Elektronika 2009-05.pdf - Instytut Systemów Elektronicznych ...

Metoda funkcji Greena w modelowaniunanoelektronicznych struktur półprzewodnikowychdr inż. GRZEGORZ HAŁDAŚ 1 , prof. dr hab. inż. ANDRZEJ KOLEK 1 ,dr hab. IGOR TRALLE 2 prof. URz.1 Politechnika Rzeszowska, Katedra Podstaw Elektroniki2 Uniwersytet Rzeszowski, Instytut FizykiModelowanie przyrządów nanoelektronicznych wymagaużycia aparatu teorii kwantowej. Jest to następstwem bardzomałych rozmiarów urządzeń, co wywołuje kwantyzację pędui energii nośników ładunku. Powstają wtedy osobliwości charakterystyktransportu nośników, taka jak na przykład, magnetoopórczy charakterystyki prądowo-napięciowe wspomnianychurządzeń. Jedną z metod wyznaczania stanów kwantowychukładu oraz opisu zjawisk transportu nośników ładunku(np. elektronów) jest metoda funkcji Greena [1,2]. Dlaprzykładu, konduktancja g pomiędzy elektrodami nanostrukturydana jest wzorem Landauera [3]:m jest masą efektywna elektronu zależną od położenia(warstwy struktury) i energii. Stany kwantowe struktury, w tymfunkcję lokalnej gęstość stanów N(z,E) można wyznaczyć napodstawie funkcji Greena:(5)w którym współczynnik transmisji T jest określony przez wartośćfunkcji Greena wzorami Fishera-Lee [4]. Funkcja GreenaG(r,r’,Z) opisuje odpowiedź układu w punkcie r na zaburzeniepowstałe w punkcie r’. W szczególnym przypadku funkcję tęmożna wyrazić za pomocą operatora różniczkowego H jakorozwiązanie równania [1]:(1)(2)przy czym opóźniona funkcja Greena dana jest wzorem:(6)(7)gdzie: Z jest zmienną zespoloną o części rzeczywistej E i urojonejη. W równaniu (2) operator H jest liniowym, niezależnymod czasu Hamiltonianem, który spełnia równanie:gdzie: φ n (r), n = 1, 2,..., to funkcje własne, a E n odpowiadającetym funkcjom wartości własne.Funkcja Greena dla struktur warstwowychDla układów (przyrządów) 3D funkcja Greena jest funkcją zespoloną7 argumentów. Dla nanostruktur warstwowych, symetriatranslacyjna w kierunku prostopadłym do kierunkuz wzrostu struktury, pozwala ograniczyć ilość argumentówfunkcji. W najprostszym przypadku, gdy rozważania możnaograniczyć do nośników ładunku w jednym paśmie, np. przewodnictwa,4-argumentowa funkcja Greena jest rozwiązaniemrównania [5-9]:(3)(4)Na rysunku 1b pokazano funkcję gęstości stanówN 1D (E) ≡ ∫dzN 1D (z,k || = 0,E) obliczoną za pomocą równań (4)- (7) dla rzeczywistej struktury kwantowego lasera kaskadowegoomawianego w pracy Sirtoriego i in. [10] (rys. 1a).Funkcja gęstości stanów N 1D (E) ma lokalne maksima,których położenie na osi E określa energie E n stanów rezonansowychstruktury. Funkcje falowe φ n (z) odpowiadającetym energiom pozostają w relacji z elementami diagonalnymifunkcji G R :Wielkości |φ n (z)| 2 dla poszczególnych stanów w strukturze Sirtoriegopokazano na rys. 1a. Jeśli jest to potrzebne, czynnikfazowy funkcji falowych φ n (z) można uzyskać na podstawierachunku zaburzeń [1]:(8)(9)w którym H jest jednowymiarowym (1D) Hamiltonianem masyefektywnej zależnym od wartości wektora pędu k || w płaszczyźnieprostopadłej do z (równoległej do warstw struktury):gdzie: φ n0 (z) jest funkcją falową stanu o energii E n strukturynie zaburzonej, opisanej Hamiltonianem H 0 (H 0 = H(E C + V =0)). Na rys. 2 pokazano funkcję φ n (z) obliczoną dla stanu la-ELEKTRONIKA 5/2009 73