Elektronika 2009-05.pdf - Instytut Systemów Elektronicznych ...

obsadzonych. Macierz [G < ] wyznacza się z równania kinetycznegobędącego centralnym twierdzeniem formalizmu nierównowagowychfunkcji Greena (NEGF) [2,15]:(18)gdzie: + oznacza sprzężnie hermitowskie. Elementy macierzyfunkcji rozpraszania (energie własne) [Σ < ] wyznacza się w procedurzesamouzgodnienia z elementami macierzy [G < ] odpowiedniodla poszczególnych mechanizmów rozpraszania.Szczególnie w odniesieniu do doprowadzeń otrzymujemy [2]:wartości energii własnych. Pokazano jednak, że dla większychgęstości nośników nieuwzględnienie zakazu Pauliegoprowadzi do niefizycznych wartości funkcji rozkładu, f > 1! [8].Na koniec dodać należy, że omówiony formalizm umożliwiauwzględnienie rozproszeń elektron-elektron. W najprostszymprzypadku można to zrobić w przybliżeniu średniego pola Hartree.Rzeczywiste energie własne w postaci potencjału V(z)oblicza się wtedy rozwiązując równie Poissona [16]:(22)(19)w którym N D (z) jest gęstością zjonizowanych donorów, a gęstośćelektronów n(z) w obszarze struktury określa się na podstawiefunkcji [G < ]:gdzie: f LL i f LR oznaczają odpowiednio (równowagowy)rozkład Fermiego-Diraca w lewym i prawym doprowadzeniu.Dla rozproszeń na fononie optycznym otrzymuje się [13,14]:przy czym:(23)(20)(24)Elementy macierzy [Σ < ] dla innych mechanizmów rozpraszającychoblicza się zastępując funkcję G R funkcją G < w równaniachokreślających elementy macierzy [Σ R ]. Np. dlarozpraszania na fononie akustycznym otrzymuje się [5]:Przykład obliczeniowy(21)W opisanym formalizmie nierównowagowych funkcji Greenabardzo istotne jest równanie (16), gdyż wiąże ono funkcjeGreena G R i G < i powoduje, że muszą być one obliczane równocześnie.Metoda wymaga zatem samouzgodnionego rozwiązania4 równań: równania (13), w którym wyznacza sięfunkcję [G R ], równania (18) w którym wyznacza się funkcję[G < ], równań (11), (12), (15), (16) w których wyznacza sięenergie własne [Σ R ]oraz równań (19), (21), w których obliczasię funkcje rozpraszania [Σ < ]. Obliczenia należy prowadzićw funkcji energii, gdyż energie własne oddziaływania elektronówz fononami optycznymi wymagają znajomości funkcji[G R ] i [G < ] dla energii E - E o . Decyduje to o numerycznejzłożoności zagadnienia i powoduje, że niewiele prac prezentujewyniki obliczeń odnoszące się do rzeczywistych strukturnanoelektronicznych, w których opisany formalizm zastosowanobez dodatkowych uproszczeń. Opublikowano np. pracedotyczące jednorodnych półprzewodników [8], studni kwantowejGaAs/InGaAs [8,9], diody rezonansowej [5] i strukturylasera kaskadowego GaAs/AlGaAs emitującego promieniowanieo długości fali ~87 µm [6,7]. W innych pracach zastosowanouproszczenia polegające na rozprzęgnięciu procedurwyznaczania funkcji [G R ] i [G < ] i/lub uproszczeniu obliczeńenergii własnych [5,13]. Całkowania w równaniach (12), (15),(16), (19) - (21) zastępuje się wtedy „typowymi” wartościamiwektora q || [13]. Pokazano też, że rozprzęgniecie równań(12) - (16) i równań (18) - (21) może być dokonane jedyniew granicy małej gęstości nośników, gdy zignorowanie zakazuPauliego nie wnosi istotnego wkładu do wartości obliczonychNa rysunku 5. pokazano wyniki obliczeń ilustrujące opisanyformalizm. Obliczenia przeprowadzono dla struktury diody rezonansowej,której strukturę pokazano na rys. 4. Przyjęto, żestruktura zachowuje idealną symetrie translacyjną w płaszczyźnie(x-y). Nie uwzględniono także rozproszeń nieelastycznych(na fononach). Uwzględniono natomiastoddziaływanie elektron-elektron w sposób opisany równaniami(22) - (24). Przy tych uproszczeniach liczba równańw pętli samouzgodnienia ulega zmniejszeniu co pozwalaosiągnąć wynik numeryczny w akceptowalnym czasie. RównaniePoissona rozwiązywano metodą Newtona-Raphsona.Można jednak stosować inne metody numeryczne np. metodęelementów brzegowych [17].Rys. 4. Struktura diody rezonansowej przyjęta w obliczeniach. Grubościposzczególnych warstw wynoszą: warstwa oddzielająca(ang. spacer) - 5 nm, bariery 2,5 nm, jama - 5 nm. Obszary n + o grubości30 nm domieszkowane na poziomie N D = 2•10 18 cm -3Fig. 4. Schematic representation of the resonant tunneling diodestructure which is analyzed in the numerical experiment. Thicknessesof the layers are: spacer - 5 nm, barriers 2.5 nm, well - 5 nm.The n + -leads of 30 nm thickness were doped to the donor concentrationof N D = 2•10 18 cm -376 ELEKTRONIKA 5/2009