysët dhe ai që e ka masën më 

të madhe se 180 o quhet i lugët. Arsyeja është se nxënësit akoma nuk njohin kënde me 

masë më të madhe se 180 o . Rëndësi t’i kushtohet dhe mënyrës së shënimit. 

Llojet e këndeve përcaktohen nga mënyra e vendosjes së brinjëve dhe nga masa e tyre. 

Mësuesi ndërton në dërrasë me vizore të tri këndet që janë në libër (jo t’i këtë ndërtuar 

më parë, sepse nxënësit do të shohin mësuesin se si bëhet ndërtimi i tyre). 

Mësuesi ndërton në dërrasë të tri figurat që përcaktojnë këndet në varësi të vendosjes së brinjëve. 

Fillon me figurën e parë. Përgjigjet mund të jenë nga më të ndryshmet, por përgjigjja e 

saktë (pra ajo që i korrespondon mësimit) është se një brinjë e kanë të përbashkët. Në 

këtë moment mësuesi jep përkufizimin e këndeve të njëpasnjëshëm. 

Vazhdon me figurën e dytë. Përsëri përgjigjet janë të ndryshme, por përgjigjja e saktë 

është: janë kënde të njëpasnjëshëm, por një brinjë e kanë në të njëjtën drejtëz. 

Këtu mësuesi jep përkufizimin e këndeve të bashkëmbështetura. Vazhdon me figurën e tretë. 

Edhe këtu përgjigjet do të jenë nga më të ndryshmet, por përgjigjja e saktë është: 

brinjët i kanë gjysmëdrejtëza të kundërta, mbas kësaj mësuesi jep përkufizimin e këndeve

të kundërt në kulm. Mbasi kërkon dhe formulimin e këtyre tri lloje këndesh që në të 

njëjtën kohë është dhe përforcimi i mësimit, mësuesi i drejtohet për figurën e tretë klasës: 

gjeni në figurën tri kënde të tjera të kundërta në kulm dhe kënde të bashkëmbështetura. 

AA 1 

dhe BB 1 

janë dy drejtëza. Duke vrojtuar përsëri figurën tre, mësuesi i drejton klasës 

këto pyetje: 

1. Sa kënde formojnë dy drejtëza që priten? 

2. Cilat janë këndet e bashkëmbështetura? Sa çifte janë? 

3. Cilat janë këndet e kundërta në kulm? Sa çifte janë? 

Deri këtu është ora e parë. Detyrë shtëpie jepen ushtrimet 1 dhe 2, faqe 91. 

KUJDES! Te llojet e këndeve sipas masës, pika 6, ku është kënde shtuese duhet 

zëvendësuar me kënde plotësuese, te pika 7 ku është kënde plotësuese duhet kënde 

shtuese. 

Te Libri i ushtrimeve, faqe 45, shembulli i zgjidhur mbas fjalës zgjidhje te pika a fjala 

shtuese duhet plotësuese dhe te pika b fjala plotësuese duhet shtuese. 

Ora e dytë të fillojë me ndërtimin me vizore të këndeve të njëpasnjëshme, të 

bashkëmbështetura dhe të kundërta në kulm. 

Meqenëse ky mësim ka shumë figura mendoj që mësuesi duhet të përgatitë një tabelë, ku të 

ketë vizatuar të gjitha figurat e faqes 90. Por te figura që jepen këndet plotësuese të ndërtohen 

dhe dy kënde plotësuese, por që nuk janë të njëpasnjëshme, te secili prej tyre mësuesi të 

vendosë masën. Gjithashtu dhe pranë figurës ku janë dy kënde shtuese të ndërtohen dhe dy 

kënde shtuese, por që nuk janë të bashkëmbështetur, te secili prej tyre të vendoset masa. 

Mësuesi ngre një nxënës që të gjejë masën e këndit të parë, nga matja del 90 o . Një tjetër 

mat këndin e dytë, nxënësi do të nxjerrë një vlerë, p.sh., 36 o . Një tjetër mat këndin e tretë, 

do të nxjerrë një vlerë, p.sh., 128 o . Një tjetër mat këndin e katërt, do të nxjerrë vlerën 180 o . 

Këtu ndërhyn mësuesi: një kënd doli 90 o , i dyti më i vogël se 90 o dhe i treti më i madh se 90 o . 

Prandaj, nëse këndet i krahasojmë me këndin e drejtë, kemi dy lloje këndesh: me masë 

më të madhe se 90 o që quhen kënde të gjerë dhe më të vogël se 90 o që quhen kënde të 

ngushtë. Por në përkufizimin e tyre mësuesi nuk duhet të mjaftohet me këtë që shprehu, 

por të japë dhe njëherë përkufizimet e tyre. Duhet të përkufizojë dhe këndin e shtrirë. 

Kujdes duhet të bëhet te këndi i plotë dhe këndi zero, sepse, kur nxënësi të vërë 

raportorin, do të çorientohet se nuk do të gjejë brinjën e dytë të këndit. 

Prandaj mësuesi ndërton në dërrasë një kënd çfarëdo dhe e zvogëlon atë duke afruar 

njërën brinjë te tjetra, më në fund i puthit, ky është këndi zero gradë. Pastaj ndërton 

përsëri një kënd, por në këtë rast e zmadhon këndin me anën e brinjës së dytë deri sa të 

puthitet me të parën, ky është këndi i plotë, pra 360 o . Pra megjithëse për të dy puthiten 

brinjët, njëri është 0 o dhe tjetri 360 o . 

Për figurën ku janë këndet plotësuese mësuesi drejton pyetjen: Çfarë lidhje ka ndërmjet 

këtyre këndeve? Nëse nuk merr përgjigjen e duhur pyetjen e drejton ndryshe: Çfarë 

lidhje ka ndërmjet këndit 90 o dhe dy këndeve të shënuara në figurë? 

Përgjigjja që pritet është: shuma e këtyre këndeve është 90 o . Këtu mësuesi jep dhe 

përkufizimin e këndeve plotësuese. 

Mësuesi orienton klasën te dy këndet që janë pranë kësaj figure dhe i drejton këto pyetje: 

1. Janë kënde të njëpasnjëshme? (Përgjigjja do të jetë jo.) 

2. Sa e kanë shumën? (Përgjigjja do të jetë 90 o .) 

71

3. Çfarë kushti plotësojnë dy kënde për të qenë plotësues? (Përgjigjja do të jetë të 

kenë shumën 90 o .) 

4. Pra duhet të jenë të njëpasnjëshëm? (Përgjigjja do të jetë jo.) 

5. Pra këto kënde janë plotësues? (Përgjigjja po.) 

Për figurën ku janë këndet shtuese mësuesi drejton pyetjen: Çfarë lidhje ka ndërmjet 

këtyre këndeve? Nëse nuk merr përgjigjen e duhura, pyetjen e drejton ndryshe: Çfarë 

lidhje ka ndërmjet këndit 180 o dhe dy këndeve të shënuara në figurë? Përgjigjja që pritet 

është: shuma e tyre është 180 o . Këtu mësuesi jep dhe përkufizimin e këndeve shtuese. 

Mësuesi drejton klasën te dy këndet që janë pranë kësaj figure dhe i drejton këto pyetje: 

1. Janë kënde të bashkëmbështetura? (Përgjigja do të jetë jo.) 

2. Sa e kanë shumën? (Përgjigja do të jetë 180 o ) 

3. Çfarë kushti plotësojnë dy kënde për të qenë shtuese? (Përgjigja do të jetë të 

kenë shumën 180 o ). 

4. Pra duhet të jenë të bashkëmbështetur? (Përgjigja do të jetë jo) 

5. Pra këto kënde janë shtuese? (Përgjigjja po.) 

Pastaj mësuesi jep dhe përkufizimin e këndeve të barabarta dhe përkufizimin e 

përgjysmores së një këndi. 

Mësuesi i kërkon klasës që të mbajnë mend ato që jepen te rubrika Duhet të mbani mend. 

Detyrë shtëpie. Jepen ushtrimet: 5, 6, 7, 8,10 Për nxënësit e mirë 15, faqe 91. 

Mësuesi jep udhëzim që të punojnë me ushtrimet e faqes 45 te teksti i ushtrimeve. 

3.4 Gjendja e dy drejtëza ndërmjet tyre. Largësia e një pike nga një drejtëz 


- Të përkufizojë drejtëzat paralele. Të tregojë se çfarë kushtesh plotësojnë dy drejtëza paralele. 

- Të përkufizojë drejtëzat pingule. 

- Të ndërtojë drejtëzat pingule. 

- Të dallojë drejtëzat e pjerrëta me një drejtëzë të dhënë. 





- Diskutimit 


72 


Në këtë mësim nuk ka punë përgatitore. Por me që nxënësit njihen me drejtëzat paralele 

dhe prerëse, kërkon nga nxënësit t’i ndërtojnë dhe të japin përkufizimin e tyre. 

Mendoj se mund të gabohet në përkufizimin e drejtëzave paralele, ku mund të mos 

përmendet që ndodhen në një plan. Kjo duhet të korrigjohet nga mësuesi. 

Mendoj që nuk është e nevojshme të sqarohet pse duhet thënë që duhet të ndodhen 

në një plan. Sqarimi i mëtejshëm më shumë do t’i ngatërrojën nxënësit, se sa do t’i 

sqarojë. Kujdes dhe në përkufizimin e drejtëzave që puthiten. Dhe këtu nuk është e 

nevojshme të thuhet më shumë se sa jepet në përkufizim. 

Kur të jepet përkufizimi i drejtëzave pingule është e mira që të pyeten nxënësit: Nëse 

dy kënde të bashkëmbështetura janë të barabarta, sa e kanë masën? Përgjigjja është:

Masën e kanë 90 o . Mësuesi tregon simbolin për drejtëzat pingule (nëse nuk është 

korrigjuar tregojua nxënësve d 1 ⊥ 

d 2 

). Pastaj tregon mënyrën e ndërtimit të një drejtëze 

pingul me një drejtëz të dhënë që kalon nga një pikë e dhënë. Të veprohet si në libër. 

Te segmenti pingul me një drejtëz duhet të jepet drejtëza e pjerrët. Drejtëzat e hequra 

nga një pikë jashtë një drejtëze, të cilat nuk janë pingule quhen të pjerrëta. Kujdes dhe te 

vetia e pingules, prej këtej mësuesi duhet të theksojë se kjo veti na detyron që këtë ta 

quajmë largësi të pikës nga drejtëza. 

Mësuesi bën përforcimin duke kërkuar përkufizimin e drejtëzave paralele, prerëse, 

puthitëse, largësi e pikës nga një drejtëz si dhe e pjerrëta. 

Mësuesi vë në punë nxënësit me ushtrimet 1 dhe 2, faqe 93. 

Detyrë shtëpie jep ushtrimet 3, 4, 5 dhe 6. 

Udhëzohen nxënësit që të punojnë ushtrimet e faqes 46 te Libri i ushtrimeve. 

3.5 Largësia ndërmjet drejtëzave paralele dhe ndërtimi i tyre 


- Të dijë cila quhet largësi ndërmjet drejtëzave paralele. 

- Të ndërtojë dy drejtëza paralele. 

- Të përcaktojë llojet e këndeve, kur dy drejtëza paralele priten nga një e tretë. 




- Një tabelë me llojet e këndeve që formohen 

nga ndërprerja e dy drejtëzave paralele me një të tretë. 


- Problemore 

- Diskutimit 



Nëpërmjet punës përgatitore duhet të dalë se largësia ndërmjet dy drejtëzave paralele 

nuk varet nga pika që mund të zgjedhim në njërën drejtëz. Ky përfundim do të dalë 

nëpërmjet matjeve që do të bëjnë nxënësit. 

Mbasi jepet përkufizimi i largesës ndërmjet drejtëzave paralele, i cili duhet të përsëritet 

dhe nga nxënësit disa herë, kalohet në ndërtimin e dy drejtëzave paralele. Paraqiten dy 

raste: 

a) Kur jepet vetëm drejtëza dhe të ndërtohet paralelja me të. 

b) Kur jepet drejtëza dhe pika jashtë saj në të cilën duhet të kalojë paralelja me 

drejtëzën e dhënë. 

Mënyra e ndërtimit kalon në dy etapa: 

1. Ndërtohet në fillim pingulja me drejtëzën e dhënë (sipas mësimit 3.4). 

2. Pastaj ndërtohet drejtëza pingul me pingulen me drejtëzën e dhënë (sipas mësimit 3.4). 

Ndërtimi në të dy rastet është i njëjtë, por në rastin e dytë është përcaktuar pika nga do 

të hiqet paralelja, prandaj në këtë rast si pingulja e parë dhe e dyta do të ndërtohen nga 

kjo pikë. Kujdes! Mos kalo në vërtetimin se këto drejtëza janë paralele. Por vetëm të 

thuhet se drejtëzat janë paralele. 

73

Jepet pastaj aksioma e drejtëzave paralele që mund të përmendet dhe si aksioma e 

pestë e Euklidit. 

Për pjesën e fundit të mësimit mësuesi duhet të ketë një tabelë ku janë ndërtuar dy 

drejtëza paralele të ndërprera nga një e tretë dhe të jenë përcaktuar llojet e këndeve që 

formohen. Nxënësit të dinë marrëdhëniet ndërmjet këndeve përgjegjëse, ndërruese, të 

brendshme, ndërruese të jashtme, të njëanshme të brendshme dhe të njëanshme të jashtme. 

Kujdes! Mos kalo në vërtetimin e tyre, por për t’i bindur nxënësit le të bëhen matjet e 

tyre me raportor dhe të nxirren përfundimet. Ndërtimi i drejtëzave paralele si dhe i prerëses 

të bëhen me vizore që matjet dhe përfundimet të jenë sa më afër realitetit. 

Për përforcimin e mësimit të kërkohet përkufizimi i largesës së dy drejtëzave paralele, 

aksioma, si dhe këndet që formohen nga ndërprerja e dy paraleleve nga një e tretë. 

Kjo e fundit mund të përforcohet duke ndërtuar drejtëzat paralele në pozicione të ndryshme. 

Mendoj që nxënësit të zhvillojnë ushtrimin 1 në klasë. Kurse problemën 2 (rastin e 

parë) ta zgjidhë mësuesi në klasë. 

Mendoj që më mirë është të ndërtohen pingulet me brinjët e këndit të hequra nga K, 

duke përdorur vizoren trekëndore kënddrejtë, si rasti i dytë i mësimit 3.4. Për paralelet do 

të veprohet si rasti i dytë i ndërtimit të paraleles së hequr nga një pikë e dhënë, që në 

rastin tonë si pikë e dhënë shërben pika K. 

Detyrë shtëpie jepen problemat 2 (rasti i dytë), 3 dhe 4, faqe 95. 

Për nxënësit e mirë të jepet kjo problemë: Nëse këndet përgjegjëse janë të barabara të 

vërtetohet që këndet ndërruese të brendshme dhe ndërruese të jashtme janë të barabarta 

dhe këndet e njëanshme të brendshme dhe të jashtme e kanë shumën 180 o . 


3.6 / 3.7 Trekëndëshi 


- Të përcaktojë llojet e trekëndëshave në varësi të brinjëve. 

- Të përcaktojë trekëndëshat në varësi të këndeve. 

- Të dijë tri rastet e barazimit të trekëndëshave. 

- Të përcaktojë nëse tri segmente me gjatësi të dhënë mund të shërbejnë ose jo si 

brinjë të një trekëndëshi. 




- Çifte trekëndëshash të barabarta 

(aq çifte sa nxënës ka klasa). 


- Problemore 

- Diskutimit 


74 


Këtu janë dy orë mësimi. Mendoj që një orë të zhvillohet deri te përkufizimi i 

trekëndëshave të barabartë. Kurse ora tjetër pjesa që mbetet. 

Puna përgatitore do të shërbejë për të rikujtuar segmentet e njëpasnjëshme, vijën e 

thyer të hapur dhe të mbyllur. Dhe prej këtej të nxirret përkufizimi i shumëkëndëshit. Si 

rast i veçantë del trekëndëshi. Ndërtohet një trekëndësh, mësuesi kërkon nga nxënësi

që të japë elementet e një trekëndëshi duke i lexuar ato nëpërmjet figurës. Me shumë 

kujdes mësuesi duhet të nxjerrë faktin që trekëndëshat përcaktohen në varësi të brinjëve 

dhe këndeve. Pse? Sepse kur kemi dhënë elementet e trekëndëshit kemi thënë se 

trekëndëshi ka tri kënde dhe tri brinjë. Mësuesi jep llojet e trekëndëshave në vartësi të 

brinjëve: barabrinjës, dybrinjënjëshëm dhe brinjëndryshëm. Pavarësisht se nxënësi nuk 

di si ndërtohen trekëndëshat, mësuesi duhet tani për tani të ndërtojë vetë trekëndësha të 

tri llojeve dhe të vërë nxënësit për matjen e brinjëve. 

Pastaj kalon në llojet e trekëndëshave sipas këndeve: këndngushtë, kënddrejtë dhe 

këndgjerë. Kujdes të mos harrohet shënimi. Jep pa vërtetim që shuma e këndeve të 

trekëndëshit është 180 o . Po nëpërmjet matjeve të dalë dhe lidhja ndërmjet llojeve të 

trekëndëshave në varësi të brinjëve dhe në vatësi të këndeve. 

Përforcimi do të bëhet duke u përsëritur nga nxënësit përcaktimet e trekëndëshave në 

varësi të brinjëve dhe këndeve. 

Detyrë shtëpie. Jepen ushtrimet: 1 dhe 2, faqe 97. Për nxënësit e mirë jepet si detyrë: 

Vërtetoni se shuma e këndeve të trekëndëshit është 180 o . Por duhet dhënë ky udhëzim: 

nga kulmi A i trekëndëshit ABC ndërtojmë një drejtëz paralele me brinjën BC. Zgjatni brinjën 

AC përtej pikës A. Duhet të shfrytëzoni vetitë e këndeve që formohen nga ndërprerja e dy 

brinjëve paralele të ndërprera nga një e tretë. Mendoj që dhe figura të ndërtohet nga mësuesi. 

Ora e dytë do të fillojë me përkufizimin e trekëndëshave të barabartë. Por, para se të 

jepet përkufizimi, është mirë që të përsëriten frontalisht dhe një herë ato që janë trajtuar 

në orën e parë për trekëndëshit. Jep përkufizimin. Mësuesi ndan në çdo bankë nga një 

çift trekëndëshash të barabartë. Nxënësve nuk duhet t’ju thotë se janë të barabartë, por 

u drejtohet: vendosini njëri mbi tjetrin. Çfarë vini re? Do t’u puthiten? Përgjigjja është po. 

Mësuesi u drejtohet përsëri: Matni dy brinjë dhe këndin ndërmjet tyre. Çfarë konstatoni? 

Përgjigjja: janë të barabartë. Mund të nxirret ndonjë përfundim. Ka mundësi që përfundimi 

të mos nxirret nga nxënësit. Atëherë ndërhyn mësuesi. Të gjithë ju vutë re se trekëndëshat 

tuaj që kanë nga dy brinjë dhe këndin ndërmjet tyre të barabartë u puthitën, pra janë të 

barabartë, nga përkufizimi. Kjo na detyron të nxjerrim këtë përfundim, që do ta quajmë 

rasti i parë i barazimit të trekëndëshave. 

Mësuesi jep formulimin e teoremës së parë. Ky formulim kërkohet të thuhet disa herë 

dhe nga nxënës të veçantë. 

Pastaj mësuesi u drejtohet nxënësve: Matni një brinjë dhe dy këndet mbi të. 

Çfarë konstatoni? 

Përgjigjja: Janë të barabarta. Mund të nxirret ndonjë përfundim.? Ka mundësi që përsëri 

përfundimi të mos nxirret nga nxënësit. Atëherë ndërhyn mësuesi. Të gjithë ju vutë re se 

trekëndëshat tuaj që kanë një brinjë dhe dy kënde të barabartë u puthitën, pra janë të 

barabartë nga përkufizimi. Kjo na detyron të nxjerrim këtë përfundim që do ta quajmë 

rasti i dytë i barazimit të trekëndëshave. 

Mësuesi jep formulimin e teoremës së dytë. Ky formulim kërkohet të thuhet disa herë 

dhe nga nxënës të veçantë. 

Përsëri mësuesi u drejtohet nxënësve: Matni të tri brinjët e dy trekëndëshave. 

Çfarë konstatoni? 

Përgjigjja: Janë të barabartë. Mund të nxirret ndonjë përfundim? Ka mundësi që përsëri 

përfundimi të mos nxirret nga nxënësit. Atëherë ndërhyn mësuesi. 

Të gjithë ju vutë re se trekëndëshat tuaj që kanë të tri brinjët e barabarta u puthitën, pra 

75

janë të barabartë nga përkufizimi. Kjo na detyron të nxjerrim këtë përfundim që do ta 

quajmë rasti i tretë i barazimit të trekëndëshave. 

Mësuesi jep formulimin e teoremës së tretë. Ky formulim kërkohet të jepet disa herë 

dhe nga nxënës të veçantë. Të tri teoremat vërtetohen, por do të merren pa vërtetim. 

Kujdes me pikat a, b dhe c që janë me shkronja të zeza, ato nuk duhet të anashkalohen, 

sepse tregojnë se çdo trekëndësh përcaktohet në mënyrë të vetme kur jepen dy brinjë 

dhe këndi ndërmjet tyre, kur jepet një brinjë dhe dy kënde mbi të dhe kur jepen tri brinjët 

e tij. Kujdes për pikën c! Kur shuma e dy segmenteve është më e madhe se segmenti i 

tretë atëherë këto segmente caktojnë një trekëndësh. 

Detyrë shtëpie. Jepen ushtrimet 3, 4 dhe 5. Për nxënësit e mirë mund të jepen këto ushtrime: 

1. Dy trekëndësha kënddrejtë që kanë dy katete të barabarta janë të barabartë. 

2. Dy trekëndësha kënddrejtë që kanë një katet dhe një kënd të ngushtë të barabartë, 

janë të barabartë. 

3. Dy trekëndësha kënddrejtë që kanë hipotenuzën dhe një kënd të ngushtë të barabartë 

janë të barabartë. 

Të kërkohet që të vërtetohen duke pasur parasysh tri rastet që u dhanë në mësim. 


76 

3.8 Problema 


- Të zgjidhë problema të thjeshta duke u bazuara në tri teoremat e barazimit të 

trekëndëshave. 





- Problemore 

- Diskutimit 



Në tekst është zgjidhur problema 2. Këtë problemë duhet ta zgjidhë dhe mësuesi. 

Vërtet që problema më shumë ka veprime algjebrike, por, para se të kalohet atje, në fillim 

ka interpretime gjeometrike. 

Prandaj mësuesi duhet të ndërtojë figurën e cila të plotësojë sa më mirë kushtet e 

problemës. Duke mos ditur këndet, por duke ditur se trekëndëshi është dybrinjënjëshëm 

dhe këndi BAC është sa 4-fishi i këndit ABC, duhet që brinjët AB dhe AC të jenë të 

barabarta dhe këndi BAC të jetë më i madh se këndi ABC. Kjo nuk ndikon në zgjidhjen e 

problemit. Arsyetimi duhet bërë si në figurë. 

Mendoj që vërtet problema duhet të zgjidhet nga mësuesi, por duhet të marrin pjesë dhe nxënësit. 

Kështu: 

Mësuesi duhet t’i drejtohet klasës me pyetjen: Me që trekëndëshi është dybrinjënjëshëm 

çfarë mund të themi? Pritet përgjigjja që këndet mbi bazë janë të barabarta. Nëse njërin 

e shënojmë me x, sa do të jenë dy të tjerët? 

Përgjigjja do të jetë: këndi në kulm nga kushti do të jetë 4x dhe këndi tjetër mbi bazë përsëri 

x. Përsëri mësuesi i drejtohet klasës: Çfarë dini për marrëdhëniet e këndeve të trekëndëshit? 

Përgjigjja: Shuma e tyre është 180 o . Atëherë mund të shkruajmë x + x + 4x = 180 o .

Zgjidhim këtë ekuacion. 

6x = 180 o . Pra, x = 30 o . Nga kushtet e problemës këndi BAC = 4x = 4 . 30 o = 120 o . 

Përgjigje: Këndet ABC dhe BCA janë nga 30 o dhe këndi BAC është 120 o . 

Përgjigje: Këndet ABC dhe BCA janë nga 30 o dhe këndi BAC është 120 o . 

Pastaj klasa vihet në punë për të zgjidhur problemën 1. 

Në dërrasë ngrihet një nxënës, i cili lihet të punojë në heshtje, kurse mësuesi kalon 

bankë më bankë për të parë punën e çdo nxënësi duke dhënë dhe udhëzime. Kur të jetë 

përfunduar problema, në dërrasë çdo nxënës kontrollon punën e tij, me atë në dërrasë. 

Mendoj se rëndësi nuk ka numri i problemave që do të zgjidhen, por nxënësit të kuptojnë si 

veprohet për të zgjidhur problemat e gjeometrisë. Nëse ka kohë, mund të punohet problema 3. 

Detyrë shtëpie. Jepen problemat 4 dhe 5. Nëse problema 3 nuk është përfunduar, do 

të vazhdohet në shtëpi. 

Mësuesi udhëzon që të punohen dhe ushtrimet e faqes 48 te Libri i ushtrimeve. 

3.9 Ndërtimi i trekëndëshit 

Objektivat. Në fund të orës së mësimit nxënësi t1% jetë i aftë: 

- Të ndërtojë trekëndëshin kur jepen tri elemente të tij, ku të paktën një është brinjë. 




- Kompas, vizore dhe raportor 


- Problemore 

- Diskutimit 



Në punën përgatitore nxënësit duhet të rikujtojnë rastet e barazimit të trekëndëshave. 

Mësuesi duhet t’i njohë me kompasin dhe mënyrën e përdorimit të tij. 

Këtu mësuesi ka për të punuar tri problema. Këto janë problema ndërtimi. Dihet se për 

problemat e ndërtimit ka katër etapa. 

1. Analiza 

2. Ndërtimi 

3. Vërtetimi 

4. Diskutimi. 

Dihet që këta tipa problemash janë shumë të vështirë, kështu puna e kujdesshme e 

mësuesit duhet t’i bëjë ato sa më të thjeshtë. Për këtë nuk duhet që të ndjekim katër 

etapat, sepse është e vështirë për nxënësit e klasës së gjashtë, por do të kalohet drejt e 

në ndërtim. Në tekst kjo etapë është punuar, po mësuesi me shumë kujdes dhe duke 

sqaruar çdo kalim të aftësojë nxënësit për të zgjidhur problema të thjeshta me ndërtim. 

Çdo ndërtim duhet bërë me veglat e punës: vizore, raportor dhe kompas. 

Pastaj mësuesi ngre një nxënës të mirë për të punuar problemën 1. 

Pasi është zgjidhur kjo problemë në dërrasë, mësuesi tërheq vëmendjen e klasës në 

diskutimin që do duhet të bëjë ai me nxënësin që ka zgjidhur problemin. Po kështu veprohet 

dhe për problemën 2. 

Detyrë shtëpie. 1(a, b), faqe 99. 

77

3.10 Ushtrime 


- të ndërtojë trekëndësha duke u bazuar në tri rastet e barazimit. 

- Të japë përgjigje nëse ndërtohen ose jo trekëndësha me të dhënat e një probleme. 




- Mjetet e punës për ndërtimin e trekëndëshave 


- Problemore 

- Diskutimit 



Mësuesi duhet të zhvillojë në dërrasë problemën 2(c). 

Problema 6 duhet të punohet përsëri nga mësuesi, sepse ndryshon nga të tjerat. Mësuesi 

nuk duhet të mjaftohet me një përgjigje po ose jo, por të argumentohet nga nxënësit çdo përgjigje. 

Në dërrasë ngre dy nxënës: njëri punon problemën 2(b) dhe i dyti problemën 4. Në 

përfundim të tyre mësuesi duhet të diskutojë me nxënësit për ndërtimin e kryer. 

Detyrë shtëpie. Jepen ushtrimet 2(a), 3(a) dhe 5. Nxënësit e mirë të japin përgjigje për 

pyetjen e problemës 5. Çfarë përfundimi mund të përgjithësoni? Dhe problemën 7, faqe 

99. Mësuesi udhëzon nxënësit për të punuar problemat e faqes 49 te Libri i mësuesit. 

Kam mendimin se përpara testit duhet të zhvillohet një orë konsultim me ushtrime të 

ngjashme me ato të testit, sepse dihet që gjeometria është më e vështirë. Problemat 

mund të merren nga teksti i ushtrimeve. 

78 


Shënim: Te ushtrimi 7 duhet kënde plotësuese dhe te ushtrimi 8 duhet kënde shtuese. 

Vlerësimi i çdo ushtrimi me pikë. 

Ushtrimet nga 1 deri te 11, nëse përgjigjja është e saktë, vlerësohen me nga një pikë. 

Ushtrimi12. Nëse ndërtohet një lartësi dhe gjendet largësia, merr një pikë. Nëse ndërton 

një largësi dhe gjen masën e saj, merr një pikë. Nëse gjen të dytën merr dhe një pikë 

tjetër. Po të gjejë dhe të tretën, i merr të tri pikët. Por mund të ndodhë që të ndërtojë të tri 

largësitë dhe të mos i ketë gjetur këto largësi. Në këtë rast vlerësohet me dy pikë. 

Ushtrimi 13. Nëse nga 7 kënde përcakton 1, merr një pikë, po vlerësoi 3 merr dy pikë, 

po vlerësoi 5 merr 3 pikë dhe po i vlerësoi të 7, merr 4 pikë. 

Ushtrimi 14. Nëse përcakton 1 merr një pikë. Nëse vlerëson tre merr 2 pikë. 

Ushtrimi 15. Nëse bën ndërtimin pa sqaruar se si e ka bërë, merr 1 pikë. Nëse bën 

ndërtimin, por sqarimin e jep jo të saktë merr 2 pikë. Nëse gjithçka është e 

plotë, i merr 3 pikët. 

Si gjithmonë mësuesi duhet të jetë shumë rigoroz në vlerësim dhe në zbatimin e tabelës 

së konvertimit të pikëve në nota.

3.12 Katërkëndëshi dhe shumëkëndëshi i rregullt 


- Të përkufizojë katërkëndëshin si rast të veçantë të shumëkëndëshit. 

- Të përkufizojë paralelogramin si rast i veçantë i katërkëndëshit. 

- Të përcaktojë drejt elementet e tij. 





- Problemore 

- Diskutimit 



Puna përgatitore është e drejtuar në mënyrë që prej saj të dalë dhe përkufizimi i 

katërkëndëshit. Duke dhënë përkufizimin e katërkëndëshit jep dhe kuptimin e brinjëve të 

kundërta. Përkufizimi i paralelogramit jepet si rast i veçantë i një katërkëndëshi, pra është 

si një nënbashkësi e bashkësisë së trekëndëshave. Pavarësisht se nxënësi diku e ka 

ndeshur konceptin e nënbashkësisë, kam mendimin që të mos i përmendet që në klasën 

e gjashtë se është i vështirë për t’u kuptuar. 

Mësuesi mbasi ndërton një paralelogram dhe u tregon nxënësve mënyrën e ndërtimit, 

tregon elementet që dallojmë te kjo figurë. 

Në fund tregon vetitë e paralelogramit. Kujdes! Nuk janë me vërtetim. Por këto veti 

mund të trajtohen si ushtrime, por me nxënës të mirë. Mbasi ka bërë një përforcim të 

materialit teorik, kalohet në zgjidhjen e problemës 3, faqe 101. Në zgjidhjen e bërë në 

tekst është bërë vetëm vërtetimi. 

Kam mendimin që mësuesi para se ta zgjidhë problemën, të bëjë dhe këtë tabelë: K - 

ABCD paralelogram P - trekëndëshi ABC i barabartë më trekëndëshin ADC ku K - kushtet 

e problemës dhe P - përfundimet e problemës. 

Pastaj fillon nga zgjidhja. 

Me klasën mësuesi punon problemën 4. Vë klasën në punë, por duke ndërtuar në fillim 

tabelën: 

K - ABCD paralelogram, këndi MAD = 120 o 

P - të gjenden këndet: DAB, ADC, ABC, BCA. 

Mbasi vë re që nxënësit e kanë filluar mirë zgjidhjen, mësuesi ngre në dërrasë një nxënës 

i cili punon problemën. Kur të jetë përfunduar problema, mësuesi së bashku me nxënësin 

që ka punuar në dërrasë, tregojnë mënyrën e zgjidhjes duke bërë sqarimet e nevojshme. 

Detyra shtëpie. 1, 2, kurse 5 dhe 6 nxënësve më të mirë. 

Mendoj që nxënësve të mirë t’u jepet dhe vërtetimi i vetisë së paralelogramit se diagonalet 

e paralelogramit përgjysmojnë njëra-tjetrën. 

Mësuesi udhëzon që të zgjidhen dhe problemat e faqes 49 te Libri i ushtrimeve. 

79

3.13 Drejtkëndëshi, rombi, katrori, trapezi. 


- Të dijë të përkufizojë drejtkëndëshin, rombin, katrorin dhe trapezin. 




- Vizore 

- Tabelë ku është ndërtuar kllasteri i figurave 


- Kllaster 

- Diskutimit 



Këtu nuk ka punë përgatitore, por mësuesi mund t’u kërkojë nxënësve përkufizimin e 

paralelogramit si dhe vetitë e tij. Pastaj kalon në përkufizimin e drejtkëndëshit, duke dhënë 

dhe vetitë. Kalon me radhë në përkufizimin e rombit si rast i veçantë i paralelogramit së 

bashku me vetitë. Kurse përkufizimi i katrorit jepet si rast i veçantë i rombit. Katrori mund 

të jepet dhe si rast i veçantë i drejtkëndëshit: Drejtkëndëshi me dy brinjë të njëpasnjëshme 

të barabarta quhet katror. 

Në përfundim duhet të dalë qartë se të tri këto figura janë paralelograme. Kujdes duhet 

të bëhet se figura që është si rast i veçantë, ka veti më tepër. Rombi ka dhe një veti tjetër 

që nuk është dhënë: Diagonalet e rombit janë dhe përgjysmore të këndeve nga dalin. 

Trapezi përkufizohet si shumëkëndësh me dy brinjë paralele jo të barabarta. Këtu keni 

dhe përkufizimin e shumëkëndëshit të rregullt. Mbasi bën përforcimin e mësimit, mësuesi 

kalon në punimin e problemës 4 që është e zgjidhur në tekst. Nxënësit duhet të ndjekin 

mësuesin në zgjidhjen e problemës. 

Edhe këtu duhet të ndërtohet tabela: 

K - ABCD romb dhe këndi DAO është 60 o . 

P - Trekëndëshi AOD është i barabartë me trekëndëshin DOC, të gjenden këndet 

trekëndëshit ADC. 

Kujdes se është shkruar këndet e trekëndëshit. 

Pastaj mnësuesi fillon zgjidhjen e problemës. 

Mbasi mësuesi ka përfunduar problemën, i jep klasës për të punuar problemën 5, 

faqe 104. Figura ka disa pasaktësi (nëse nuk janë plotësuar). Ndërtohet DM pingul me 

AB, bashkohet C me B. 

Nxënësi që do të ngrihet në dërrasë, duhet të ndërtojë figurën si në libër dhe t’i kërkohet 

që patjetër të plotësojë tabelën si në problemat e tjera. Mësuesi duhet t’i sqarojë nxënësit 

për rëndësinë e kësaj tabele dhe plotësimi i saj në rast testi do të vlerësohet me pikë. 

Secili nxënës duhet të punojë në fletoren e tij. Nëse dikush nga nxënësit e zgjidh pa 

gabime duhet vlerësuar me notë nga mësuesi, i cili duhet t’i kërkojë që të sqarojë çdo 

kalim. Këto sqarime duhet të përcaktojnë dhe notën e nxënësit. 

Detyrë shtëpie. Jepen ushtrimet 1, 2, 3 dhe për nxënësit e mirë ushtrimin 6, faqe 103/104. 

Mësuesi udhëzon nxënësit që të punojnë ushtrimet e faqe 50 te Libri i ushtrimeve. 

80

3.14. Problema 


- Të ndërtojë katërkëndëshat me të dhëna të cilat përcaktojnë ndërtimin e një figure të 

vetme ose jo. 




- Mjetet e punës që shërbejnë 

për të ndërtuar figura të ndryshme. 


- Problemore 

- Diskutimit 



Nga problema 1 është zgjidhur a-ja. Si gjithmonë këtë duhet ta punojë mësuesi. Është 

problemë ndërtimi dhe mësuesi duhet të ketë shumë kujdes në punimin e saj. Kujdes duhet 

të ketë pikërisht në ndërtimin e paraleleve kur thuhet se në B dhe D ndërtojmë paralelet. 

Mësuesi duhet të kërkojë nga nxënësit që të kujtojnë si ndërtohet një paralele me një drejtëz 

të dhënë të hequr nga një pikë e dhënë. Ndërtimi duhet bërë me vizore, raportor dhe kompas. 

Mësuesi mund të kërkojë nga nxënësit dhe një mënyrë tjetër ndërtimi, jo duke ndërtuar 

dy paralelet. Kjo është: Mbasi janë ndërtuar mbi drejtëzën d segmenti AB, këndi 30 o me 

kulm në A dhe segmenti AD me gjatësi 4 cm, nuk ndërtojmë dy paralelet, por ndërtojmë 

në pikën D paralelen me AB dhe vendosim në të segmentin DC me gjatësi 3 cm. 

Bashkojmë pikat B dhe C. ABCD është paralelogrami i kërkuar. 

Ju vini re se në tekst është kaluar dhe në vërtetimin se ky është paralelogrami i kërkuar. 

Diku në një problemë më parë thamë se ka vështirësi. Kështu është, por kjo duhet kërkuar 

vetëm te nxënësit e mirë. Jo të katër etapat, por vetë ndërtimi dhe vërtetimi. 

Nëse do të përdoret dhe mënyra e dytë e ndërtimit, vërtetimi që tregon se është 

paralelogrami i kërkuar ndryshon, dhe në këtë rast është më i vështirë. Dhe konkretisht: 

nga ndërtimi del se AB është e barabartë me DC dhe paralele. 

Bashkojmë A me C. Trekëndëshat BAC dhe DAC janë të barabartë, sepse segmenti AB 

është i barabartë me segmentin DC nga ndërtimi, AC e përbashkët dhe këndi BAC është i 

barabartë me këndin ACD, si kënde ndërrues të brendshëm të drejtëzave paralele AB dhe 

DC, të prera nga AC (rasti BKB). Prandaj dhe elementet e tjera janë të barabarta. 

Pra, segmenti AD është i barabartë me segmentin BC. Ky katërkëndësh ka brinjët e kundërta 

të barabarta, por këtë veti e ka paralelogrami. Përfundimisht ABCD është paralelogram. 

Meqenëse AB është 3 cm, AD është 3 cm dhe këndi BAD është 30 o del që ky është 

paralelogrami i kërkuar. Pra, duke parë vërtetimin sipas mënyrës së dytë, konstatohet se 

ka vështirësi kjo etapë e problemave të ndërtimit. 

Klasa ndahet në tri grupe: grupi i parë punon problemën 2(a), i dyti 3(b) dhe i treti 4(a) Nëse 

në secilin grup ka nxënës që e përfundojnë problemën, ata ngrihen në dërrasë për ta punuar. 

Nuk duhet të mjaftohemi me atë që u shkrua në dërrasë, por mësuesi duhet të diskutojë 

me klasën për çdo problemë. Kujdes, në dërrasë duhet të jetë e pasqyruar puna e çdo 

81

nxënësi. Kur të jenë përfunduar, klasës i tërhiqet vëmendja për të ndjekur diskutimin që 

do të bëhet për këto problema. 

Detyrë shtëpie. Jepen problemat 1(b), 2(b), 3(a) dhe 4(b) (kujdes se janë dy a). Për 

nxënësit e mirë jepet 5, kurse 6, 7 dhe 8 janë problema që nuk kanë ndërtim, por vetëm 

arsyetim, të cilat duhet t’i shikojnë nxënësit e mirë. Mësuesi udhëzon që të punohen dhe 

ushtrimet e faqes 51 te Libri i ushtrimeve. 

3.15. Rrethi dhe elementet e tij 


- Të dijë përkufizimin e rrethit. 

- Të dijë elementet e tij. 

- Të dallojë rrethin nga qarku. 





- Diskutimit 


82 


Në punën përgatitore nxënësit do të përdorin kompasin të cilin e kemi treguar në mësimin 

3.9. Me anën e tij, ju kërkohet nxënësve, të ndërtojnë një rreth. Qëllimi kryesor i kësaj 

pune përgatitore është që nxënësit të konstatojnë se çdo pikë e rrethit është e baraslarguar 

nga një pikë fikse dhe se këto pika ndodhen në një plan. Prej këtej mësuesi do të japë 

përkufizimin e rrethit. Mbasi nxënësit të kenë thënë disa herë përkufizimin e rrethit, mësuesi 

kalon në elementet e tij, kjo jo vetëm duke i formuluar, por dhe duke i treguar në rreth. 

Mësuesi për të treguar gjendjen e dy rrathëve ka ndërtuar më parë katër figurat që janë 

në libër. Për çdo figurë përcakton se si janë rrathët. 

Kujdes! Për rrathët kemi dhe dy pozicione të tjera: tangjent së brendshmi dhe që njëri 

ndodhet brenda tjetrit, por qendrat i kanë të ndryshme. Mendoj që këto raste të mos 

trajtohen se krijojnë vështirësi. Jepet pastaj dhe përkufizimi i qarkut. Për shënimin KUJDES, 

mësuesi duhet t’u tërheqë vëmendjen nxënësve: 

Rrethi vijë, qarku sipërfaqe. 

Mendoj që nxënësve të mirë mund t’u kërkojë si punë të pavarur: Nëse d është distanca 

midis qendrave dhe r 1 

, r 2 

janë rrezet e dy rrathëve, çfarë lidhje kanë ato kur rrathët nuk 

kanë pikë të përbashkët, janë tangjentë, priten dhe janë bashkëqendrorë? Gjithshka të 

dalë nëpërmjet vrojtimit, jo vërtetimit. Në klasë punohen problemat 1 dhe 2, faqe 105. 

Në përforcim të jepet përkufizimi i rrethit dhe elementet e tij; përkufizimi i qarkut dhe cili 

është dallimi ndërmjet tyre. 

Detyrë shtëpie. Jepen ushtrimet 3, 4 dhe 5, faqe 105. Për nxënësit e mirë mendoj që t’u 

kërkojë si punë të pavarur që: nëse d është distanca midis qendrave dhe r 1 

, r 2 

janë rrezet e dy 

rrathëve se çfarë lidhje kanë ato kur rrathët nuk kanë pikë të përbashkët, janë tangjentë, 

priten dhe janë bashkëqendrorë. Gjithshka të dalë nëpërmjet vrojtimit jo vërtetimit. 

Mendoj që mësuesi të udhëzojë të punohen ushtrimet e faqes 52 në Libri e ushtrimeve. 

Mendoj se duhet të zhvillohet një orë përsëritje me problema të ngjashme me ato që 

janë në test.


Vlerësimi me pikë i problemave: 

1. Nëse bëhet ndërtimi merr vetëm një pikë. Nëse përgjigjet dhe sa paralelograme 

ndërtojmë, merr dhe një pikë tjetër. 

2. Merr një pikë nëse bën ndërtimin e saktë. 

3. Merr një pikë nëse bën ndërtimin e saktë. 

4. Nëse gjen një kënd, merr 0,5 pikë. Po gjeti dy, merr 1 pikë. Po gjeti 3, merr 1,5 pikë 

dhe, po i gjeti të katër këndet i merr të katër pikët. Kujdes, të argumentojë përgjigjen. 

Nëse i jep të katër këndet saktë pa bërë argumentimin, merr vetëm një pikë. 

5. Si te problema 4. 

6. Nëse bën ndërtimin pa argumentim, merr vetëm një pikë. 

7. Nëse përgjigjet për një, por nuk argumenton, merr një pikë.. Nëse jep përgjigjen e 

saktë, por pa argumentim, merr dy pikë. Nëse bën dhe argumentimin, i merr të katër pikët. 

8. Nëse ndërton rrathët por nuk tregon se çfarë vë re, merr një pikë. Nëse tregon dhe 

se çfarë vë re, i merr të dy pikët. 

9. Nëse bën ndërtimin, por nuk gjen rrezen e rrethit të dytë, merr një pikë. Nëse gjen 

dhe rrezen e rrethit të dytë, i merr të dy pikët. 

Si në testet e tjera kujdes në korrigjim, në dhënien e pikëve dhe në zbatimin me 

rigorozitet të tabelës së konvertimit të pikëve në notë. 

3.17 Trupat gjeometrikë 


- Të njohë dy trupa gjeometrikë me të gjitha elementet e tij. 

- Të ndërtojë hapjen e dy trupave gjeometrikë dhe ndërtimin e tyre duke pasur hapjen e tyre. 




- Trupa gjeometrikë 


- Problemore 

- Diskutimit 



Nëpërmjet punës përgatitore të nxirret përkufizimi i trupit gjeometrik. Në klasën e gjashtë 

do të mjaftohemi me shumëfaqëshat, përkufizimi i të cilëve jepet dhe në tekst. 

Mësuesi sjellë në klasë trupa të ndryshëm, si: kuboid, kub, cilindër, kon, trung koni etj. 

Këta do të shërbejnë për të dhënë përkufizimin e trupave. 

Kujdes, duhet të veçoni trupat e rrotullimit, sepse, si thamë më lart, do të merremi 

vetëm me shumëfaqëshat dhe vetëm me dy prej tyre, kubin dhe kuboidin. Mbasi të jepet 

përkufizimi i tyre kërkohet nga nxënësit të tregojnë kulmet, faqet dhe të përcaktojnë dhe 

numrin e tyre: (sepse nxënësit i kanë përmendur dhe në klasat paraardhëse). Në këtë 

mënyrë ju do të keni punuar dhe ushtrimet 1, 2, 3. Duke u nisur nga përkufizimi i kubit, 

mësuesi në bashkëpunim me nxënësit të nxjerr vetitë e këtij shumëfaqëshi. 

Me shumë kujdes mësuesi duhet të trajtojë ndërtimin e kuboidit dhe kubit. Duke pasur 

83

parasysh se jemi në hapësirë nxënësit do t’i duket se brinjët dhe faqet e përkundrejt do të 

priten. Për këtë mësuesit i shërbejnë trupat e ndërtuar me letër dhe me tela (kujdes, ky i 

dyti do t’u shërbejë për t’u treguar nxënësve se, ato që thamë më lart, nuk priten; por jo 

t’u themi se ky është një shumëfaqësh, aty kemi 12 tela të vendosur në hapësirë dhe të 

bashkuar tre nga tre). Nxënësit do të kuptojnë se si është ky trup në hapësirë dhe si 

vizatohet në dërrasë apo fletore. 

Me shumë kujdes duhet t’u tregojë se vërtet faqet janë drejtkëndësha apo katrorë, por 

për të vizatuar këta shumëfaqësha do të paraqiten në formën e paralelogramit. 

Mësuesi mund të bëjë dhe një përpjekje për t’i ndërtuar dhe në formën e drejtkëndëshit. 

Nxënësit do të vënë re se kanë për të dalë drejtkëndësha, brinjët e të cilëve do të bien njëra nën 

tjetrën. Nuk duhen bërë shumë sqarime për hapësirën, se për moshën është e vështirë për t’u 

kuptuar. Më shumë të përdoren trupat për konkretizim. Hapja e këtyre trupave të vizatohet në 

dërrasë. Mësuesi duhet të ketë përgatitur një kub dhe një kuboid dhe ta hapë atë në klasë. 

Ushtrimi i faqes 108 të punohet në klasë. Figura 3 që shërben për të treguar se si mund të 

ndërtohet një kub, të sqarohet mirë nga mësuesi si bëhet përthyerja dhe si bëhet ngjitja. 

Për detyrë t’u lihet ndërtimi i një kubi dhe një kuboidi, përmasat e të cilëve të jepen nga mësuesi. 

Për punë të pavarur mësuesi udhëzon që të shihen ushtrimet e faqes 53 të Librit të ushtrimeve. 

3.18 Koordinatat e pikës në planin koordinativ 


- Të njohë sistemin koordinativ. 

- Të përcaktojë pikën kur jepen koordinatat. 

- Të përcaktojë koordinatat kur jepet pika (vetëm në rastin kur pika është e tillë që 

koordinatat i ka numra të plotë). 




- Vizore 


- Punë praktike 

84 


Pikësynimi në punën përgatitore duhet të jetë rikujtimi i boshtit koordinativ dhe vendosja 

e pikëve që përcaktojnë numrat 2, 3, 0, - 1, -2. Pra, rikujtohet dhe fakti që çdo numër i 

plotë përcakton një pikë në boshtin numerik. 

Kujdes, nga nxënësit mund të lindë pyetja: Çdo pikë e boshtit përcakton një numër? 

Me shumë kujdes duhet sqaruar se e anasjella është e vërtetë, po tani që nxënësit 

njohin vetëm bashkësinë e numrave të plotë (se racionalët akoma nuk i kanë njohur 

plotësisht, sepse nuk njohin numrat dhjetorë periodikë të pafundmë) jo çdo pikë përcakton 

një numër të plotë. Këtë mund ta konkretizojë duke marrë disa pika ndërmjet pikave A 

dhe B të përcaktuara nga numrat 1 dhe 2. 

Mbas këtyre sqarimeve shumë të kujdesshme mësuesi jep përkufizimin e sistemit 

koordinativ. Mbasi i ndërton boshtet, bën emërtimin e tyre, tregon kahun pozitiv të të dy 

boshteve, kuadranteve (në tekst është shkruar kuadrate), numërimi i të cilave fillon nga 

drejtimi pozitiv i boshtit x’x dhe duke u rrotulluar në drejtimin e kundërt të rrotullimit të 

akrepave të orës. Futet kuptimi i çiftit të radhitur duke përcaktuar se cila quhet abshisë 

dhe cila ordinatë.

Shembulli 1 që zgjidhet nga mësuesi, dhe ushtrimi 1 që punohet nga nxënësit, shërbejnë 

për përcaktimin e abshisës dhe ordinatës së pikave. Duke punuar shembullin 2 mësuesi 

tregon jo vetëm mënyrën e përcaktimit të pikës, por dhe se çifti përcakton një pikë të vetme 

në plan. Kjo mund të sqarohet duke theksuar se pingulet e ndërtuara në secilin bosht kanë 

një pikë të përbashkët. Kjo të dalë nëpërmjet vrojtimit. Të mos bëhen përpjekje për ta 

vërtetuar. Ushtrimi 2, që do të punohet nga nxënësit, do ta plotësojë më mirë këtë fakt. 

Para se të kalohet me shembujt 3 dhe 4 është mirë që mësuesi të sqarojë shënimin 

KUJDES! Ky sqarim do të bëjë të mundur zgjidhjen e saktë të shembujve 3. E veçanta e 

shembullit 4 dhe 2 është se pikat ndodhen në bosht dhe nxënësi përcakton abshisën 2. 

Në bazë të rregullit ngre pingulen me boshtin e abshisave, por nuk arrin të kuptojë se ku 

të ngrejë pingulen me boshtin e ordinatave. Prandaj mësuesi duhet të sqarojë këtë duke 

pasur parasysh shënimin KUJDES! 

Shembulli 4 duhet të punohet me shumë kujdes, sepse pika mund të zgjidhet e tillë që 

kur të ulen pingulet mbi boshtet, pikëprerja e tyre është një pikë që nuk përcaktohet nga 

një numër i plotë (jo se është gabim, por siç kemi thënë dhe më lart njihet plotësisht 

vetëm bashkësia e numrave të plotë). 

Pra pika të zgjidhet që kur të gjejmë koordinatat, ato të jenë numra të plotë. 

Mësuesi bën përforcimin duke kërkuar përkufizimin e sistemit koordinativ, rregullën e 

përcaktimit të pikës, kur jepen koordinatat dhe anasjellas. 

Mirë është që shënimi KUJDES! Të lexohet disa herë. 

Për detyrë shtëpie të jepen të katër shembujt si dhe dy ushtrimet. Mësuesi udhëzon 

nxënësit që të punojnë ushtrimet e faqes 53 në Librin e ushtrimeve. 

3.19 Zmadhimi dhe zvogëlimi i figurave në planin koordinativ 


- Të përcaktojë nëse figura (e formuar nga një vijë e thyer e mbyllur) zmadhohet apo 

zvogëlohet, kur jepen koordinatat e para të kulmeve dhe koordinatat e dyta të kulmeve. 

- Të dijë të zmadhojë ose të zvogëlojë një figurë, kur jepet pika dhe numri i zmadhimit 

ose zvogëlimit. 




- Vizore 


- Problemore 

- Diskutimit 



Kujdes në këtë mësim, se kemi të bëjmë me një shndërrim gjeometrik që quhet homoteti. 

Të mos bëhet asnjë përpjekje për të futur këtë koncept. Nuk duhet të bëhet asnjë vërtetim, 

por me anën e vrojtimit dhe të matjes të tregohet se kemi rritje apo zvogëlim të figurës. 

Në shembujt dhe ushtrimet numri, që më vonë quhet koeficienti i zmadhimit, është marrë 

pozitiv. Të bëhet kujdes se ne kemi zmadhim (zvogëlim) të figurës në planin koordinativ 

dhe jashtë tij edhe kur koeficienti i zmadhimit (zvogëlimit) është numër negativ. Kam 

85

mendimin që të punohet vetëm me numra pozitivë (për koeficientin, jo për koordinatat). 

Në këtë mësim kalohet nga e veçanta te e përgjithshmja. Problema 1 është rasti i 

veçantë i cili tregon se, kur koordinatat e pikës rriten 2 herë, largesa e saj nga origjina 

zmadhohet dy herë. Kjo do të konstatohet me anën e matjeve. Mësuesi e përgjithëson 

këtë përfundim. Do të përforcohet ky përfundim kur nxënësit të punojnë në fletoren e tyre 

ushtrimet 1 dhe 2. Para se mësuesi të punojë problemën 2, ai sqaron shënimin e dhënë. 

Pasi ka punuar problemën 2, duke u nisur nga shënimi dhe nga matjet që do të bëjë, 

mësuesi të nxjerrë përfundimin se figura u zmadhua 2 herë. 

Përfundimi i nxjerrë para problemës 3 duhet të përsëritet dhe nga nxënësit, madje dhe 

duke u lexuar në libër. Problemat 3 dhe 4 nuk kanë të bëjnë me planin koordinativ. Nëse 

ndërtimi bëhet si është dhënë në tekst, pa fjalë të tepërta, mendoj se do kuptohet nga nxënësit. 

Shënim. Të gjitha ndërtimet duhet të bëhen me vizore, se kështu dhe matjet që do të 

kryhen do të jenë sa më afër realitetit. 

KUJDES! Mos kaloni në problemat e ndërtimit të tipit: Jepet trekëndëshi në planin 

koordinativ, duke ditur koordinatat e kulmeve. Jepet dhe një pikë. Zmadhoni në lidhje me 

këtë pikë trekëndëshin dhe përcaktoni koordinatat e kulmeve të trekëndëshit të ri. Gjeni 

koordinatat e kulmeve të tij dhe çfarë lidhje ka ndërmjet koordinatave të kulmeve të dy 

trekëndëshave. Pra, nuk është e nevojshme të nxirret përfundimi se, kur trekëndëshi 

zmadhohet a herë, dhe koordinatat e kulmeve zmadhohen a herë. Kjo mund t’u jepet 

nxënësve të mirë me dëshirë. Por dhe këtu duhet dhënë problemë e tillë që dhe koordinatat 

e kulmeve të trekëndëshit të zmadhuar të dalin numra të plotë. 

Detyrë shtëpie jepen ushtrimet 1, 2 dhe 3, faqe 111. Mësuesi udhëzon nxënësit që të 

punojnë ushtrimet e faqes 54 në Librin e ushtrimeve. 

3.20 Simetria e një figure në lidhje me një drejtëz. 


- Të ndërtojë simetriken e pikës, segmentit, drejtëzës dhe trekëndëshit në lidhje me një drejtëz. 

- Të dijë se simetria në lidhje me një drejtëz nuk e ndryshon llojin e figurës dhe nuk 

ndryshon përmasat e saj. 

- Pikat e drejtëzës kanë vetveten simetrike në lidhje me këtë drejtëz. 




- Vizore 


- Problemore 

- Diskutimit 


86 


Në punën përgatitore nxënësit të kujtojnë se cila quhet simetrike e një pike në lidhje me 

një drejtëz dhe si gjendet ajo. Cila nga këto pika quhet shëmbëllim dhe cila fytyrë. Nuk 

duhet bërë asnjë vërtetim se simetrikja e drejtëzës, segmentit, rrethi etj. janë drejtëz, 

segment, rreth etj. Këto vetëm të jepen si në libër, pra të vërteta. 

Kur mësuesi të punojë shembullin 1 duhet të ketë kujdes që çdo kalim të shpjegohet 

me kujdes. Nxënësit të punojnë ushtrimin 1 dhe 2. Për ushtrimin 1 është caktuar pozicioni

i segmentit në lidhje me drejtëzën. Ushtrimi 2 nuk thekson se çfarë pozicioni ka d 1 

në 

lidhje me d. Prandaj nëse nxënësi që ngrihet në dërrasë merr një pozicion çfarëdo të 

tyre, mësuesi duhet të ndërhyjë. Pozicionet e tyre janë a) d 1 

paralele me d, b) d 1 

prerëse 

me d por jo pingule, 

c) d 1 

është pingule me d , 

d) drejtëz d dhe d 1 

puthiten. Për të tri rastet duhet bërë ndërtimi. Për problemën 2 duhet 

marrë parasysh dhe shënimi. Mësuesi duhet t’u tërheqë vëmendjen nxënësve për shënimin. 

KUJDES! Në fund mësuesi punon me klasën problemën 1, fig e parë, faqe 112. 

Detyrë shtëpie. Jepen problemat 1 (figura e dytë), 2 dhe 3. Për nxënësit e mirë jepen 

problemat 4 dhe 5. 

Këtyre nxënësve mund t’u jepet dhe kjo problemë: Të ndërtohet simetrikja e një segmenti 

në lidhje me një drejtëz. 

Vetëm t’u thuhet kujdes, por pa u treguar pozicionin e segmentit në lidhje me drejtëzën. 

(Janë këto pozicione: 

a) segmenti paralel me drejtëzën, 

b) segmenti jo paralel me drejtëzën, por nuk e pret, 

c) jo paralel, por e pret, 

d) pingul, por nuk e pret, 

e) pingul, por e pret, 

f) segmenti ndodhet në drejtëz.) 

Mësuesi jep udhëzime për të punuar problemat e faqe 54, 55 te Libri i ushtrimeve. 


Vlerësimi i çdo ushtrimi. 

1. Për çdo përcaktim të saktë nxënësi merr nga një pikë. Nëse nxënësi ka ndërtuar 

sistemin koordinativ dhe i ka vendosur saktë pikat në të, merr tri pikë dhe jo katër se 

kërkesa është pa sistem koordinativ. 

2. Përgjigjja e saktë vlerësohet me një pikë. 

3. Çdo përcaktim i saktë në sistemin koordinativ vlerësohet me një pikë. 

4. Në radhë të parë pikat duhet të jenë të tilla që, kur të përcaktohen koordinatat, ato të 

jenë të plota. Janë katër pika në planin koordinativ. Përcaktimi i saktë i koordinatave të 

çdo pike vlerësohet me një pikë. 

5. Nëse bën ndërtimin pa argumentim, vlerësohet me një pikë. 

6. Nëse bën ndërtimin pa argumentim, vlerësohet me një pikë. 

7. Ndërtimi i çdo simetrikeje të trekëndëshit për çdo figurë vlerësohet me 2 pikë nëse 

argumentohet çdo ndërtim. Nëse bëhet ndërtimi pa e argumentuar atë, për çdo figurë 

vlerësimi bëhet me një pikë. 

Kujdes! Vlerësimi dhe zbatimi i tabelës së konvertimit të pikëve në notë të jetë shumë 

rigoroz. 

87

3.22 Orientimi 


- Të dijë të orientohet në terren, jo me busull, por me disa të dhëna të veçanta. 




- Metër shirit dhe raportor 


- Punë praktike 

- Diskutimit 



Ky mësim t’u lihet nxënësve për t’u lexuar në shtëpi dhe, kur të jetë ora për ta zhvilluar, 

nxënësit nga ana teorike të jenë të përgatitur. Mësimi duhet të zhvillohet në terren. 

Gjithashtu mësuesi duhet të ketë përcaktuar objektet me të cilat do të bëhet orientimi. 

Nuk janë të nevojshme shumë objekte, mendoj se janë të mjaftueshme 5, sa janë dhe në 

mësim. 

Mësuesi e ndan klasën në dy grupe. Secili grup merr nga dy objekte. Distancat 

përcaktohen lehtë nga çdo grup. Për këndet duhet të marrë pjesë dhe mësuesi, këndet 

të përcaktohen më raportor. P.sh., po bëj shpjegimin sikur objektet të jenë ato që janë në 

libër. Shtrihet një spango shtëpi-shkollë dhe shtëpi-fusha e futbollit. 

Mesi i pjesës horizontale të raportorit vendoset në pikën që përfaqëson shtëpinë dhe 

në drejtim të shkollës, duke quajtur si brinjë të këndit spangon e drejtimit shtëpi-fushë 

futbolli, përcaktojmë këndin. Kështu veprohet dhe për këndet e tjera. Çdo grup i jep të 

dhënat e tij grupit tjetër. Ju keni gjetur masën gjeometrike të këndit, për shenjën do të 

kihet parasysh drejtimi i rrotullimit. 

Këto do të hidhen në fletoren e detyrave me një shkallë zvogëlimi që duhet ta 

japë mësuesi. 

88

KREU IV 

ALGJEBRA DHE FUNKSIONI 

4.1 Shprehje shkronjore 


- Të njohë shprehjet shkronjore dhe të përcaktojë veprimet që janë në shprehje. 

- Të përcaktojë koeficientet dhe pjesën shkronjore në çdo kufizë të një shprehjeje shkronjore. 





Puna përgatitore duhet të shërbejë në formimin e shprehjeve shkronjore. Ato që formojnë 

shprehjen shkronjore i kemi quajtur kufiza, që më vonë do t’i quajmë monome. Mos u 

nxitoni që të futni kuptimin e monomit se nuk është në program. Megjithëse është tema 

e parë, ka një rëndësi të veçantë veçanërisht në përcaktimin e pjesës shkronjore dhe 

koeficientit të kufizave, të cilat do të na duhen për veprimet me kufizat e ngjashme. 

Kujdes duhet të tregohet kur kufizat merren në shprehjet shkronjore dhe kanë shenjën 

minus para, kufiza duhet marrë me gjithë shenjë. Këto duhet të sqarohen me anë të 

shembujve 1, 2 dhe 3 që do të punohen nga mësuesi. Në zgjidhjen e ushtrimeve nga ana 

e nxënësit duhet ndjekur kjo radhë: ushtrimi 1 menjëherë mbas dhënies së kuptimit të 

shprehjeve shkronjore; ushtrimi 2 pas shembullit 1, kurse ushtrimi 3 pas shembullit 3. Te 

ushtrimi 3 kemi një kufizë 7%x. Kujdes, se dhe 7% është numër. 

Përkufizime të mirëfillta këtu nuk ka, prandaj mos u mundoni të nxirrni përkufizime. Por 

nëpërmjet shembujve dhe ushtrimeve mësuesi duhet të këmbëngulë që nxënësi të 

përvetësojë kuptimin e shprehjeve shkronjore, kufizave të shprehjeve shkronjore dhe në 

përcaktimin e koeficeinteve dhe pjesës shkronjore te kufizat e shprehjeve shkronjore. 

Detyrë shtëpie. Jepen ushtrimet 1, 2 dhe 3, faqe 115. 

Mësuesi udhëzon nxënësit që të punojnë me ushtrimet e faqes 56. 


- Diskutimit 


4.2 Kufizat e ngjashme 


- Të përcaktojë kufizat e ngjashme, kur ato janë në një shprehje shkronjore ose kur 

jepen disa kufiza. 

- Të kryejë saktë mbledhjen dhe zbritjen e kufizave të ngjashme. 





- Diskutimit 



Sikundër dhe shikohet, puna përgatitore zë një vend të veçantë. Kështu duhet 

89

konsideruar dhe nga mësuesi. Vërtet që punën përgatitore e zhvillojnë nxënësit, por 

mendoj në këtë rast puna e mësuesit duhet të jetë zotëruese, për disa arsye: 

a) Ka pasur një ndërprerje të veprimeve me numrat me shenjë, qofshin këta të plotë, 

thyesorë apo dhjetorë, kjo mund të ketë sjellë dhe harresën e këtyre veprimeve. 

b) Do të duhen veprimet apo shndërrimet në shprehjet shkronjore dhe gjetja e vlerave 

numerike të tyre. 

c) Do të duhet të zgjidhim ekuacione dhe inekuacione të fuqisë së parë. 

Këto janë disa nga arsyet që mësuesi duhet të marrë pjesë me udhëzimet në kalimet 

që do të bëhen në ushtrimet e punës përgatitore. Të rikujtohet mirë veprimi i mbledhjes 

së numrave me shenjë të kundërt. Të sqarojë mirë si janë bërë kalimet tek ushtrimi: 

(- 7) – ( - 3) = (-7) + ( +3) = - 4 pra si u bë minusi plus para (- 3 ) dhe si (- 3) u bë (+ 3). 

Pra të rikujtohet se të zbresësh do të thotë të mbledhësh numrin e parë me të kundërtin 

e numrit të dytë. Të rikujtohet mbledhja e thyesave me emërues të njëjtë, kurse te mbledhja 

e thyesave me emërues të ndryshëm si veprohet për gjetjen e emëruesit të njëjtë dhe të 

faktorit plotësues. Kështu emëruesi i njëjtë i 7 dhe 5 është 35, sepse SHVP(7, 5) është 35. 

Faktorët plotësues i gjejmë duke pjesëtuar 35 me secilin emërues, Kështu faktori plotësues 

i 7 është 5, sepse 35:7 = 5 dhe faktori plotësues i 5 është 7, sepse 35: 5 = 7. 

Mbas punës përgatitore mësuesi merr katër kufizat që janë dhënë në tekst dhe kërkon 

nga nxënësit të gjejnë ato kufiza që kanë pjesën shkronjore të njejtë. Këtu ai jep 

përkufizimin e kufizave të ngjashme. E vulgarizon pak problemin me shembullin e mollëve, 

që kur duam të gjejmë sa kemi gjithsej ne mbledhim sasinë dhe fjalën mollë nuk e 

ndryshojmë. Atëherë duke e konsideruar “kufizë” një mollë dhe dy mollë dhe “koeficiente“ 

një dhe dy, kurse si “pjesë shkronjore” fjalën mollë, vëmë re se për të mbledhur dy kufiza 

të ngjashme ne mbledhim koeficientet dhe lëmë pjesën shkronjore. 

Po marrim shembullin 2. Të mblidhen kufizat e ngjashme 

xy dhe 5xy 

Zgjidhje. xy + 5xy = ( + 5 )xy = xy = xy 

Kujdes te kalimi i parë. Nuk duhet të themi faktorizojmë xy sepse e para, jemi te mbledhja 

e kufizave të ngjashme dhe e dyta, ky shndërrim nuk është trajtuar. Por duhet të theksojmë: 

meqenëse koeficientet e kufizave të ngjashme janë 

dhe 5, mbledhim këto koeficiente, 

prandaj kemi shkruar ( + 5 )xy. 

Pastaj mbledhim thyesat. 

Pra dhe njëherë: jo faktorizojmë, por mbledhim koeficientet e kufizave të ngjashme. 

Për ta përforcuar nxënësit zgjidhin në klasë ushtrimin 1, faqe 116. U tërheqim vëmendjen 

te shënimi; Duhet të mbani mend. 

Detyrë shtëpie: Jepen ushtrimet 2 dhe 3, faqe 116. 

Mësuesi i udhëzon nxënësit për të punuar ushtrimet e faqes 56 te Libri i ushtrimeve. 

90

4.3 Njehsimi i vlerës numerike të shprehjeve shkronjore 


- Të dijë se cila quhet vlerë numerike e shprehjeve shkronjore. 

- Të gjejë vlerën numerike të një shprehjeje shkronjore. 





- Diskutimit 



Pasi të jetë përfunduar puna përgatitore, mësuesi jep përkufizimin e vlerës numerike të 

një shprehjeje shkronjore. 

Shembujt 1, 2 dhe 3 kanë secili veçoritë e tyre. Kështu shembulli 1 ka vetëm një 

shkronjë, shembulli 2 ka dy shkronja, por është shprehje shkronjore me kllapa, kurse 3 

ka dy shkronja, por ka më tepër se dy kufiza dhe nuk ka kllapa. Kështu që secila ka 

specifikën e saj në zgjidhje. Për të tria mësuesi, mbas zëvendësimit të shkronjës ose të 

shkronjave, duhet të theksojë se nga shprehje shkronjore kthehet në shprehje numerike, 

kështu që do të zbatohen ato rregulla për veprimet si te shprehjet numerike. 

Po marrim shembullin 1. 

Të gjendet vlera numerike e shprehjes 5x +1 për x = 1. 

Mbas zëvendësimit kemi 5 . 1 + 1. 

Në fillim kryhet shumëzimi, pra 5 . 1 = 5, pra 5 . 1 + 1 = 5 +1 = 6. 

Shembulli 2. Të gjendet vlera e 5(x – y) + 2 për x = 0 dhe y = 2 

Pas zëvendësimit kemi 5(0 – 2) +2. Sipas rregullave të veprimeve në shprehjet numerike 

në fillim do të kryejmë veprimin brenda kllapës , pastaj veprimin e shumëzimit dhe pastaj 

atë të mbledhjes. Pra 5 . ( - 2) + 2 = -10 + 2 = -8 Për veprimin brenda kllapës dhe për 

veprimin e fundit duhet të theksohet se nga më i madhi kemi zbritur më të voglin dhe 

kemi vendosur shenjën e më të madhit. KUJDES! Në fillim i konsiderojmë si numra pa 

shenjë. Kurse te shumëzimi i 5 me (- 2) duhet theksuar se prodhimi i dy numrave me 

shenjë të kundërt del numër negativ. 

Shembulli 3 të gjendet vlera e shprehjes 4xy – 3x – y + 5 për x= 2 dhe y = - 1 

Mbas zëvendësimit kemi 4 . 2 . (- 1) -3 . 2 – (-1) + 5. Nxënësve duhet t’u theksohet se në 

ushtrimin e dytë u krye veprimi i mbledhjes në fillim, se kishim kllapa, kurse këtu do të kryejmë 

veprimet e shumëzimit: - 8 – 6 + 1 + 5 te shumëzimi i parë del – 8 si prodhim i dy numrave 

pozitivë me një numër negativ. Dy të parët janë numra me të njëjtën shenjë ( -) dhe dy të dytët 

janë po me të njëjtën shenjë ( + ), në bazë të rregullës mblidhen dhe vendoset shenja e përbashkët. 

Për dy të parët shenja – dhe për dy të dytët shenja +. Pra – 14 + 6. 

Tani kemi numra me shenjë të kundërt, në bazë të rregullës numrat do t’i konsiderojmë pa shenjë 

dhe nga më i madhi do të zbresim më të voglin dhe do të vendosim shenjën e më të madhit. 

Përfundimisht: 4 . 2 . (- 1) -3 . 2 – (-1) + 5 = - 8 – 6 + 1 + 5 

= – 14 + 6 = - 8 

91

Në këtë mënyrë duhet punuar çdo shembull duke sqaruar çdo kalim dhe jo vetëm të 

shkruhet ajo që është në libër. 

Mësuesi u jep nxënësve për të punuar në klasë ushtrimet 5 dhe 6. Duke qenë ushtrime 

me përgjigje nxënësit vihen në garë duke provuar shpejtësinë dhe saktësinë e zgjidhjes 

së ushtrimeve. Në përfundim mësuesi mund të bëjë dhe vlerësime me notë. Nuk duhet 

të pranohet si përgjigje nëse nxënësi nuk e ka punuar, por jep një përgjigje me hamendje. 

Nëse nxënësi pretendon që e ka bërë me mend, duhet t’i kërkohet se si e ka zgjidhur. 

Detyrë shtëpie. Ushtrimet 1, 2 dhe 4, faqe 117. 


4.4 Ushtrime 


- Të zbatojë me rigorozitet njehsimin e vlerave numerike të shprehjeve shkronjore 

për vlera të ndryshme të shkronjave. 





- Diskutimit 



Në tekst është zgjidhur ushtrimi 2. Mësuesi duhet ta punojë duke sqaruar cdo veprim. 

Dhe konkretisht: Të njehsohet vlera e shprehjes 4x + 3y për x = dhe y = 

Zëvendësojmë te shprehja x dhe y. 

4x + 3y = 4 3 (Zbatojmë rregullën e shumëzimit të një numri me një thyesë.) 

= (Emëruesi i njëjtë është 12 dhe faktori plotësues i 3 është 4 dhe i 4 është 3.) 

= 4 + 3 ( I vendosim në një thyesë me që kanë emërues të njëjtë.) 

92 

= = 

Sqarimet që janë bërë nuk duhet të shkruhen, por duhet të theksohen gjatë zgjidhjes, 

se do të ndihmojnë nxënësin për të punuar dhe ushtrime të tjera. Gjatë zgjidhjes mësuesi 

duhet të aktivizojë dhe nxënësit. Konkretisht mbas zëvendësimit pyetet klasa: Si 

shumëzohet një numër me një thyesë? Ose: Cili është emëruesi i njëjtë i 3 dhe 4? Cili 

është faktori plotësues i 3, po i 4? Kjo mënyrë komunikimi do të zbulojë dhe dobësitë e 

trashëguara apo sa dhe si mbahen mend njohuritë e fituara. 

Dhe ushtrimet që do të punohen në klasë nga nxënësit të sqarohen të gjitha veprimet që kryhen.

Në fillim punohet tabela e dytë e ushtrimit të parë. Tabela është e ndërtuar e tillë që 

rreshti ku ndodhet 

plotësohet vetëm me pjesëtimin e vlerave përkatëse të dy 

rreshtave para tij. Kujdes në rastin kur 2 – y është zero dhe del raporti 

se mund të 

jepen dhe përgjigje të gabuara. Përfundimet e këtij rreshti në tabelë mund të lihen thyesa, 

por mund të shkruhen edhe si numra dhjetorë. Kjo duhet bërë që nxënësit të mos harrojnë 

pjesëtimin. Nëse veprimi i pjesëtimit vazhdon me më shumë se dy shifra mbas presjes, 

pjesëtimi të ndërpritet te shifra e dytë pas presjes. KUJDES! Të mos bëhen veprimet me 

makinë llogaritëse. 

Në klasë të punohen dhe ushtrimet 4(c) dhe 5(d). Kurse nxënësit e mirë të punojnë në 

dërrasë 6 (b). 

Detyrë shtëpie: Ushtrimet 3, 4(a, b), 5(a, c). Nxënësit e mirë ushtrimin 6. Mësuesi 

udhëzon nxënësit për të punuar ushtrimet e faqes 57 te Libri i ushtrimeve. 

4.5 Shndërrimet e shprehjeve 


- Të kryejë shndërrime të thjeshta, jo standarde, por të sillen shprehjet në trajtë të rregullt. 





- Diskutimit 



Në punën përgatitore janë marrë dy shprehje që vlerat numerike të tyre për x = 2, x = 0 

dhe x = 1 i kanë të barabarta. Duke u nisur nga ky shembull mësuesi jep përkufizimin e 

shprehjeve të njëvlershme. 

Në bazë të këtij përkufizimi për të thënë se shprehjet 2x –5 dhe 

janë të 

njëvlershme, duhet vërtetuar se për çdo x marrin vlera të njëjta. Por kjo është e pamundur 

të bëhet se bashkësitë e numrave që njohin nxënësit është e pafundme. Prandaj duhen 

gjetur metoda të ndryshme. 

Për këtë në fillim futet kuptimi i shprehjeve të rregullta si dhe shndërrimet që kalojnë 

shprehjen e dhënë në një shprehje të ngjashme me të. KUJDES! 

Mos bëni përpjekje për të vërtetuar se shndërrimet që përmenden janë të njëvlershme, 

sepse e kalon nivelin e nxënësve. Ato të jepen pa vërtetim. 

Në tekst janë tri shënime KUJDES! Ashtu dhe si janë cilësuar të vlerësohen nga mësuesi. 

Shpesh nxënësit, jo të gjithë, kur para kllapës është – ose dhe + thonë që nuk ka asgjë 

apo dhe rasti 5(xy) = 5x5y, zbatohet gabimisht vetia e përdasimit për mbledhjen. 

Prandaj për këto tri shënime KUJDES të tregohet vëmendje e veçantë. Mbas trajtimit 

të tri shënimeve KUJDES mësuesi merret me shembujt 1 dhe 2. Të dy shembujt kanë 

93

veçorinë e tyre. Kështu tek i pari është zbatuar vetia e përdasimit. Te i dyti kërkohet që 

shprehja të jetë e rregullt. Mësuesi duhet të sqarojë: meqenëse shndërrimet që bëhen janë të 

njëvlershme, atëherë dhe shprehjet që dalin janë të njëvlershme. Nxënësit punojnë ushtrimin 

1. Kurse një nxënës e punon në dërrasë. Ai duhet të argumentojë çdo shndërrim që bën. 

Mësuesi e ndan klasën në tri grupe. Grupi i parë punon ushtrimin 1(b). Grupi i dytë 

punon 2 (c) dhe grupi i tretë punon 3 (a). Në fillim nxënësit do të punojnë secili individualisht 

dhe kush i përfundon i pari nga secili grup e zgjidh në dërrasë. Dërrasa të ndahet në tri 

pjesë dhe zgjidhjet e secilit grup të qëndrojnë të pasqyruara aty. Kur të jenë përfunduar, 

mësuesi sqaron nxënësit për çdo transformim të kryer. 

Në fund mësuesi kërkon nga nxënësit që të formulojnë shndërrimet e njëvlershme . 

Detyrë shtëpie jepen ushtrimet 1(a,c), 2(a,d), 3(b, c) faqe 120. Mësuesi udhëzon 

nxënësit për të punuar ushtrimet e faqes 58 te Libri i ushtrimeve. 

4.6 / 4.7 Ushtrime 


- Të kombinojë drejt shndërrimet e shprehjeve shkronjore me gjetjen e vlerave numerike. 





- Diskutimit 



Të dy orët janë ushtrime. Për orën e parë do të punohet deri tek ushtrimi 14, kurse të 

tjerat orën e dytë. Mendoj që mësuesi të zgjidhë ushtrimin 2 dhe 12. 

Ushtrimi 2. 3 + 4(x +1) = 3 + 4x + 4. 

U zbatua vetia e përdasimit dhe me qenë se 4 ka + para nuk ndryshohen shenjat e 

kufizave brenda kllapave. 

= 7 + 4x kemi mbledhur numrat me shenjë të njëjtë +. 

Ushtrimi 12. Të sillet në trajtë të rregullt shprehja (7p) - ( + p) 

94 

(7p) - ( + p) = 7 p – ( + p) zbatuam vetinë e shoqërimit 

p – ( + p) = 0 zbritëm dy numra të barabartë. 

Nxënësit punojnë të drejtuar nga mësuesi ushtrimet 1, 3, 5, 7. 

Detyrë shtëpie jepen ushtrimet 4, 6, 8, 9, 10, 11. Udhëzon nxënësit që të punojnë 

ushtrimet e faqes 59 (deri te ushtrimi 12), te Libri i ushtrimeve. 

Për orën e dytë mësuesi punon ushtrimet 13 dhe 24. 

Ushtrimi 13. Të shndërrohet shprehja 4y – 2 ( 6y – 5) 

4y – 2 ( 6y – 5) = 4y – 12y + 10 zbatuam vetinë e përdasimit dhe ndryshuam shenjat se 

para kllapës ishte shenja –. = - 8y + 10 mblodhëm kufizat e ngjashme 4y dhe – 12y

Ushtrimi 24. Të shndërrohet shprehja 6 (2-cd) – c (d+5) 

6(2-cd) –c(d+5) = 12 – 6cd – cd –5c U zbatua vetia e përdasimit. 

Te kllapa e dytë ndryshohen shenjat, sepse 

kufiza që shumëzon ka shenjën minus para. 

= 12 + (- 6 – 1)cd – 5c mblodhëm kufiza të ngjashme që janë 

–6cd dhe – cd. 

Kujdes, kur para një kufize shkronjore nuk 

është shënuar numri, por kemi – ose + 

numri është – 1 ose + 1 

= 12 +( - 7)cd – 5c meqenëse –1 dhe – 6 janë me shenja të njëjta 

mblidhen dhe vendoset shenja e përbashkët. 

= 12 – 7cd – 5c Nuk ndryshon shenja e – 7, sepse para saj është 

shenja +. 

Shprehja është e rregullt se nuk ka kufiza të ngjashme. 

Në klasë do të punohen ushtrimet 15, 17, 19, 21 dhe 23. 

Detyrë shtëpie: 14,16, 18, 20 dhe 22. 

Përsëri të kërkohet që nxënësit të argumentojnë në fletore çdo kalim që kanë bërë. 

Mësuesi udhëzon nxënësit që të punojnë ushtrimet e faqes 59 (nga numri 13 deri në 

fund) te Libri i ushtrimeve. 


Vlerësimi i çdo pyetjeje të testit. 

1. Nëse formon një shprehje shkronjore duke përdorur të gjithë numrat dhe shkronjat e 

dhëna, merr një pikë. Po të formojë dy, merr të dy pikët. Nëse formon dy shprehje, por 

nuk përdor të gjithë numrat dhe të gjitha shkronjat, merr vetëm një pikë. 

2. Për çdo përgjigje të saktë vlerësohet me një pikë 

3. Për çdo përgjigje të saktë vlerësohet me një pikë. 

4. a vlerësohet me një pikë, kur përgjigjja është e saktë. 

b do të vlerësohet me 3 pikë nëse zgjidhet saktë. Nëse bëhet zëvendësimi, por nuk 

kryhet asnjë veprim tjetër, vlerësohet me një pikë. Nëse kryen veprimet, por ka bërë deri në 

dy gabime, vlerësohet dhe me një pikë tjetër. Nëse e zgjidh pa gabime, i merr të tri pikët. 

5. Tabela ka tetë kuadrate për të plotësuar, çdo plotësim i saktë i çdo kuadrati vlerësohet 

me 0,5 pikë. 

6. Secili nga ushtrimet për zgjidhje të saktë vlerësohet me 1 pikë. 

7. Ushtrimi i parë, nëse zgjidhet saktë, vlerësohet me një pikë. Nëse bën vetëm një 

gabim, vlerësohet me 0,5 pikë. 

Ushtrimi i dytë, nëse zgjidhet saktë, vlerësohet me tri pikë. Nëse zbaton vetëm vetinë 

e përdasimit pa gabime, vlerësohet me një pikë . Nëse kryen veprimet me kufizat e 

ngjashme dhe bën një gabim, vlerësimit i shtohet dhe një pikë tjetër, pra merr dy pikë. 

Përsëri po theksoj se vlerësimi duhet t’u përmbahet atyre që thamë më lart, si dhe 

zbatimit me korrektësi të tabelës së konvertimit të pikëve në nota. 

95

4.9 Ekuacionet 


- Të dallojë ekuacionet, identitetet dhe barazimet numerike. 

- Të dijë se cila vlerë e ndryshores (shkronjës) quhet zgjidhje, çdo të thotë të zgjidhësh 

një ekuacion. 

- Të dallojë cili quhet ekuacion i fuqisë së parë. 





- Problemore 

- Diskutimit 



Qëllimi i punës përgatitore është të arrijë në përkufizimin e ekuacionit, identitetit dhe 

barazimit numerik. 

Për këtë ngrihet në dërrasë një nxënës dhe gjen vlerat numerike të shprehjeve shkronjore 

A(x) = 4x + 2 dhe B(x) = 5x +1 për x = 2 dhe për x = 1. Do të konstatojë se vlerat numerike 

për x = 1 i kanë të barabarta, kurse për x = 2 i kanë të ndryshme. 

Nxënësi i dytë gjen vlerat numerike të shprehjeve shkronjore C(x) = 4x + 1 dhe D(x) = 

për x= 0 dhe x = 1. Do të konstatojë se vlerat numerike për të dy x-et, i kanë të 

barabarta. Për këto shprehje numerike si do që të jetë vlera e x-it, vlerat numerike do të 

dalin të barabarta. 

Nxënësi i tretë kontrollon vlerat numerike të shprehjeve numerike 5 + 3 – 1 me 

96 

+ 6 – 4 dhe 4 +3 – 2 me 7 – 5 -3. Do të konstatojë se dy të parat i kanë vlerat e 

barabarta, kurse dy të dytat të ndryshme. 

Nga këta shembuj mësuesi arrin në emërtimet e tyre: i pari quhet ekuacion, i dyti identitet 

dhe i treti barazim numerik. Në këtë moment mësuesi jep përkufizimet e tyre. 

Mësuesi duhet të theksojë se për të provuar se kemi ekuacion ose barazim numerik 

është e thjeshtë, por për të vërtetuar se një barazim shkronjor është identitet është e vështirë, 

sepse shndërrimet që duhen bërë, mund të paraqesin vështirësi. Nuk mjafton gjetja e 3, 4 

apo më shumë vlera të ndryshores (shkronjës) që barazimi të jetë i vërtetë, por në bazë të 

përkufizimit duhet të jetë i vërtetë për çdo vlerë të ndryshores. Nuk duhet të kalohet në 

ushtrime me kërkesë: vërteto se ky barazim është identitet, sepse kalon nivelin e nxënësve 

të klasës së gjashtë. Nëse mësuesi ka nxënës shumë të mirë, mund të japë me dëshirë 

ushtrime me këtë kërkesë, por duke dhënë dhe udhëzime për shndërrimet që duhen bërë. 

Tri përkufizimet që do të japë mësuesi për zgjidhjen e ekuacionit, çfarë do të thotë të 

zgjidhësh një ekuacion dhe cili quhet ekuacion i fuqisë së parë, kanë një rëndësi të veçantë, 

sepse ekuacionet do të ndeshen në të gjitha vitet e shkollës.

Mësuesi duhet të tregohet shumë këmbëngulës që të përvetësohen jo thjesht si 

përkufizime, por të konsiderohen si koncepte themelore. 

Tek ekuacioni theksohet se a duhet të jetë e ndryshme nga zero. Nuk duhet të bëhen 

përpjekje se çfarë ndodh nëse a është zero, sepse pastaj kalojmë në diskutimin e 

ekuacionit. Për plotësimin e mëtejshëm të tyre shërbejnë dhe tre shembujt që duhet të 

punojë mësuesi. Rëndësi duhet t’i kushtohet dhe shënimit KUJDES! 

Para se të kalohet në ushtrimet 1 dhe 2, faqe 123, duhet të bëhet përforcimi teorik i 

mësimit duke u përsëritur nga nxënësit: cili quhet ekuacion, cili barazim numerik dhe cili 

identitet. Po kështu çfarë quajmë zgjidhje të një ekuacioni, çfarë do të thotë të zgjidhësh 

një ekuacion dhe çfarë quajmë ekuacion të fuqisë së parë. 

Tani nxënësit zgjidhin ushtrimet që thamë më lart. Nëse ka kohë mësuesi zhvillon me 

klasën në formë konkursi ushtrimet 5 dhe 6, faqe 123. 

Detyrë shtëpie. Ushtrimet 3 dhe 4, faqe 123. Mësuesi jep udhëzim dhe për të zgjidhur 


4.10 Zgjidhja e ekuacionit ax + b = 0 


- Të dijë se cilat janë shndërrime të njëvlershme te ekuacionet. 

- Të zgjidhë ekuacionin e fuqisë së parë në trajtë standarde. 





- Diskutimit 



Qëllimi i punës përgatitore është që nxënësi të provojë se cila është zgjidhje e ekuacionit. 

Por ne duhet ta gjejmë këtë zgjidhje. Pra, ne duhet ta gjejmë vlerën e x, e cila pas 

zëvendësimit e kthen atë në një barazim numerik të vërtetë. Por një ekuacion mund të 

mos jetë në trajtën ax + b = 0 dhe mund të jetë i fuqisë së parë. Prandaj duhen bërë disa 

shndërrime për ta sjellë në këtë trajtë. Cilat janë këto shndërrime njëvlershmërie? 

Mësuesi i trajton me shumë kujdes katër shndërrimet që jepen në tekst. 

Gjithashtu jepet dhe mënyra e zgjidhjes së ekuacionit ax + b = 0. Nga shndërrimi i 

njëvlershëm i shtimit të të dy anëve të ekuacionit me të njëjtin numër, del shndërrimi i 

njëvlershëm i kalimit të një termi nga një anë e ekuacionit në tjetrin, me shenjë të ndryshuar. 

Kjo i jep mundësi nxënësit që ta zgjidhë më shpejt ekuacionin. Por këtu ka rëndësi që 

nxënësi të ketë përvetësuar shënimin KUJDES në faqen 123. 

Mbas tyre mësuesi zgjidh shembullin1 dhe 2. Gjatë zgjidhjes duhen argumentuar 

shndërrimet, si në tekst. Ashtu si shprehet dhe në tekst prova do të bëhet deri sa të 

përvetësohet zgjidhja e ekuacionit. Por nxënësve t’u thuhet se prova duhet bërë nga 

nxënësi dhe në rastet që nuk kërkohet, për t’u bindur për saktësinë e zgjidhjes. 

Ushtrimi 1 ka dy ekuacione që janë të ngjashme me shembujt 1 dhe 2. Për këto 

ekuacione mësuesi duhet të aktivizojë nxënësit. 

97

Shembulli 3 ndryshon nga dy të parët, sepse ax është kufizë e dytë dhe me shenjën 

minus. Mbasi është zgjidhur shembulli 3, nxënësit punojnë ekuacionet e ushtrimit 2. 

Kjo temë të punohet me shumë kujdes, sepse varet shumë ecuria e mëtejshme për 

ekuacionet si një nga konceptet më të rëndësishme të matematikës. 

Në fund mësuesi kërkon nga nxënësit të japin një ekuacion të fuqisë së parë dhe të 

përcaktohen a dhe b. Cilat janë veprimet e njëvlershme që ekuacionin ta sjellim në trajtë 

ax + b = 0 dhe për ta zgjidhur këtë ekuacion? 

Detyrë shtëpie. Ushtrimi 1(a, b). Me dëshirë ushtrimi 5, faqe 125. Mësuesi udhëzon 

nxënësit që të punojnë ushtrimet e faqes 61 te Libri i ushtrimeve. 

4.11 Ushtrime 


- Të dijë të shkruajë ekuacione të fuqisë së parë, kur jepet a dhe b drejtpërdrejt, por 

dhe kur ato nuk jepen në mënyrë të drejtpërdrejtë. 

- Të zgjidhë ekuacionin e fuqisë së parë, kur ai është në trajtën ax + b = 0, por a dhe b 

nuk janë numra të plotë. 





Mësuesi zgjidh ushtrimin 1(c, h). Ja si do të veprohet. 

1(c) - 12x + 8 = 0 Kalojmë + 8 në anën e djathtë të ekuacionit me shenjë të 

ndryshuar, pra - 12x = - 8 + 0 = - 8 

Pjesëtojmë të dy anët e ekuacionit me koeficientin pranë x, pra – 12 

Thjeshtojmë thyesat e formuara. x = 


- Konkursit 

- Diskutimit 


Prova. Zëvendësojmë x = tek ekuacioni: -12 . + 8 = 0 

- 4 . 2 + 8 = 0 

- 8 + 8 = 0 

0 = 0 

Pra vlera e x e ktheu ekuacionin në një barazim numerik të vërtetë. Pra x = 

është 

zgjidhje e ekuacionit. 

1(h) 0,13 – 0, 22x = 0 kalojmë në anën e djathtë të ekuacionit 0,13 me shenjë të 

ndryshuar - 0, 22x = - 0,13. Pjesëtojmë të dy anët e ekuacionit me – 0,22, koeficientin 

pranë x. 

98

Me qenë se thyesa pranë x ka emërues dhe numërues të 

barabartë, ka vlerë një, kurse thyesa në anën e djathtë është pozitive si raport i dy numrave 

negativë. 

x = 

Por kjo thyesë nuk do të lihet në këtë trajtë. Nxënësit dinë të pjesëtojnë një numër 

dhjetor me një numër të plotë (në klasën e gjashtë). 

Pra këtë pjesëtim nuk e kryejnë dot. Atëherë do t’i referohemi formimit të thyesave të 

barabarta me anën e rregullës së shumëzimit. Prandaj do të shumëzojmë emëruesin 

dhe numëruesin me 100. 

x = Sipas rregullës të shumëzimit të një numri me 10 ose një fuqi, të 10 

kemi x = . 

Bëhet prova. 0,13 – 0, 22 . 

duke thjeshtuar 22 kemi 

0 = 0 

Pra x i gjetur e kthen ekuacionin në një barazim numerik të vërtetë, kjo tregon se 

x = 

është zgjidhje e ekuacionit. 

Kështu duhet të kërkohet dhe për nxënësit që do të punojnë në dërrasë ushtrimet 1(e, f). 

Ushtrimi tre të punohet në fletoren e klasës nga çdo nxënës. Mësuesi t’i vërë në garë 

nxënësit kush e zgjidh shpejt dhe saktë. 

Në klasë të punohet dhe 4(b, c). 

Detyrë shtëpie ushtrimet 1(a,b,d,g), 2 4(a, d) dhe 6, faqe 125. 


99

4.12 / 4.13 Ushtrime 






Janë dy orë ushtrimesh. Për orën e parë të punohet I dhe II. Mësuesi duhet të punojë 

shembullin 3x – 4 = 5. 

Duhet të punohet ashtu si është në tekst, por duhet të bëhet argumentimi i çdo shndërrimi. 

Konkretisht: 

3x – 4 = 5 kalojmë – 4 nga ana e djathtë me shenjë të ndryshuar 

3x = 5 + 4 mbledhim në anën e djathtë numrat me shenjë të njëjtë + 

3x = 9 pjesëtojmë të dy anët me koeficentin pranë x që është 3 

thjeshtojmë x = 3 


- Problemore 

- Diskutimit 


Meqenëse shndërrimet janë të njëvlershme, themi se x = 3 është zgjidhja e ekuacionit. 

Meqenëse disa ushtrime te II kanë disa veçori, është mirë që mësuesi të zgjidhë dhe 

nga II ushtrimin 6. 

2x – 1 = x – 5 + 3x Kufizat me ndryshore i kalojmë nga e majta me shenjë të ndryshuar, 

kurse numrat i kalojmë nga e djathta po me shenjë të ndryshuar. 

2x – x – 3x = -5 + 1 

Mbledhim në të dy anët kufizat e ngjashme duke pasur parasysh se në kufizat e 

ngjashme mblidhen koeficientet. 

(2 -1 – 3) x = - 4 Mbledhim numrat brenda kllapave të rrumbullakëta. 

- 2x = - 4 Pjesëtojmë të dy anët me – 2 që është koeficienti para x. 

100 

Thjeshtojmë thyesat. 

x = 2 

Meqenëse shndërrimet janë të njëvlershme, x = 2 është zgjidhje e ekuacionit. 

Nëse mësuesi e shikon të arsyeshme mund të bëjë dhe provën. 

Pastaj në dërrasë nxënësit punojnë I (1, 3, 5) dhe II (2, 4); kam mendimin që nxënësit 

të bëjnë argumentimin e çdo shndërrimi që bëhet për zgjidhjen e ekuacionit. 

Detyrë shtëpie: I (2, 4, 6) dhe II (1, 3, 5) Mësuesi udhëzon nxënësit që të punojnë 

ushtrimet e faqes 62 (1) te Libri i ushtrimeve. 

Për orën e dytë vërtet mbeten më shumë ushtrime, por para se të arrihet në zgjidhjen 

e ekuacionit në të dy anët, kemi shndërrime të shprehjeve të cilat janë zhvilluar më parë. 

Shembulli që është zgjidhur në fund duhet të punohet nga mësuesi. Përsëri duhet bërë 

argumentimi i çdo shndërrimi. Mos mendohet se është e tepërt, sepse nxënësin nuk e 

mësojmë që të jetë mekanik, por të përdorë logjikën në ushtrime, sepse do të ndeshet 

dhe me ushtrime jo standarde.

Shembulli ka të veçantë nga ushtrimet I dhe II, sepse ka kllapa. 

4(x – 2) = - (x – 2) 

Zbatojmë vetinë e përdasimit, në anën e djathtë para kllapës është -1. 4x – 8 = - x + 2 

Kalojmë në anën e majtë kufizat me ndryshore dhe në të djathtë kufizat pa ndryshore, 

gjithmonë me shenjë të ndryshuar. 

Mbledhim kufizat e ngjashme. Tani mund të kalohet drejt në mbledhje. 4x + x = 8 + 2 

Pjesëtojmë me 5 që është koeficienti para x. 5x = 10 

Thjeshtojmë thyesat. 

x = 2 

Meqenëse shndërrimet janë të njëvlershme, x = 2 është zgjidhje e ekuacionit. 

Mësuesi të punojë dhe ushtrimin 18. 

Shumëzojmë të dy anët e ekuacionit me 6 që është emëruesi i njëjtë. 

Thjeshtojmë në anën e majtë. 

Heqim kllapën duke kryer vetinë e përdasimit. 3x – 2 (x – 1) = - 6 

Kujdes shumëzojmë me – 2. 

Mbledhim kufizat e ngjashme dhe kalojmë +2 në anën e djathtë me shenjë të ndryshuar. 

3x – 2x + 2 = - 6 

Mbledhim numrat në anën e djathtë. x = - 6 – 2 

x = - 8 

Meqenëse shndërrimet janë të njëvlershme, x = - 8 është zgjidhje e ekuacionit. 

Për të gjitha shndërrimet mësuesi duhet të kërkojë dhe mendimin e nxënësve. 

Mësuesi duhet të punojë me nxënësit nga ushtrimi III (1, 7, 11, 15 dhe 17). Për çdo 

ekuacion gjatë zgjidhjes të argumentohet çdo shndërrim, si në shembujt që u zgjidhën. 

Detyrë shtëpie: Ushtrimet III (2, 6, 12, 14 dhe 16) faqe 126 Mësuesi udhëzon nxënësit 

që të punojnë ushtrimet e faqes 62 ( 2 ) të Librit të ushtrimeve. 

4.14. Problema 


- Të zgjidhë problemat me anën e ekuacionit të fuqisë së parë. Problema në trajtë 

standard dhe jo standarde. 





- Problemore 

- Diskutimit 



Mësuesi para se të fillojë me zgjidhjen e problemave, t’u vërë në dukje ato që janë 

dhënë në fillim të temës. 

Si gjithnjë shembulli duhet zgjidhur nga mësuesi. Nxënësit vetëm duhet të dëgjojnë 

dhe të jenë të gatshëm t’u përgjigjen pyetjeve që mund t’u drejtohen nga mësuesi. 

101

Problema lexohet më tepër se dy herë nga mësuesi, sepse këtë duhet të bëjnë dhe 

nxënësit kur të zgjidhin detyrat. Procedura e zgjidhjes është ajo që jepet në tekst. Për 

pikën a mësuesi mund t’i drejtohet klasës: Çfarë nuk dimë? Mësuesi duhet të presë 

përgjigjen: Nuk dimë numrin e faqeve që kishte lexuar nxënësi para sezonit. Atëherë, 

këtë numër faqesh e shënojmë me x. Për pikën b klasës i drejtohet me pyetjen: Dimë sa 

ka lexuar ditën e parë? 

Përgjigjja duhet të jetë jo. Por çfarë dimë? - vazhdon mësuesi. Këtu mund të merren 

përgjigje të ndryshme që dhe mësuesi mund të mos i ketë parashikuar. 

Por mund të marrë dhe përgjigjen: ka lexuar 

e atyre që ka lexuar para sezonit. 

Pra sa? - pyet mësuesi. Nga nxënësit e mirë mund të marrë përgjigjen x. 

Për të rikujtuar gjetjen e pjesës, kur është dhënë e tëra, mund të shtojë: Çfarë kemi 

shprehur në këtë mënyrë? Nëse nxënësit nuk përgjigjen, mësuesi thekson: Kemi gjetur 

pjesën, kur është dhënë e tëra. Vetëm kujdes se e tëra është përsëri e panjohur. 

Kështu do të vazhdojë dhe për c dhe d. 

Për të shtruar ekuacionin mësuesi vazhdon: 

1. Para sezonit ka lexuar x ( dhe e shënon poshtë d). 

2. Ditën e parë ka lexuar x ( e shënon në të djathtë të x duke lënë pak vend se do 

të vërë shenjën e veprimit). 

3. Ditën e dytë ka lexuar x (e vendos në të djathtë të x, duke lënë pakvend 

se do të vërë shenjën e veprimit). 

4. I kanë mbetur dhe 35 faqe (e vendos në të djathtë të x, duke lënë pak vend se 

do të vërë shenjën e veprimit). 

5. Të gjitha këto çfarë japin? Përgjigjja duhet të jetë numrin e faqeve të librit që është 500. 

6. Të gjitha këto me çfarë shenje veprimi duhet t’i lidhim dhe me sa do ta barazojmë? 

Nëse problema është kuptuar mirë, nxënësit do të përgjigjen saktë dhe do të kenë 

formuar ekuacionin: 

x + x + x + 35 = 500 

Pra, për gjetjen e x kemi ndërtuar një ekuacion të fuqisë së parë me një ndryshore. Le 

ta zgjidhim atë. 

x + x + x + 35 = 500 Te kufiza e tretë e shumës thjeshtojmë me 3 dhe 2. 

102

x + x + x + 35 = 500 Emëruesi i njëjtë është 10 dhe duke gjetur faktorin plotësues 

për çdo emërues kemi: 

. Zbatojmë rregullën e mbledhjes 

së thyesave me emërues të njëjtë. 

Shumëzojmë me emëruesin e njëjtë të dy anët e 

ekuacionit . 

10. Thjeshtojmë me 10. 

10x + 3x + 2x + 350 = 5000 Mbledhim kufizat e ngjashme dhe kalojmë +350 në 

anën e djathtë me shenjë të ndryshuar. 

15x = 5000 – 350 

15x = 4650 Pjesëtojmë të dy anët me 15. 

Kryejmë thjeshtimet. 

x = 310 

Meqenëse veprimet janë të njëvlershme dhe x doli numër natyror, themi se numri i 

faqeve të lexuara para sezonit është 310. 

Kështu duhet ta zgjidhin problemën në fletore dhe nxënësit. Kurse në dërrasë 

argumentimet duhet të shprehen me fjalë, jo të shkruhen. 

Nxënësit në klasë do të zgjidhin problemën 2, 3 dhe 6. 

Detyrë shtëpie: 1, 4, 5. Me dëshirë 7 dhe 8. Mësuesi udhëzon nxënësit që të punojnë 

problemat e faqes 63 në Librin e ushtrimeve. 


Vlerësimi i çdo ushtrimi 

1. Zgjidhja e saktë vlerësohet me një pikë. 

2. Përgjigjja e saktë e çdo ekuacioni vlerësohet me një pikë 

3. Nëse zëvendëson dhe kryen veprimet, por nuk jep përgjigjen se cila është zgjidhje, 

vlerësohet me një pikë. Po dha përgjigje të saktë, merr dy pikë. 

4. Zgjidhja e saktë e çdo ekuacioni vlerësohet me një pikë. 

5. Nëse në ekuacionin e parë bën një gabim mbas zbatimit të vetisë së përdasimit, 

vlerësimi është me një pikë. Nëse zgjidhet pa gabim, vlerësimi është me dy pikë. 

Për ekuacionin e dytë, nëse bëhet një gabim mbasi ka zhdukur emëruesin dhe ka zbatuar 

vetinë e përdasimit, vlerësohet me një pikë, nëse e zgjidh pa gabim vlerësohet me dy pikë. 

6. Nëse nxënësi bën vetëm planin e zgjidhjes dhe përcakton drejt të panjohurën, vlerësimi 

është me një pikë. Nëse shpreh me ndihmën e të panjohurës librat që dhuroi klasa VI b , 

merr dhe një pikë tjetër. 

Nëse shpreh me ndihmën e të panjohurës librat që dhuroi klasa VI c , merr dhe një pikë 

103

tjetër. Nëse formon saktë ekuacionin që jep numrin e librave të dhuruara nga të tri klasat, 

merr dhe një pikë tjetër. Nëse ekuacioni zgjidhet me gabime, i shtohet një pikë. Nëse 

zgjidhet saktë ekuacioni nxënësit i shtohen jo një, por dy pikë. Por mund të ndodhë që 

nxënësi të mos bëjë planin e zgjidhjes, por kalon menjëherë në ekuacion dhe e zgjidh 

saktë, merr 3 pikë. Nëse ekuacionin e zgjidh me gabime, merr 1 pikë. 

Shënim. Të kihen parasysh ato që janë theksuar dhe në testet e tjera për vlerësimin. 

4.16. Inekuacionet 


- Të dijë çfarë është inekuacioni. Të ndërtojë inekuacione kur jepen a dhe b. 

- Të dijë cila quhet zgjidhje. 

- Çdo të thotë të zgjidhësh një inekuacion. 

- Cilat janë shndërrimet e njëvlershme në një inekuacion. 





- Diskutimit 



Me inekuacionet nxënësit janë njohur dhe më parë, por puna përgatitore do t’u kujtojë cili 

quhet dhe si shënohen inekuacionet, përcaktimi i kahut dhe i anës së djathtë dhe të majtë. 

Mbas rikujtimit shkurt këtyre njohurive, jepet përkufizimi i inekuacionit të fuqisë së parë. 

Në tekst nuk është shënuar, por në përcaktimin e a dhe të b mësuesi duhet të theksojë 

se duhet të merren me gjithë shenjë. 

Rëndësi e veçantë t’u kushtohet dhe përkufizimeve për zgjidhjen e inekuacioneve të 

njëvlershme. 

Te veprimet e njëvlershmërisë mësuesi duhet të përqendrohet më shumë në pikën d: 

shumëzimi (pjesëtimi) i të dy anëve me një numër negativ. Shembulli 1 ka të bëjë me 

përcaktimin e a dhe b në inekuacionet. Më shumë kujdes duhet treguar në përcaktimin e 

a dhe b, kur kanë shenjë minus. Në shembullin 2 shkruhet inekuacioni, kur jepet a dhe b. 

Mësuesi duhet të theksojë që mund të shkruhen dhe të tjerë, si: 

3x + 7 > 0, - 3x + 7< 0 etj. 

Shembulli 3, zbatimi i pikës a për njëvlershmërinë e inekuacioneve. Kurse shembulli 4, 

zbatimi i pikës d të njëvlershmërisë. Pra, të katër shembujt kanë si qëllim zbatimin dhe 

fiksimin e pikave a, b, c dhe d të njëvlershmërisë. Nxënësit punojnë ushtrimin 1. Gjithashtu 

në klasë duhet punuar dhe ushtrimi 2, faqe 130. Këtu do të kërkohet të shkruhen disa 

inekuacione për çdo rast. 

Për përforcim të kërkohen ato që jepen në: Duhet të mbani mend. 

Detyrë shtëpie jepen ushtrimet 1, 3 dhe 4. Nxënësve të mirë u jepen ushtrimet 5 dhe 

6, faqe 130. 


104

4.17 Zgjidhja e inekuacionit të fuqisë së parë 


- Të zgjidhë inekuacionet e fuqisë së parë në situata standarde. 





- Diskutimit 



Në punën përgatitore do të mjaftohemi vetëm për të shkruar trajtën e rregullt të 

inekuacionit të fuqisë së parë. Në tekst është shkruar një prej tyre ax + b > 0. Prandaj 

mësuesi të kërkojë dhe rastet e tjera. 

Këto janë: 1. ax + b < 0; 2.ax + b 

0 dhe 3. ax + b ≤ 0 

Përsëri mësuesi mund të ndërhyjë se 1 mund të sillet në trajtën ax + b > 0 nëse të dy anët 

i shumëzojmë me – 1 dhe 3 mund të sillet në trajtë 2 duke shumëzuar përsëri me – 1. 

Rëndësi ka që nxënësit të kuptojnë nga ana teorike zgjidhjen e inekuacionit. Kjo në 

tekst jepet me dy rastet e zgjidhjes së tij. 

≥ 

Kjo vjen si rezultat i shenjës që ka koeficienti a. Gjatë zgjidhjes së inekuacionit mësuesi 

përsëri, si dhe në rastet e tjera, duhet të tregojë se veprimet që kryhen janë të njëvlershme. 

Shënimi nuk duhet anashkaluar. 

Shembulli 1 është në rastin kur a është pozitive, duhet të punohet dhe të argumentohet si në 

tekst. Është bërë dhe një sondazh, i cili paraqet interes. Por nxënësve duhet t’u theksohet se 

sondazhi nuk është i detyruar dhe nuk na tregon se mund ta kemi zgjidhur saktë. 

Nxënësit punojnë ushtrimin 1. Pastaj mësuesi punon shembullin 2 i cili ndryshon nga 1, 

sepse koeficienti pranë x me të cilin do të pjesëtojmë është negativ. Momenti kur do të 

pjesëtojmë ka rëndësi dhe mësuesi duhet të këmbëngulë se duhet ndryshuar kahu i 

inekuacionit. 

Nga përvoja del se në këto raste nxënësit gabojnë, prandaj është aftësia e mësuesit 

për t’i bërë të ndërgjegjshëm nxënësit se shumëzimi ose pjesëtimi i të dy anëve të një 

inekuacioni me një numër negativ ndryshon kahun. Përsëri nxënësit punojnë ushtrimin 2. 

Ajo që thamë dhe më lart jepet dhe duhet të mbahet mend. 

Kjo duhet të përsëritet disa herë. 

Detyrë shtëpie. 1, 2 dhe 3, faqe 131. 


105

4.18 / 4.19 Ushtrime 


- Të zgjidhë inekuacione të fuqisë së parë në trajtë jo standarde. 





- Diskutimit 



Orën e parë të zhvillohen ushtrimet 1 deri te ushtrimi 6. Mësuesi duhet të punojë 

shembullin e zgjidhur në tekst. Por para se ta zgjidhë duhet të pyes nxënësit nëse ky 

inekuacion është në trajtë të rregullt. Për të gjitha kalimet që bëhen, mësuesi duhet të 

pyesë nxënësit. 

Ja si mund të veprohet për të punuar shembullin: 

Mësuesi i drejtohet klasës: Cili është shndërrimi që duhet të kryejmë? 

Priten tri përgjigje të sakta: 

1. Shumëzojmë me emëruesin e njëjtë që është numri 2. 

2. Kthejmë në emërues të njëjtë që është numri 2. 

3. Kalojmë 5 nga ana e majtë me shenjë të ndryshuar. 

Do të trajtojmë mënyrën e dytë se e para është trajtuar në libër. 

Numri 2 është emëruesi i njëjtë. Meqenëse 5 ka si emërues 1, faktor plotësues ka 2. 

Prandaj kemi: 

ose 

Përsëri mësuesi i drejtohet klasës: 

Çfarë shndërrimi do të kryejmë? 

Priten dy përgjigje të sakta: 

1. Shumëzojmë të dy anët me emërues të njëjtë. 

2. Kalojmë nga ana e majtë me shenjë të ndryshuar. 

Do të vazhdojmë me të parën. 

Përsëri mësuesi i drejtohet klasës: Çfarë do të bëjmë? 

106 

Ka dy përgjigje: 

1. Kryejmë thjeshtimet. 

2. Shumëzojmë numëruesit e të dy thyesave me numrin 2. 

Si veprime të dy përgjigjet janë të sakta. Por mësuesi duhet të sqarojë nxënësit se 

shumëzimi me emërues e njëjtë u krye për të zhdukur emëruesin dhe kjo realizohet duke 

kryer thjeshtimin. Prandaj do të vazhdojmë me të parën.

3x + 1 < 10 

Po tani si do të veprojmë? 

Përsëri ka dy përgjigje. 

1. Kalojmë + 1 nga ana e djathtë me shenjë të kundërt. 

2. Kalojmë + 10 nga ana e majtë me shenjë të kundërt. 

Si veprime të dy përgjigjet përsëri janë të sakta. Por për shpejtësi zgjidhjeje do të zbatohet 

veprimi i parë. Nëse do të kërkohej të përcaktohej a dhe b te inekuacioni do të zbatonim të dytin. 

Pra vazhdojmë me veprimin e parë. 

3x > 10 - 1 

3x > 9 Po tani si do të veprojmë? 

Përgjigjja do të jetë e vetme. Pjesëtojmë të dy anët e inekuacionit me 3. Mësuesi e 

miraton, por kërkon dhe përgjigjen e një pyetje tjetër shumë të rëndësishme. Do të 

ndryshojmë kahun? Përgjigjja që do të pranohet është jo. Pse? Përgjigjja. Sepse 3 është 

numër pozitiv. 

Përfundimisht x > 3. Meqenëse të gjitha shndërrimet janë të njëvlershme, zgjidhja e 

inekuacionit janë të gjitha x > 3. 

Për të kontrolluar nëse nxënësit janë në gjendje të japin numra më të mëdhenj se 3 

kërkon nga nxënësit: trego disa zgjidhje. Në të shumtën e rasteve nxënësit kanë për të 

dhënë vetëm numra natyrorë. 

Prandaj mësuesi u drejtohet: Po 

3,01; 22,5 janë zgjidhje të inekuacionit? 

Nëse thuhet jo, mësuesi duhet të sqarojë se dhe këta numra shërbejnë si zgjidhje, 

sepse janë numra më të mëdhenj se 3. Kur nxënësit të kenë plotësuar bashkësinë e 

numrave, në përgjigje do të shpreheshim: çdo numër real x > 3 është zgjidhje e 

inekuacionit. Por tani nuk mund të shprehemi kështu. 

Duket sikur nuk do të dalë ora e mësimit. Jo, sepse mësuesi vetëm do të drejtojë pyetje 

dhe nuk ka për t’i shkruar përgjigjet. 

Pastaj për të kontrolluar përvetësimin e zgjidhjes së inekuacioneve ngrihen me radhë 

nxënësit për ushtrimet 2 dhe 4, faqe 132. 

Për detyrë shtëpie jepen ushtrimet 1, 5 dhe 6, faqe 132. Mësuesi udhëzon nxënësit 

për të zgjidhur ushtrimet e faqes 66 (1) të Librit të ushtrimeve. 

Për orën e dytë mësuesi para se të punojë shembullin e zgjidhur, kërkon nga nxënësit 

që të rikujtojnë shndërrimet e njëvlershëm. Mendoj që dhe ky shembull të punohet si 

shembulli i orës së mësimit 4.18. 

Nxënësit të punojnë ushtrimet 1 dhe 2, faqe 132 

Për detyrë shtëpie jepen ushtrimet 3 dhe 4. Për nxënësit me nivel nën mesatar të 

jepet dhe ushtrimi 3, po në këtë faqe. Mësuesi udhëzon nxënësit që të zgjidhin ushtrimet 

e faqes 66 (2) të Librit të ushtrimeve. 

107


Vlerësimi i ushtrimeve me pikë. 

1. Çdo përgjigje e saktë vlerësohet me një pikë. 


3. Çdo përgjigje e saktë vlerësohet me një pikë. 

4. Çdo përgjigje e saktë vlerësohet me 0,5 pikë. 

5. Për a dhe b mos kërko argumentimin e shndërrimeve, po u zgjidhën saktë vlerësohet 

secili me pikë. Për c, nëse zgjidhet saktë pa argumentuar shndërrimet, vlerësimi një 

pikë, po të bëhet dhe argumentimi vlerësimi është me dy pikë. Për d nëse zgjidhja nuk 

është e saktë si rezultat i dy gabimeve vlerësimi është me një pikë, nëse zgjidhen saktë 

pa argumentuar shndërrimet, vlerësimi me dy pikë dhe nëse zgjidhet saktë duke bërë 

dhe argumentimet, vlerësimi është me tri pikë. Nëse zgjidhen saktë që të katër inekuacionet 

pa argumentuar shndërrimet, vlerësimi është me katër pikë. 

Shënim. Mësuesi duhet të sqarojë nxënësit për ushtrimin 5 se cili inekuacion duhet me 

argumentimin e shndërrimeve dhe cili jo. 

Të kihen parasysh ato që janë dhënë dhe në testet e para për saktësinë e vlerësimit të testit. 

4.21 Kuptimi i bashkësisë. Relacioni dhe funksioni 


- Të ndërtojë relacione të ndryshme kur jepet bashkësia e fillimit dhe e mbarimit. 

- Të përcaktojë se cili relacion është funksion, kur jepet me diagramin e Venit. 

- Të përkufizojë funksionin jo rigorozisht. 

- Të tregojë nëse është funksion kur relacioni jepet me çifte të radhitur. 





- Diskutimit 



Konceptet e bashkësisë, relacionit dhe funksionit janë shumë të rëndësishme, por dhe 

të vështira. Prandaj të bëhet kujdes gjatë trajtimit të kësaj teme. Nuk duhet të kalohet më 

tepër se sa është dhënë në tekst. Puna përgatitore bëhet për të nxjerrë kuptimin e 

bashkësisë. 

Kujdes! Bashkësia nuk përkufizohet. Shënimi i dhënë ka shumë rëndësi dhe të mos 

anashkalohet. Mund të përdoret shprehja, numrat në kllapa vazhdojnë në pafundësi, por 

me shumë kujdes në asnjë mënyrë të mos përdoret fjala INFINIT. Nuk konceptohet dot 

nga nxënësi, sepse infiniti është një simbol matematik dhe jo një numër. 

Pra, KUJDES! 

Kalohet te diagrami i Venit që është mënyra e dytë e dhënies së bashkësisë. Këtu futen 

dhe kuptimet e simboleve dhe . 

Futet përsëri një kuptim shumë i rëndësishëm, ai i çiftit të radhitur (a, b), ku a quhet 

fytyrë dhe b shëmbëllim. 

108

Kur a dhe b janë numra, fytyra emërtohet abshisë dhe shëmbëllimi ordinatë. 

Edhe relacioni në klasën e gjashtë nuk duhet përkufizuar, sepse duhet dhënë prodhimi 

kartezian i dy bashkësive. Prandaj do të jepet me shembuj si është dhënë në tekst. 

Kalohet në dhënien e relacionit me diagramet e Venit duke lidhur me shigjeta elementet 

e bashkësisë A me ato të bashkësisë B. Kështu në figurat 1 , 2 dhe 3 janë dhënë tri 

relacione. 

Mësuesi duhet të kërkojë dallimet e këtyre relacioneve jo nga elementet që kanë 

bashkësitë A dhe B, por nga mënyra e daljes së shigjetave nga A, të drejtuara për te B. 

Është pak e vështirë për të dalë atje ku i intereson mësuesit. 

Por, nëse në fillim nuk marrim atë që duam, mësuesi i drejtohet klasës: a) Në cilin 

relacion ka elemente të bashkësisë A që nuk janë lidhur me elemente të bashkësisë B? 

Me siguri do të thuhet te figura 2. b) Në cilin relacion nga elemente të bashkësisë A dalin 

dy shigjeta në drejtim të elementeve të bashkësisë B? 

Përsëri përgjigjja do të jetë e saktë: Në figurën 1. Po në relacionin që jepet në figurën 3, 

çfarë vini re? Mendoj se do ketë nxënës që do të thonë se çdo elementei A është i lidhur 

me një element të B. Por mund të merrni dhe një përgjigje tjetër që nuk na intereson, se 

në B ka elemente në të cilat nuk është drejtuar shigjeta (elementi 5). Nëse jepet ky 

përfundim, mësuesi do të theksojë se nuk na intereson se çfarë ndodh me elementet e 

B. Mbas kësaj mësuesi jep përfundimin se relacionet e dhëna me ndihmën e diagrameve 

të Venit, si në figurën 3 do t’i quajmë funksione. 

Nuk duhet të tentohet të jepet përkufizimi rigoroz i funksionit, por nxënësit të jenë në 

gjendje të formojnë një funksion me çifte të radhitur, por dhe me diagramet e Venit, dhe 

të dallojnë nëse një relacion i dhënë është funksion. Këtë mundësi ia jep shënimi i vendosur 

në kuadrat të kuq. Ky është dhe qëllimi i shembujve 1, 2 dhe 3, të cilët duhet të punohen 

nga mësuesi. Mbasi mësuesi bindet që nxënësit jo vetëm mund të dallojnë se një relacion 

është funksion, por dhe të ndërtojnë një funksion, kur jepet bashkësia e fillimit dhe mbarimit, 

vë në punë nxënësit për të punuar ushtrimet 1 dhe 2. 

Shembujt dhe ushtrimet i lë dhe si detyrë shtëpie. Detyra mund të japë dhe nga Libri 

i ushtrimeve në faqen 67. 

Në fund bën përforcimin duke iu drejtuar klasës: 

1. Jepni disa bashkësi numerike dhe jo numerike. 

2. Paraqitni një bashkësi me diagramet e Venit. duke treguar me simbol që një element 

bën pjesë në bashkësi dhe një tjetër që nuk bën pjesë në atë bashkësi. 

3. Shkruaj dy bashkësi numerike A dhe B ku e para të këtë tre numra dhe e dyta pesë numra. 

Formoni një funksion me bashkësi fillimi A dhe mbarimi B, me çifte të radhitur dhe me 

diagramet e Venit. 

109

4.22 Ushtrime 


- Të përcaktojë me saktësi nëse relacionet që jepen janë apo jo funksione. 





- Diskutimit 



Mbasi kontrollon dhe njëherë ato që u theksuan në fund të mësimit 4.21, por shkurt, 

kalohet në zgjidhjen e ushtrimeve 1, 2 dhe 3. Me ushtrimin 2, në të cilin kërkohet përgjigja 

e saktë, mësuesi duhet që të kërkojë nga çdo nxënës shpejtësinë dhe saktësinë e zgjidhjes. 

Për ushtrimet 2 dhe 3 pavarësisht se kërkohet përgjigjja e saktë, me që është fillimi i 

funksionit, të bëhet dhe argumentimi i përgjigjes. 

Mësuesi të punojë ushtrimin 5, i cili do të ndihmojë nxënësit të zgjidhin ushtrimin 6. 

Detyrë shtëpie: Ushtrimet 4 dhe 6. Mësuesi udhëzon nxënësit që të punojnë ushtrimet 

e faqes 67, te Libri i ushtrimeve. 

4.23 Mënyrat e dhënies së funksionit 


- Të dijë mënyrat e dhënies së funksionit dhe të kalojë nga një mënyrë në tjetrën. 





- Diskutimit 


110 


Në punën përgatitore do t’u kërkohet nxënësve si është dhënë funksioni. Përgjigjja do 

të jetë: me çifte të radhitur (ose me tabelë) dhe me diagramet e Venit. 

Mësuesi thekson se ekziston dhe një mënyrë tjetër që lidh elementet e bashkësisë së 

fillimit me bashkësinë e mbarimit. Kjo lidhje jepet me formulë. Ka disa trajta për të treguar 

se y është funksion i x. Do të mjaftohet vetëm me atë që është në tekst. Mos kalohet dhe 

në formulimin e përkufizimit rigoroz të funksionit. Po kështu, vetëm sa të shprehet se 

ekziston dhe mënyra grafike e dhënies së funksionit. Kjo do të trajtohet në klasat e tjera. 

Grafiku do të përmendet dy-tri orë më vonë. Por do të mjaftohet me funksionin 

përpjesëtimor. Kur funksioni jepet me formulë, me dhënien e vlerave të x, do të përcaktohen 

vlerat e y. 

Mësuesi zhvillon shembujt 1 dhe 2. Me të drejtë nxënësi mund të thotë se keni dhënë 

vetëm bashkësinë e fillimit dhe nuk kemi bashkësinë e mbarimi.

Me shumë kujdes duhet sqaruar se bashkësia e mbarimit nuk jepet gjithmonë, kur 

funksioni jepet me formulë. 

Ne e dimë se funksioni është gjithmonë i përcaktuar kur jepet bashkësia e fillimit, 

mbarimit dhe formula e lidhjes së x me y. Por kemi theksuar se me marrëveshje nëse 

nuk jepet bashkësia e mbarimit, ajo është bashkësia e numrave realë. Por me nxënësin 

e klasës së gjashtë nuk do të merremi me këto hollësira. Pra, mos kaloni deri në këto 

sqarime. Mjafton që nxënësi të dijë të gjejë vlerat e funksionit, kur jepen ato të x. 

Pastaj punon me nxënësit ushtrimin. 

Në fund përforcon mësimin duke kërkuar nga nxënësit se cilat janë mënyrat e dhënies 

së një funksioni. Si përcaktohet nëse një relacion është funksion, kur ai jepet me diagramin 

e Venit, me çifte të radhitur. Jo kur jepet grafiku. 

Detyrë shtëpie: plotësimi i dy tabelave tek ushtrimet. Mësuesi udhëzon nxënësit për të 

punuar dhe ushtrimet e faqes 68 te Libri i ushtrimeve. 


Vlerësimi i ushtrimeve me pikë. 



3. Nëse jepet përgjigja e saktë pa argumentim vlerësimi është vetëm një pikë. 

4. Nëse caktohen saktë vetëm fytyrat ose vetëm shëmbëllimet vlerësimi është një pikë. 

5. Nëse për çdo x gjen saktë y vlerësimi është 0,5 pikë. Po t’i gjejë saktë të gjashta 

vlerat e y, vlerësohet me gjashtë pikë. 

6. Nëse nga shtatë vlerat për të gjetur, gjen saktë gjashtë i merr të tri pikët, kurse për 

çdo një përgjigje të saktë merr 0,5 pikë. 

Kujdes, ato që janë thënë dhe në testet e tjera. 

4.25 Raporti 


- Të dijë se çfarë është raporti. Kur formojmë raport? 





- Problemore 

- Diskutimit 



Në punën përgatitore sa është shprehur krahasimi i pjesës me të tërën. Për këtë mësuesi 

nis nga klasa. U thotë nxënësve krahasoni numrin e vajzave me numrin e nxënësve të 

klasës apo numrin e djemve me numrin e nxënësve të klasës. 

Pra theksohet nga mësuesi, kemi krahasuar pjesën me të tërën. Po si do të krahasojmë 

pjesët e së tërës? 

111

Për këtë mësuesi zhvillon shembullin 1. Në pikën a dhe b të shembullit krahasohen 

pjesët me të tërën, që është e njohur. Këtu veçanti ka se duhet gjetur e tëra kur jepen 

pjesët, e cila gjendet me veprimin e mbledhjes. 

Kurse në pikë c dhe d krahasohen pjesët ndërmjet tyre. Meqenëse ne kemi krahasuar 

dy pjesë të së tërës do të themi se i kemi vënë në raport. 

Pra, raporti djem vajza është 

. Në tekst nuk është bërë thjeshtimi, por po të bëhet thjeshtimi 

kemi 

. Tani ky raport duhet kuptuar se në klasë 2 pjesë janë djem dhe 3 pjesë janë vajza. 

Shembulli 2 ndryshon nga i pari se jepet raporti djem-vajza dhe kërkohet numri i vajzave 

dhe i djemve, kur dihet numri i përgjithshëm. Pak a shumë e anasjella e shembullit 1. 

Puna e mësuesit për këtë shembull është që të sqarojë pse klasa ka 8 pjesë. 

Ky sqarim të realizohet kështu: Meqenëse raporti vajza-djem është 

dhe klasa ka 

vetëm djem dhe vajza tregon se 3 pjesë janë vajza dhe 5 pjesë janë djem. Pra klasa 

është ndarë në tetë pjesë. Tani i referohemi thyesave. Me qenë se 3 pjesë janë vajza do 

të thotë se e klasës janë vajza, kurse janë djem . 

Pra problemi kthehet në gjetjen e pjesëve kur jepet e tëra. Pastaj zgjidhja vazhdon si 

në tekst. 

Shënim. Nëse themi që raporti djem-vajza në një klasë është në raportin nuk do të 

thotë se klasa ka 4 djem dhe 7 vajza, sepse, duke u nisur nga thjeshtimi i thyesave, ka 

shumë thyesa që janë të barabarta me . 

Kjo duhet sqaruar mirë, sepse ndodh shpesh ky keqkuptim. 

Mësuesi ngre në dërrasë nxënësit për të punuar ushtrimin1. Kujdes tek a dhe b, në 

fillim duhet gjetur thyesa që shpreh pjesën në lidhje me të tërën dhe pastaj përqindjet. 

Kurse c dhe d ka të bëjë me raportet. 

Në klasë mund të punohet dhe ushtrimi 1, faqe 139. 

Detyrë shtëpie jepen ushtrimet 2, 3 dhe 4. Mësuesi udhëzon nxënësit për të punuar 

ushtrimet e faqes 68, te Libri i ushtrimeve. 

112

4.26 Përpjesëtimi 


- Të dijë çfarë është përpjesëtimi. (Sa madhësi na duhen për të formuar një përpjesëtim?) 

- Të dijë vetinë e përpjesëtimeve. 

- Të dijë se çfarë është përpjesëtimi i drejtë. 





- Problemore 

- Diskutimit 



Nxënësit njihen me raportet dhe përpjesëtimet, prandaj duhen rikujtuar, po kështu duhen 

rikujtuar dhe kufizat e brendshme dhe të jashtme. 

Duke theksuar se vetia e përpjesëtimit 

është ad = bc (ose e shprehur me fjalë: Në 

një përpjesëtim prodhimi i kufizave të jashtme është i barabartë me prodhimin e kufizave të 

brendshme.) kërkohet nga nxënësit që përpjesëtimin 

ta shkruajnë dhe në trajta të tjera. 

Nxënësit zgjidhin ushtrimin 1. Shembulli 1 ka të bëjë me gjetjen e një prej kufizave të 

përpjesëtimit. Kjo realizohet duke pasur parasysh vetinë themelore të përpjesëtimeve. 

Nuk duhet anashkaluar kuptimi i madhësive që janë në përpjesëtim të drejtë. Mësuesi 

mund të japë madhësi që janë në përpjesëtim të drejtë. Përsëri mësuesi punon shembullin 

1 pas përkufizimit të madhësive që janë në përpjesëtim të drejtë. 

Mendoj që mësuesi të zgjidhë dhe 4(a). Nëse në një përpjesëtim jepen kufizat e 

brendshme ose të jashtme, si te 

, për plotësimin e kufizave të tjera të përpjesëtimit 

veprohet kështu: gjejmë një shumëfish çfarëdo të këtyre kufizave, në rastin tonë një 

shumëfish është 12. Ky shumëfish vendoset në një nga vendet që duhet plotësuar te 

përpjesëtimi, p.sh. 

. Për të gjetur kufizën tjetër ka dy mënyra: ose duke zbatuar 

vetinë e përpjesëtimeve ose formimi i thyesave të barabarta sipas rregullit të shumëzimit 

ose pjesëtimit. 

Trajtimi sipas rregullit të pjesëtimit: 12 pjesëtuar me 4del 3, prandaj dhe 4 duhet pjesëtuar 

po me 4 që të formohet një thyesë e barabartë me . 

Kështu që kufiza e katërt e përpjesëtimit del 1. Përfundimisht kemi: 

Por 12 mund ta vendosim dhe te numëruesi i thyesës së anës së djathtë, pastaj veprojmë 

si më sipër. Kujdes! Një nxënës mund të mos marrë 12, por 24. Nëse veprimet bëhen si 

113

për 12, rezultati është i saktë. Në rastet kur jepet një kufizë e brendshme dhe një e 

jashtme gjejmë një pjesëtues të përbashkët dhe vendoset në një nga vendet që duhet 

plotësuar. Pastaj veprohet si për rastin e parë. 

Nxënësit të zgjidhin ushtrimet 1 dhe 3(a). 

Detyrë shtëpie jepen ushtrimet 3(b,c, d), 5 dhe 7. Nxënësve të mirë u jepen ushtrimet 8 dhe 9. 


114 

4.27 Funksioni përpjesëtimor. Koeficienti përpjesëtimor 


- Të dallojë funksionin përpjesëtimor. 

- Të ndërtojë një funksion përpjesëtimor. 

- Të gjejë koeficientin përpjesëtimor, kur jepet funksioni përpjesëtimor me formulë. 

- Të gjejë koeficientin përpjesëtimor, kur funksioni përpjesëtimor jepet me grafik. 

- Të ndërtojë grafikun e një funksioni përpjesëtimor. 





- Problemore 

- Diskutimit 



Në punë përgatitore nxënësit duhet të plotësojnë tabelën. Për funksionin y = 4x nxënësit 

vënë re se raporti i vlerës së y me x përkatës është i pandryshueshëm 4. 

Këto funksione që gëzojnë këtë veti do të quhen funksione përpjesëtimore. Nuk do ta 

përkufizojmë në këtë trajtë por: funksionet përpjesëtimore kanë trajtën y = ax, ku a 0, 

ku x merr vlera të ndryshme. 

Këtu futet dhe kuptimi i koeficientit përpjesëtimor. Shembulli 1 që zgjidhet nga mësuesi, 

jepet që nxënësi të përcaktojë koeficientin përpjesëtimor. Kurse ushtrimi 1 që duhet të zgjidhet 

nga nxënësit ka si qëllim të shkruhet funksioni përpjesëtimor, kur jepet koeficienti përpjesëtimor. 

Momenti pas ushtrimit 1 ka rëndësi, por ka dhe vështirësi për t’u kuptuar, se shumë 

kalime janë të vështira. Duke u nisur nga fakti se funksioni mund të jepet dhe me çifte 

numrash të radhitur, të cilat abshisën e kanë të ndryshme, dhe çdo çift paraqet në planin 

koordinativ një pikë, atëherë bashkësinë e këtyre pikave do ta quajmë grafik të funksionit. 

Kështu grafiku i një funksioni përpjesëtimor është një drejtëz që kalon nga origjina e 

koordinatave. Këto duhet të merren të gatshme. Mos u përpiqni të sqarohet, sepse nuk 

do të kuptohet. Nëse nxënësit pyesin pse ndodh kështu, mësuesi të theksojë se kjo do të 

sqarohet më vonë. Pra, nxënësit të dinë se grafiku i një funksioni përpjesëtimor është një 

drejtëz që kalon nga origjina e koordinatave. Por sa pika na duhen për të ndërtuar një 

drejtëz? – pyetet klasa. Përgjigjja do të jetë: dy. Po një pikë ku kalon grafiku i funksionit 

përpjesëtimor cila është? Nëse nxënësit e kanë pasur vëmendjen do të përgjigjen se 

është origjina e koordinatave. Atëherë sa pika të tjera na duhen? Pra dhe një. 

Këto që thamë mësuesi mund t’i pyesë dhe kur zgjidh shembullin 2. 

Shembulli 3 është i anasjellë me shembullin 2. Pra, jepet grafiku, të shkruhet funksioni. 

Të trajtohet si në libër.

Mësuesi është mirë që me një nxënës të plotësojë tabelën b të ushtrimit 4. Për të 

përcaktuar a shohim në tabelë ku është dhënë x dhe y në rastin tonë x = - 3 dhe y = 3. 

Koeficienti përpjesëtimor a = atëherë a = = -1. 

Kështu që funksioni përpjesëtimor ka trajtën y = - x. Për të plotësuar tabelën 

zëvendësojmë te funksioni përpjesëtimor i gjetur x dhe gjejmë y. 

Për të përforcuar mësimin drejtojmë këto pyetje: 

1. Cila është trajta e funksionit përpjesëtimor? 

2. Cili quhet koeficient përpjesëtimor? 

3.Çfarë paraqet grafikisht funksioni përpjesëtimor? 

Detyrë shtëpie jepen ushtrimet 2, 3, 4(a) dhe 5. Mësuesi udhëzon nxënësit për të 

punuar ushtrimet e faqes 70, te Libri i ushtrimeve. 


Vlerësimi i pyetjeve 

1. Nëse gjen raportin, merr një pikë, nëse e kthen këtë raport në përqindje, merr dhe 

një pikë tjetër. 

2. Nëse gjen vetëm sasinë e sheqerit, merr një pikë, po të gjejë dhe të qumështit, 


3. Gjetja saktë e x vlerësohet me një pikë. 

4. Nëse shkruan raportin, merr një pikë, po të gjejë dhe lekët që do të marrë me 250 $, 


5. Secila përgjigje e saktë vlerësohet me një pikë. 


7. Nëse tek a ndërton tabelën, por jo grafikun, merr një pikë, nëse ndërton dhe grafikun, 

i merr të dyja pikët. Po kështu dhe për b. 

8. Nëse gjen koeficientin përpjesëtimor, merr dy pikë, nëse shkruan dhe funksionin, i 

merr të katër pikët. 

9. Nëse gjen koeficientin përpjesëtimor, merr një pikë. Çdo plotësim i saktë i çdo vlere 

të y vlerësohet me 0,5 pikë. 

Kini parasysh ato që janë theksuar në testet e më parshme për vlerësimet e sakta. 

5.1 Mbledhja, organizimi dhe përpunimi i të dhënave; probabiliteti. 


- Të dijë se me se merret statistika, të përcaktojë popullimin e një problemi që shqyrtojmë. 

- Të sistemojë të dhënat dhe të ndërtojë tabelat me të dhënat. 




- Tabelën e shembullit 1 


- Problemore 

- Diskutimit 


115


Në punën përgatitore nxënësve u drejtohen disa pyetje, disa prej të cilave nxënësi 

mund t’u përgjigjet menjëherë; kurse disave ose mund të mos u përgjigjet fare ose do të 

kryejë disa veprime për të dhënë përgjigje. 

Kështu: për notat që ka marrë në matematikë mund të japë përgjigje menjëherë, po 

kështu dhe për notat e marra në gjuhën shqipe, kurse për lëndën ku ka cilësinë më të 

lartë duhet të bëjë disa veprime. Kjo na detyron që të marrim njohuri për një lëndë tjetër 

që quhet statistikë. Me se merret statistika jepet në libër. Nxënësit duhet të fiksojnë se 

çfarë është popullimi, individi dhe tipari. Nuk duhet të kalohet në hollësi të tepërta si tipar 

diskret apo i vazhdueshëm. Të thuhet vetëm tipar statistikor. 

Mësuesi punon shembullin 1. Tabela është e plotësuar, mësuesi vetëm të tregojë se si 

është plotësuar. Nxënësit do të punojnë ushtrimin 1. 

Mësuesi duhet të shpjegojë dhe mënyrën e plotësimit të tabelave tek ushtrimet. 

1. Në kolonën e parë shënohen numri i ditëve që mund të kenë muajt, kurse në kolonën 

e dytë numri i muajve që i korrespondojnë numrit të ditëve të shënuara në kolonën e parë 

2. Te kolona e parë shënohen numrat e pjesëtarëve të familjeve, kurse në kolonën e 

dytë numri i familjeve që kanë pjesëtarë sa tregohen në kolonën e parë. 

3. Te tabela 1 në kolonën e parë shënohet numri i nxënësve, kurse në kolonën e dytë 

numri i klasave që kanë numrin e treguar në kolonën e parë. Kështu veprohet dhe për 

tabelën 2 dhe 3 vetëm se numri I nxënësve është zëvendësuar me vajza dhe djem. 

Kujdes, për plotësimin e të gjitha tabelave. Numrat që shënohen në kolonën e parë të 

çdo tabele do të fillojë nga më i vogli deri te më i madhi. Kurse në kolonën e dytë numrat 

mund të mos e kenë këtë renditje, por do të jenë të përzier. 

Detyrë shtëpie. Jepen ushtrimet 1. 2 dhe 3. Mësuesi udhëzon nxënësit për të punuar 


116 

5.2 Mesatarja, mesorja dhe moda. 


- Të dijë se cila quhet mesatare dhe të dijë ta gjejë atë. 

- Të dijë se cila quhet mesore dhe të dijë ta gjejë atë. 

- Të dijë se cila quhet modë dhe të dijë ta gjejë atë. 





- Problemore 

- Diskutimit 



Në punën përgatitore nxjerrja e numrave është bërë dhe mësuesi kërkon plotësimin e 

tabelës. E mira do të ishte që ky eksperiment të kryhet në klasë. 

Kjo mund të realizohet kështu: Është përgatitur një kuti ku janë futur numrat nga 0 deri 

te 9. Aty thuhet futim dorën 22 herë, nxjerrim numrin dhe e shënojmë në një letër dhe 

numrin e kthejmë përsëri në kuti.

Ju mund të mos e futni dorën 22 herë për të nxjerrë numra, mund ta kryeni këtë veprim 

më pak ose më shumë, sipas dëshirës dhe kohës që keni në dispozicion. Rëndësi ka që 

mbasi të nxirret numri, të kthehet në kuti dhe të shënohet në një fletë, ashtu si janë 

shënuar në libër. Të bëhet kujdes që numri të mos shihet para se të nxirret nga kutia. 

Këtu futen tri koncepte shumë të rëndësishme, mesatarja, mesorja dhe moda. Kujdes 

mesatarja ndryshon nga mesorja. Për mesoren ka dy momente: kur numri i efektivit 

është çift dhe në rastin e dytë është tek. Te shembulli i zgjidhur është sqaruar gjithçka. 

Një ushtrim është, por duhet të punohet me shumë kujdes. 

Tabela që është në punën përgatitore, pasi të jetë plotësuar nuk duhet të prishet, se e 

kërkon ushtrimi 1 që duhet ta zgjidhin nxënësit. 

Në klasë mund të punohet dhe ushtrimi 1, faqe 146. 

Para se të jepen detyrat e shtëpisë duhet të kërkohet nga nxënësit se si gjendet 

mesatarja, mesorja dhe çfarë quhet modë. 

Detyra shtëpie. Jepen ushtrimet 2, 3 dhe 4. Për nxënësit e mirë jepet ushtrimi 5. 

Nxënësit udhëzohen për të punuar ushtrimet e faqes 71 te libri i ushtrimeve. 

5.3 Diagramet 


- Të dijë se statistika përdor disa mënyra për të paraqitur të dhënat, për të bërë një 

studim të saktë të atyre që jepen., 

- Të dijë të ndërtojë diagramin shtyllë dhe diagramin rrethor. 




- Tabelat me të dhënat e shembullit 1 dhe 2 


- Diskutimit 



Nuk ka punë përgatitore. Mësuesi ka dy shembuj për të punuar. Në secilin përdor dy 

diagrame, një që emërtohet diagram shtyllë dhe tjetri rrethor. Është mirë që diagramet të 

ndërtohen në klasë, jo të përgatiten që në shtëpi. Tabelat të jenë të gatshme. Në shembullin 

e dytë tabela është në libër, kështu ta ketë të përgatitur dhe mësuesi. Për shembullin e 

parë, tabela do të paraqitet kështu: 

Partitë 

% e votave 

A 20 

B 20 

C 5 

D 35 

E 5 

F 10 

Partitë e tjera 5 

117

Për diagramin shtyllë duhen sqaruar dy momente. 1. Në tekst thuhet se në boshtin e x- 

eve caktohen pika, ku çdo pikë përcakton një parti. Por vihet re se është ndërtuar një 

drejtkëndësh dhe jo një drejtëz paralele me boshtin e y-ve. 

Pika është mesi i bazës së këtij drejtkëndëshi, lartësia e tij përcaktohet nga %. 

2. Kur kemi folur për sistemin koordinativ kemi thënë se ndarjet janë të barabarta, si në 

boshtin x’x dhe y’y. Në rastin e diagrameve nuk ka rëndësi. Po të shikohet në boshtin 

y’y një ndarje përfaqëson 5%. Pra, këtu ndarja bëhet në varësi të të dhënave. 

Në diagramin rrethor, meqenëse të dhënat do të përfaqësohen me kënde qendrore, 

përcaktohet se sa gradë do të jetë këndi qendror që përfaqëson 1%. 

Pra, jepet e tëra, të gjendet pjesa. 1% shkruhet si thyesë 

. Pra ne duhet të gjejmë 

e 360 0 . Për këtë kemi 

= 3,6 o . Me këtë veprim sqaruam rreshtin e parë të 

pikës b. Për të përcaktuar këndet qendrore për çdo parti kemi pasur parasysh përpjesëtimin 

e drejtë për dy madhësi. 

Pra, sa herë rritet përqindja, aq herë rritet dhe këndi. 

Nëse në shembullin e parë e kemi gati %, në shembullin e dytë do të gjejmë se sa % 

zë çdo notë dhe pastaj si në shembullin e parë përcaktojmë këndet qendrore. 

Për detyrë shtëpie jepen ushtrimet e faqes 72 te Libri i ushtrimeve. 

5.4. Probabiliteti 


- Të dijë çfarë është probabiliteti. 

- Të dijë të gjejë probabilitetin e një ngjarjeje. 





- Problemore 

- Diskutimit 



Puna përgatitore duhet të bëhet për të nxjerrë kuptimin e hapësirës së rezultateve. 

Shembulli 1 do t’u krijojë mundësi nxënësve për të kuptuar se çfarë është ngjarja. 

(Gabimisht kuptimi i ngjarjes është futur te ushtrimi 1) Ushtrimi 1 duhet të punohet nga nxënësit. 

118 

Mbasi të jetë punuar ushtrimi 1, dy pyetje janë si fillim për probabilitetin. Në këto dy 

pyetje mund të duhet dhe ndërhyrja e mësuesit. Tek e para nëse nxënësi nuk jep përgjigje 

të saktë, mësuesi mund të drejtojë pyetjen: 

Çfarë numra mund të tregojë zari? Mendoj se do të ketë nxënës që të përgjigjen saktë 

1, 2, 3, 4, 5 dhe 6. Vazhdon më tej. Sa numra çift mund të jenë? Përsëri përgjigjja do të

jetë e saktë. Tre. Tani drejton pyetjen e fillimit: Sa është mundësia për të rënë numër çift? 

Përgjigja e saktë . 

Nëse nuk do të jepet kjo përgjigje, e kthejmë problemën në kuptimin e thyesave. 

Mësuesi ndërton në dërrasë një drejtkëndësh dhe e ndan në gjashtë pjesë të barabarta 

dhe në çdo ndarje vendos numrat 1, 2, 3, 4, 5 dhe 6. 

Tani klasës i drejtohet se çfarë pjese të së tërës zënë numrat çift. 

Nëse mbahet mend kuptimi i thyesave, përgjigjja do të jetë ajo që pritet, pra . 

Po kështu veprohet dhe për numrat tek. 

Nëse mbahet mend kuptimi i thyesave përgjigja do të jetë ajo që pritet, pra 

. Po 

kështu dhe për numrat tek. 

Dhe ajo që jepet te dyshi çon në atë që: përgjigje këtyre pyetjeve u jep probabiliteti. 

Mësuesi jep përkufizimin e probabilitetit. 

Shembujt 1 dhe 2 japin mënyrën e gjetjes së probabilitetit. Kurse nëpërmjet shembujve 

3 dhe 4 del qartë se ka dhe ngjarje që e kanë probabilitetin 0. Kjo quhet ngjarje e pamundur. 

Ngjarje që e kanë probabilitetin 1 quhen ngjarje të sigurta. 

Nuk duhet të kalohet në hollësira të panevojshme. Pra nxënësit të gjejnë probabilitetin 

e ngjarjeve të thjeshta. 

Detyra shtëpie: Ushtrimet e faqes 72 te Libri i ushtrimeve. 

119

120 

PËRMBAJTJA 

1.1 Numrat thyesorë................................................................................................ 8 

1.2 Ushtrime ......................................................................................................... 10 

1.3 Thyesat e barabarta ......................................................................................... 10 

1.4 Kriteret që një numër të plotpjesëtohet me 2, 3, 4, 5 ...................................... 12 

1.5 Pjesëtuesi më i madh i përbashkët .................................................................. 13 

1.6 Shumëfishi më i vogël i përbashkët ................................................................ 14 

1.7 Kthimi i thyesave në emërues të njëjtë. .......................................................... 15 

1.8 Krahasimi i thyesave ....................................................................................... 16 

1.9 Ushtrime. ........................................................................................................ 17 

1.10 Test kontrolli nr 1.......................................................................................... 20 

1.11 Mbledhja dhe zbritja e thyesave.................................................................... 21 

1.12. Ushtrime ...................................................................................................... 22 

1.13. Shumëzimi dhe pjesëtimi i thyesave. ........................................................... 23 

1.14 - 1.15 - 1.16 Ushtrime ................................................................................... 24 

1.17. Gjetja e pjesës kur jepet e tëra dhe gjetja e së tërës kur jepet pjesa............. 26 

1.18 Ushtrime. ...................................................................................................... 27 

1.19 Thyesat e ndënënjësishme, tërësishme dhe mbinjësishme............................ 28 

1.20 Ushtrime ....................................................................................................... 29 

1.21. Test kontrolli nr. 2 ........................................................................................ 30 

1.22 Numrat dhjetorë ............................................................................................ 31 

1.23 Numrat dhjetorë (vazhdim) ........................................................................... 32 

1.24 Krahasimi i numrave dhjetorë....................................................................... 32 

1.25 Mbledhja dhe zbritja e numrave dhjetorë ..................................................... 33 

1.26 Shumëzimi dhe pjesëtimi i numrave dhjetorë me një numër natyror ........... 34 

1.27. Ushtrime ...................................................................................................... 35 

1.28 Ushtrime për numrat dhjetorë ....................................................................... 36 

1.29 Test kontrolli nr. 3 ......................................................................................... 37 

1.30 Përqindja ....................................................................................................... 37 

1.31 Ushtrime. ...................................................................................................... 38

PËRMBAJTJA 

1.32 Problema me përqindje ................................................................................. 39 

1.33 Numrat me shenjë dhe krahasimi i tyre ........................................................ 40 

1.34 Veprime me numrat me shenjë...................................................................... 41 

1.35 Ushtrime ....................................................................................................... 42 

1.36. Shprehjet numerike ...................................................................................... 43 

1.37. Ushtrime ...................................................................................................... 44 

1.38. Test kontrolli nr 4......................................................................................... 45 

2.1 Matja e gjatësisë ............................................................................................. 46 

2.2 Veprimet me njësitë e gjatësisë. ...................................................................... 46 

2.3 Perimetri i disa figurave.................................................................................. 48 

2.4 Leximi i hartave .............................................................................................. 49 

2.5. Ushtrime ........................................................................................................ 49 

2.6 Sipërfaqja dhe syprina .................................................................................... 50 

2.7. Veprimet me njësitë e matjes së sipërfaqeve.................................................. 51 

2.8 Syprina e trekëndëshit dhe paralelogramit...................................................... 52 

2.9 Problema .........................................................................................................53 

2.10 Test kontrolli nr.5. ......................................................................................... 54 

2.11 Vëllimi i trupave ........................................................................................... 55 

2.12 Veprimet me njësitë e vëllimit ...................................................................... 56 

2.13.Ushtrime ....................................................................................................... 57 

2.14 Masa dhe njësitë ........................................................................................... 58 

2.15 Ushtrime ....................................................................................................... 59 

2.16. Koha dhe njësitë matëse .............................................................................. 61 

2.17 Ushtrime ....................................................................................................... 61 

2.18 Njësitë matëse të këndeve............................................................................. 62 

2.19. Test kontrolli nr.6 ......................................................................................... 63 

2.20. Raportori ...................................................................................................... 64 

3.1 Kuptime themelore. Gjysmëdrejtëza, segmenti, vija e thyer. ......................... 66 

3.2 / 3.3 Këndi dhe llojet e këndeve ..................................................................... 66 

121

PËRMBAJTJA 

3.4 Gjendja e dy drejtëza ndërmjet tyre. Largësia e një pike nga një drejtëz ....... 68 

3.5 Largësia ndërmjet drejtëzave paralele dhe ndërtimi i tyre ............................. 69 

3.6 / 3.7 Trekëndëshi............................................................................................. 70 

3.8 Problema ......................................................................................................... 72 

3.9 Ndërtimi i trekëndëshit ................................................................................... 73 

3.10 ushtrime .........................................................................................................74 


3.12 Katërkëndëshi dhe shumëkëndëshi i rregullt ................................................ 75 

3.13 Drejtkëndëshi, rombi, katrori, trapezi. .......................................................... 76 

3.14. Problema ...................................................................................................... 77 

3.15. Rrethi dhe elementet e tij ............................................................................. 78 

3.16. Test kontrolli nr 8......................................................................................... 79 

3.17 Trupat gjeometrikë ........................................................................................ 79 

3.18 Koordinatat e pikës në planin koordinativ .................................................... 80 

3.19 Zmadhimi dhe zvogëlimi i figurave në planin koordinativ ........................... 81 

3.20 Simetria e një figure në lidhje me një drejtëz. .............................................. 82 


3.22 Orientimi....................................................................................................... 84 

4.1 Shprehje shkronjore ........................................................................................ 85 

4.2 Kufizat e ngjashme ......................................................................................... 85 

4.3 Njehsimi i vlerës numerike të shprehjeve shkronjore ..................................... 87 

4.4 Ushtrime ......................................................................................................... 88 

4.5 Shndërrimet e shprehjeve................................................................................ 89 

4.6 / 4.7 Ushtrime ................................................................................................. 90 

4.8 Test kontrolli nr.10 .......................................................................................... 91 

4.9 Ekuacionet ...................................................................................................... 92 

4.10 Zgjidhja e ekuacionit ax + b = 0 .................................................................. 93 

4.11 Ushtrime........................................................................................................ 94 

4.12 / 4.13 Ushtrime ............................................................................................. 96 

122

PËRMBAJTJA 

4.14. Problema ...................................................................................................... 97 

4.15 Test kontrolli nr.11 ........................................................................................ 99 

4.16. Inekuacionet ............................................................................................... 100 

4.17 Zgjidhja e inekuacionit të fuqisë së parë.................................................... 101 

4.18 / 4.19 Ushtrime ........................................................................................... 102 

4.20 Test kontrolli nr.12 ...................................................................................... 104 

4.21 Kuptimi i bashkësisë. Relacioni dhe funksioni ........................................... 104 

4.22 Ushtrime ..................................................................................................... 106 

4.23 Mënyrat e dhënies së funksionit ................................................................. 106 

4.24. Test kontrolli nr. 13 .................................................................................... 107 

4.25 Raporti ........................................................................................................ 107 

4.26 Përpjesëtimi ................................................................................................ 109 

4.27 Funksioni përpjesëtimor. Koeficienti përpjesëtimor ................................... 110 

4.28. Test kontrolli nr.14 ..................................................................................... 111 

5.1 Mbledhja, organizimi dhe përpunimi i të dhënave; probabiliteti. ................. 111 

5.2 Mesatarja, mesorja dhe moda. ...................................................................... 112 

5.3 Diagramet ..................................................................................................... 113 

5.4 Probabiliteti....................................................................................................114 

123

Matematika 6 - Albas

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?