Elektronika 2009-05.pdf - Instytut Systemów Elektronicznych ...

zującej dz = a. Przy ustalonych E i k || wyznaczenie opóźnionejfunkcji Greena sprowadza się wtedy do rozwiązania równaniamacierzowego [2]:w którym wszystkie macierze […] są kwadratowe o wymiarzeN × N, N = L/a + 1. W równaniu (10) warunki brzegowe wpostaci półnieskończonych doprowadzeń (elektrod) dołączonychdo struktury w punktach z = 0 i z = L (rys. 3) uwzględnionowprowadzając macierz [Σ R ] tzw. energii własnych (ang.Lselfenergies) [2]. Niezerowe elementy macierzy [Σ R L ] odpowiadająpunktom brzegowym struktury:gdzie: t = ħ 2 /(2ma 2 )=H(j,j ±1) jest elementem hopingowymmacierzy [H], a k 1 i k N są składowymi z wektora pędu w doprowadzeniach:j = 1, N [4](10)(11)Wzory (11) pozostają słuszne również dla urojonych wartościk j , co odpowiada wartościom energii poniżej dna pasma przewodnictwa[12]. Wartości energii własnych Σ R L (1,1), ΣR L (N,N)są wtedy rzeczywiste.q 0 jest odwrotnością długości ekranowania, a koncentracjapowierzchniowa domieszek w płaszczyźnie (warstwie)z =(l - 1)a wynosi n s (l), pozostałe wielkości mają typoweoznaczenia. Funkcję Greena w równaniu (12) uzyskuje sięrozwiązując równie [2]:(14)w którym [Σ R scatt ]=[ΣR i-imp ] +… jest sumą energii własnychwszystkich rodzajów rozproszeń w strukturze. W praktyce macierze[G R ] i [Σ R scatt ] oblicza się cyklicznie, aż do osiągnięciasamouzgodnienia. Podejście można uogólnić na rozproszenianieelastyczne wywołane oddziaływaniem elektron-fonon.W przypadku heterostruktur GaAs/AlGaAs dominuje rozpraszaniena fononach akustycznych i polarnych fononachoptycznych. Energię własną rozpraszania na fononach akustycznychpodaje się często w przybliżeniu quasi-elastycznym,tzn. przyjmuje się iż rozpraszanie to zachodzi bezwymiany energii [5], a zmianie ulega jedynie kierunek pędu:(15)gdzie: D jest potencjałem deformacyjnym, c prędkością dźwiękuw materiale, a ρ gęstością masy półprzewodnika. Energięwłasną rozpraszania na fononach optycznych podaje sięw przybliżeniu fononu bezdyspersyjnego o energii E 0 = ħω 0 .Z uwzględnieniem ekranowania otrzymujemy [13,14]:Rys. 3. Model połączenia struktury z doprowadzeniamiFig. 3 The model of device-leads couplingFunkcja Greena określona równaniem (10) odpowiadastanom kwantowym struktury otwartej, w której ma miejscerozpraszanie elektronów wywołane potencjałem rozpraszającymE C (z). Odpowiada to sytuacji, w której istniejeidealna symetria translacyjna potencjału w płaszczyźnie x-y(||). W rzeczywistych strukturach symetria ta jest naruszonana skutek niejednorodnego wzrostu poszczególnych warstw,domieszkowania, defektów itp. W efekcie ruch elektronóww płaszczyźnie || także podlega rozproszeniu. Można touwzględnić w sposób uśredniony wprowadzając w równaniu(10) energie własne odpowiadające różnym mechanizmomrozproszeniowym. Np. rozpraszanie wywołane zjonizowanymidomieszkami uwzględnia się za pomocą energii własnych [5]:gdzie:(16)jest równowagowym rozkładem fononów w temperaturze Toraz [5]:(17)(12)We wzorze w sposób jawny podkreślono fakt, że energiewłasne (podobnie jak funkcje Greena) są funkcjami energii Ei wartości k || wektora pędu w płaszczyźnie x-y. Dotyczy to równieżenergii własnych podanych we wzorze (11). Równanie(12) uzyskano przyjmując, że zjonizowana domieszka oddziaływaz elektronami poprzez potencjał ekranowany [5]:(13)Dla GaAs E o ≅ 36 meV, β = 0,0045 (eV) 2 nm.Nierównowagowe funkcje GreenaFunkcja G < występująca we wzorze (16) jest nierównowagowąfunkcją Greena (funkcją gęstości, korelacji) określającąobsadzenie stanów (określonych przez funkcję G R ) w warunkachnierównowagi. Obecność elementów macierzy [G < ] wewzorze (16) jest konsekwencją zakazu Pauliego [6-9]. Ichuwzględnienie wyklucza rozproszenia elektronów do stanówELEKTRONIKA 5/2009 75